Kegel · Erklären & üben

Kegelstumpf

Ein Kegelstumpf entsteht durch einen zur Grundfläche parallelen Schnitt eines Kegels. Hier betrachten wir den geraden Kreiskegelstumpf mit zwei konzentrisch übereinanderliegenden Kreisflächen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Radien und zwei verschiedene Höhenmaße

R ist der größere und r der kleinere Grundkreisradius. Die Körperhöhe h steht senkrecht zu beiden parallelen Grundflächen. Die Mantellinie s verläuft schräg auf der Seitenfläche. Für die folgenden Mantelformeln muss der Stumpf aus einem geraden Kreiskegel durch parallelen Schnitt entstanden sein.

R > r > 0 und h > 0 voraussetzen.

$\mathsf{s=\sqrt{h^2+(R-r)^2}}$

Gerader Kreiskegelstumpf mit größerem Radius R, kleinerem Radius r, senkrechter Höhe h und Mantellinie s.

Maßhaltiges rechtwinkliges Dreieck mit Radiusdifferenz 3cm, Höhe 4cm und Mantellinie 5cm.

Erklärung 02

Volumen des Kegelstumpfs

Das Volumen ist das Volumen des großen Kegels minus das Volumen der abgeschnittenen Spitze. Die Parallelität liefert die Ähnlichkeit beider Kegel. Daraus entsteht die Formel mit dem gemischten Term Rr; der Mittelwert der beiden Kreisflächen allein reicht nicht.

Radien nicht mit Durchmessern verwechseln.
h ist die Stumpfhöhe, nicht die ursprüngliche Kegelhöhe.

$\mathsf{V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)}$

So geht es am Beispiel

R = 5 cm, r = 2 cm und h = 4 cm. Berechne V.

\mathsf{V=\frac{4\pi}{3}(25+10+4)=52\pi\,\mathsf{cm}^3}

So geht es am Beispiel

Bestätige das vorige Ergebnis mit der Differenz zweier ähnlicher Kegel.

\mathsf{H_0/H=2/5,\quad H-H_0=4\,\mathsf{cm}}

\mathsf{H=20/3\,\mathsf{cm},\quad H_0=8/3\,\mathsf{cm}}

\mathsf{V=\frac13\pi\cdot25\cdot\frac{20}{3}-\frac13\pi\cdot4\cdot\frac83=52\pi\,\mathsf{cm}^3}

Erklärung 03

Mantel und geschlossene Oberfläche

Für den Mantel verwendest du s, nicht h. Zur geschlossenen Oberfläche gehören außerdem beide Kreisflächen. Bei einem oben offenen idealisierten Gefäß entfällt die kleinere Deckkreisfläche; Materialdicke wird hier vernachlässigt.

Zuerst s aus h und Radiusdifferenz bestimmen.
Dann M berechnen und die tatsächlich vorhandenen Kreisflächen addieren.

$\mathsf{M=\pi(R+r)s,\quad O=M+\pi R^2+\pi r^2}$

So geht es am Beispiel

Gerader Stumpf: R = 5 cm, r = 2 cm, h = 4 cm. Berechne s, M und die geschlossene Oberfläche.

\mathsf{s=\sqrt{4^2+(5-2)^2}=5\,\mathsf{cm}}

\mathsf{M=\pi(5+2)\cdot5=35\pi\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{O=35\pi+25\pi+4\pi=64\pi\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 04

Anschluss an den vollständigen Kegel

Die Ähnlichkeit verbindet den Kegelstumpf mit dem ursprünglichen Kegel. Wenn der obere Radius gegen null geht, nähert sich der Stumpf einem vollständigen Kegel; die Volumenformel wird zu πR²h/3.

Weiterlernen: Volumen Kegel für den vollständigen Körper.

Für einen schrägen Schnitt sind diese einfachen Stumpfformeln nicht ungeprüft anwendbar.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kegelstumpf · AnwendenGerader Kegelstumpf: R = 7 cm, r = 4 cm und h = 4 cm. Berechne s.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mantellinie
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=\sqrt{4^2+(7-4)^2}=5\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Mantellinie5 cm
02
Aufgabe 2Kegelstumpf · AnwendenR = 7 cm, r = 4 cm, h = 4 cm. Berechne V exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=\frac{4\pi}{3}(49+28+16)=124\pi\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen $\mathsf{124\pi\,\mathsf{cm}^3}$
03
Aufgabe 3Kegelstumpf · AnwendenGerader Stumpf: R = 7 cm, r = 4 cm und s = 5 cm. Berechne M.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mantelfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{M=\pi(7+4)\cdot5=55\pi\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Mantelfläche $\mathsf{55\pi\,\mathsf{cm}^2}$
04
Aufgabe 4Kegelstumpf · AnwendenGeschlossener gerader Stumpf: R = 7 cm, r = 4 cm und s = 5 cm. Berechne O.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Oberfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{O=55\pi+49\pi+16\pi=120\pi\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Oberfläche $\mathsf{120\pi\,\mathsf{cm}^2}$
05
Aufgabe 5Kegelstumpf · AnwendenZeichne in der Vorlage die Höhe zwischen den Grundkreismittelpunkten O und P gestrichelt ein. Beschrifte die Strecke mit h.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Stumpfhöhe
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Stumpfhöhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei diesem geraden Stumpf steht OP senkrecht auf beiden Grundflächen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die schräge Mantellinie s bleibt davon verschieden.
Ergebnis
1. StumpfhöheGestrichelte Strecke OP, beschriftet mit h.
06
Aufgabe 6Kegelstumpf · AnwendenEin gerader Stumpf mit R = 7 cm, r = 4 cm und s = 5 cm ist oben offen. Berechne Mantel plus große Bodenfläche; Materialdicke wird vernachlässigt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche ohne Deckel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{M=55\pi\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{A=55\pi+49\pi=104\pi\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Fläche ohne Deckel $\mathsf{104\pi\,\mathsf{cm}^2}$

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