Mathematik entdecken · Erklären & üben

Kardinalzahlen und Ordinalzahlen

„Wie viele?“ fragt nach einer Anzahl. „Der wievielte?“ fragt nach einem Platz in einer Reihenfolge. Kardinalzahlen beschreiben die Anzahl; Ordinalzahlen beschreiben im schulischen Alltag den Rang.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Anzahl und Reihenfolge

Eine Kardinalzahl beantwortet eine Mengenfrage, etwa „Wie viele Karten liegen da?“. Eine Ordinalzahl beantwortet eine Rangfrage, etwa „Welche Karte liegt an dritter Stelle?“.

Im Deutschen kennzeichnet ein Punkt häufig die Ordnungszahl: „3.“ liest du als „dritte“ oder „dritter“, passend zum Satz. Ohne Punkt bedeutet 3 zunächst die Zahl drei.

Die Zahl 5 kann eine Anzahl oder einen Rang beschreiben. Das sind unterschiedliche Verwendungen, keine zwei voneinander getrennten Vorräte an natürlichen Zahlen.

Lies die Frage.
Unterscheide „Wie viele?“ und „An welcher Stelle?“.

Anzahl und Rang können gleich sein, müssen es aber nicht.

Vier benannte Personen in fester Reihenfolge, Elif auf dem dritten Platz; Anzahl vier gegenüber Rang drei.

So geht es am Beispiel

In einer Schlange stehen sechs Personen. Aylin steht an zweiter Stelle. Benenne Anzahl und Rang.

Die gesamte Schlange wird gezählt: sechs Personen.

Aylins Platz wird von vorn bestimmt: zweiter Platz.

Erklärung 02

Endliche Mengen zählen und vergleichen

Beim Zählen erhält jedes Element genau ein Zahlwort. Das zuletzt genannte Zahlwort gibt die Anzahl an. Eine andere Reihenfolge beim Zählen verändert die Anzahl nicht, solange nichts hinzukommt und nichts fehlt.

Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist ihre Anzahl verschiedener Elemente. In Mengen werden gleiche Elemente nicht mehrfach gezählt. Zwei Mengen haben gleich viele Elemente, wenn du jedem Element der einen genau eines der anderen zuordnen kannst und keines übrig bleibt.

Zähle jedes verschiedene Element einmal.
Ordne zum Vergleichen eindeutig Partner zu.

Gleiche Anzahl hängt nicht von Form, Lage oder Reihenfolge ab.

Fünf Kreise und fünf Quadrate werden eindeutig paarweise zugeordnet; unterschiedliche Form und Lage ändern die Anzahl nicht.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Mächtigkeit der Menge $\mathsf{A=\{2,4,6,8\}}$ .

Die Menge enthält vier verschiedene Elemente.

Es wird die Anzahl bestimmt, nicht der größte Zahlenwert.

Erklärung 03

Ränge brauchen eine Ordnung

Ein Rang setzt eine festgelegte Reihenfolge und einen Anfang voraus. Wenn du die Plätze zweier Personen vertauschst, können sich ihre Ränge ändern; die Anzahl der Personen bleibt gleich.

Bei fünf geordneten Karten heißt die letzte Karte „fünfte Karte“. Die Anzahl ist ebenfalls fünf. Diese Übereinstimmung entsteht, weil bei eins begonnen und ohne Lücke gezählt wird.

Weiterlernen: Ziffern erklärt, mit welchen Zeichen Anzahlen und Ränge geschrieben werden.

Lege Start und Zählrichtung fest.
Zähle die Plätze ab eins.
Prüfe bei einem Tausch Anzahl und Rang getrennt.

Ein Rang beschreibt die Position innerhalb einer vereinbarten Ordnung.

So geht es am Beispiel

Von links liegen A, B, C und D. Tausche B und D. Was verändert sich?

Die neue Reihenfolge lautet A, D, C, B.

B wechselt vom zweiten auf den vierten Platz.

Es bleiben vier Karten.

Erklärung 04

Vertiefung: unendliche Mengen

Bei einer unendlichen Menge endet das Abzählen nicht. Trotzdem lassen sich bestimmte unendliche Mengen eindeutig paaren: Jede positive natürliche Zahl bekommt ihr Doppeltes als Partner. So werden alle positiven geraden Zahlen genau einmal erreicht.

Deshalb sind diese beiden Mengen gleichmächtig, obwohl die geraden Zahlen eine echte Teilmenge der positiven natürlichen Zahlen bilden. Diese Eigenschaft unterscheidet unendliche von endlichen Mengen.

Die Mengenlehre untersucht auch Ordnungstypen unendlicher geordneter Mengen. Das geht über die hier verwendeten schulischen Rangzahlen hinaus. Unendlich ist kein letzter Platz einer endlosen Liste.

Betrachte die Regel „verdoppeln“.
Prüfe, dass jede positive gerade Zahl genau einen Partner hat.

Bei unendlichen Mengen genügt die Aussage „Teilmenge“ nicht für „weniger Elemente“.

Erste fünf Zuordnungen zwischen positiven natürlichen Zahlen und positiven geraden Zahlen; Auslassungspunkte zeigen die unendliche Fortsetzung.

So geht es am Beispiel

Welchen Partner haben 7 und welche Ausgangszahl gehört zur geraden Zahl 24?

Die Zuordnung verdoppelt: $\mathsf{2\cdot7=14}$ .

Rückwärts halbieren wir: $\mathsf{24:2=12}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kardinalzahlen und Ordinalzahlen · EinstiegOrdne die Fragen zu: „Wie viele Hefte?“ und „Das wievielte Heft von links?“. Nutze Kardinalzahl und Ordinalzahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wie viele Hefte?
Das wievielte Heft?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die erste Frage sucht eine Anzahl.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die zweite Frage sucht einen Rang.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wie viele Hefte?Kardinalzahl
2. Das wievielte Heft?Ordinalzahl
02
Aufgabe 2Kardinalzahlen und Ordinalzahlen · ÜbungIn einem Regal stehen sieben Bücher. Das Wörterbuch steht von links an fünfter Stelle. Gib Anzahl und Rang korrekt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl
Rang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Alle Bücher zusammen ergeben die Anzahl sieben.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Wörterbuch hat den fünften Platz in der genannten Richtung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anzahl7 Bücher
2. Rang5. Buch von links
03
Aufgabe 3Kardinalzahlen und Ordinalzahlen · ÜbungVon links liegen die Karten K, L, M, N und O. Welche Karte ist die dritte? Welchen Rang hat N?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dritte Karte
Rang von N
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ab links gezählt folgen K, L und dann M.
2. Schritt 2 · Erklärung
  N folgt unmittelbar auf den dritten Platz.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dritte KarteM
2. Rang von N4. Platz
04
Aufgabe 4Kardinalzahlen und Ordinalzahlen · ÜbungBestimme die Anzahl verschiedener Elemente in $\mathsf{B=\{1,3,5,7,9\}}$ . Ist die Mächtigkeit neun? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mächtigkeit
Mächtigkeit neun?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Menge enthält fünf verschiedene Elemente.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der größte Zahlenwert beschreibt nicht die Zahl der Elemente.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Mächtigkeit $\mathsf{|B|=5}$
2. Mächtigkeit neun?Nein.
3. Begründung9 ist ein Element, die Anzahl der Elemente ist 5.
05
Aufgabe 5Kardinalzahlen und Ordinalzahlen · ÜbungAuf einem Tisch liegen vier rote und drei blaue Stifte. Alle werden neu angeordnet. Wie viele Stifte liegen danach dort? Warum?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl danach
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zuerst addieren wir beide Gruppen: $\mathsf{4+3=7}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Beim Umordnen wird kein Stift ergänzt oder entfernt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anzahl danach7 Stifte
2. BegründungDie Anordnung verändert die Anzahl nicht.
06
Aufgabe 6Kardinalzahlen und Ordinalzahlen · ÜbungVon links stehen Lea, Ben, Cem und Dana. Ben und Dana tauschen die Plätze. Gib die neue Reihenfolge, Bens Rang und die Anzahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Reihenfolge
Bens Rang
Anzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nur der zweite und vierte Platz werden vertauscht.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ben nimmt Danas bisherigen vierten Platz ein.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es bleiben dieselben vier Personen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. ReihenfolgeLea, Dana, Cem, Ben
2. Bens Rang4. Platz
3. Anzahl4 Personen
07
Aufgabe 7Kardinalzahlen und Ordinalzahlen · AnwendungFünf Teller und fünf Becher werden paarweise verteilt: Zu jedem Teller kommt genau ein Becher. Was belegt das über die Anzahlen? Was passiert bei sechs Bechern?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bei fünf Bechern
Bei sechs Bechern
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei fünf Bechern bleibt weder ein Teller noch ein Becher ohne Partner.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Beim sechsten Becher gibt es keinen zusätzlichen Teller.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bei fünf BechernGleich viele Teller und Becher.
2. Bei sechs BechernEin Becher bleibt übrig; es gibt einen Becher mehr als Teller.
08
Aufgabe 8Kardinalzahlen und Ordinalzahlen · TransferIn einer Reihe aus acht Kindern wird von vorne gezählt. Jan steht hinten. Erkläre, warum die Anzahl und Jans Rang denselben Zahlenwert haben, aber Verschiedenes aussagen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl
Jans Rang
Unterschied
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Anzahl erfasst alle acht Kinder.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jans Platz ist der achte, weil von eins bis acht ohne Lücke gezählt wird.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anzahl8 Kinder
2. Jans Rang8. Platz
3. UnterschiedDie Anzahl beschreibt die ganze Gruppe; der Rang beschreibt Jans Position.
09
Aufgabe 9Kardinalzahlen und Ordinalzahlen · VertiefungVertiefung: Die positiven natürlichen Zahlen werden ihren Doppelten zugeordnet. Ergänze den Partner von 9 und die Ausgangszahl zu 30. Erkläre, ob die Liste ein letztes Paar hat.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Partner von 9
Ausgangszahl zu 30
Letztes Paar
Begründung zum letzten Paar
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verdoppeln ergibt $\mathsf{2\cdot9=18}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rückwärts rechnen ergibt $\mathsf{30:2=15}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zu jeder positiven natürlichen Zahl gibt es eine größere; die Paarliste endet nicht.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Partner von 918
2. Ausgangszahl zu 3015
3. Letztes PaarEs gibt kein letztes Paar.
4. Begründung zum letzten PaarZu jeder positiven natürlichen Zahl gibt es eine größere; deshalb endet die Paarliste nicht.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Anzahl und Rang.
Ich kann erklären, warum Umordnen eine Anzahl nicht verändert.
Ich weiß, warum ein Rang eine festgelegte Ordnung braucht.

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