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Kegel · Erklären & üben

Volumen Kegel

Das Kegelvolumen ist ein Drittel aus Kreisgrundfläche und senkrechter Höhe. Für Behälter verwendest du Innenmaße; eine schräge Mantellinie darf nicht als Körperhöhe eingesetzt werden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Grundfläche mal Höhe durch drei

Die Grundfläche ist πr². Ein Kegel hat bei gleicher Grundfläche und senkrechter Höhe ein Drittel des Zylindervolumens. Die Volumenformel gilt auch für einen schiefen Kreiskegel, wenn h wirklich der senkrechte Abstand zur Grundflächenebene ist; hier rechnen wir mit geraden Kreiskegeln.

  1. Längeneinheiten vor dem Einsetzen vereinheitlichen.

V=13πr2h\mathsf{V=\frac13\pi r^2h}

Gerader Kreiskegel mit Radius, Körperhöhe und Mantellinie.

Erklärung 02

Volumen einsetzen

Steht ein Durchmesser in der Aufgabe, halbiere ihn zuerst. Quadriere anschließend den Radius, multipliziere mit π und h und teile durch 3.

  1. Die Einheit ist cm³, m³ oder eine andere Kubikeinheit.

Eine Mantellinie ist keine senkrechte Höhe.

Axialschnitt zur Unterscheidung von Höhe und Mantellinie.

So geht es am Beispiel

r = 3 cm und h = 8 cm. Berechne V.

V=13π⋅32⋅8=24π cm3≈75,40 cm3\mathsf{V=\frac13\pi\cdot3^2\cdot8=24\pi\,\mathsf{cm}^3\approx75{,}40\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

Etwa 75,40cm³

Erklärung 03

Höhe oder Radius gesucht

Für die Höhe multiplizierst du das Volumen mit 3 und teilst durch die Kreisgrundfläche. Für den Radius ziehst du nach dem Umstellen die positive Quadratwurzel.

  1. Formel erst nach der gesuchten Größe auflösen.

h=3Vπr2,r=3Vπh\mathsf{h=\frac{3V}{\pi r^2},\quad r=\sqrt{\frac{3V}{\pi h}}}

So geht es am Beispiel

V=50π cm3\mathsf{V=50\pi\,\mathsf{cm}^3} und h=6 cm\mathsf{h=6\,\mathsf{cm}}. Bestimme r.

r=3⋅50π6π=25=5 cm\mathsf{r=\sqrt{\frac{3\cdot50\pi}{6\pi}}=\sqrt{25}=5\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

5 cm

Erklärung 04

Kapazität eines kegelförmigen Behälters

Die Kapazität ist das Innenvolumen. Wandstärken und Material gehören nicht zur Füllmenge. Beim vollständigen kegelförmigen Innenraum reicht die Höhe von der inneren Spitze bis zum Rand. Ein cm³ entspricht einem Milliliter.

  1. Innenradius und Innenhöhe verwenden.

1 cm3=1 ml\mathsf{1\,\mathsf{cm}^3=1\,\mathsf{ml}}

So geht es am Beispiel

Ein kegelförmiger Innenraum hat Radius 6cm und Höhe 10cm. Berechne seine Kapazität in ml.

V=13π⋅36⋅10=120π cm3\mathsf{V=\frac13\pi\cdot36\cdot10=120\pi\,\mathsf{cm}^3}
V≈376,99 ml\mathsf{V\approx376{,}99\,\mathsf{ml}}

Ergebnis

Etwa 377ml

Erklärung 05

Materialfläche anders berechnen

Für Mantel und Oberfläche benötigst du beim geraden Kegel zusätzlich die Mantellinie s. Bei gegebener Höhe folgt sie aus Pythagoras.

  1. Weiterlernen: Oberfläche Kegel.

Volumen und Materialfläche haben unterschiedliche Einheiten und Formeln.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Volumen Kegel · AnwendenKegel: r = 4 cm, h = 9 cm. Berechne V exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      V=13π⋅16⋅9=48π cm3\mathsf{V=\frac13\pi\cdot16\cdot9=48\pi\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen48π cm3\mathsf{48\pi\,\mathsf{cm}^3}
  2. Aufgabe 2Volumen Kegel · AnwendenKegel: d = 10 cm, h = 6 cm. Berechne V exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=5 cm\mathsf{r=5\,\mathsf{cm}}
      V=50π cm3\mathsf{V=50\pi\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen50π cm3\mathsf{50\pi\,\mathsf{cm}^3}
  3. Aufgabe 3Volumen Kegel · AnwendenV=36π cm3\mathsf{V=36\pi\,\mathsf{cm}^3} und r=3 cm\mathsf{r=3\,\mathsf{cm}}. Bestimme h.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=3⋅36π9π=12 cm\mathsf{h=\frac{3\cdot36\pi}{9\pi}=12\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Höhe12 cm
  4. Aufgabe 4Volumen Kegel · AnwendenV=64π cm3\mathsf{V=64\pi\,\mathsf{cm}^3} und h=12 cm\mathsf{h=12\,\mathsf{cm}}. Bestimme r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=3⋅64π12π=16=4 cm\mathsf{r=\sqrt{\frac{3\cdot64\pi}{12\pi}}=\sqrt{16}=4\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Radius4 cm
  5. Aufgabe 5Volumen Kegel · AnwendenErgänze in der Vorlage die gestrichelte Körperhöhe SO. Beschrifte sie mit h.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Körperhöhe

    Kegelansicht mit Spitze S und Grundkreismittelpunkt O; Körperhöhe fehlt.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      S ist die Spitze, O der Grundkreismittelpunkt.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Beim geraden Kreiskegel steht SO senkrecht zur Grundfläche.

    Ergebnis

    1. KörperhöheGestrichelte Strecke SO mit Beschriftung h.
  6. Aufgabe 6Volumen Kegel · AnwendenEin vollständiger kegelförmiger Innenraum hat Innenradius 5cm und Innenhöhe 12cm. Berechne die Kapazität in ml auf ganze Milliliter.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      V=13π⋅25⋅12=100π cm3\mathsf{V=\frac13\pi\cdot25\cdot12=100\pi\,\mathsf{cm}^3}
      V≈314 ml\mathsf{V\approx314\,\mathsf{ml}}

    Ergebnis

    1. KapazitätEtwa 314ml

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