Brüche umformen · Erklären & üben

Kehrwert

Der Kehrwert einer von null verschiedenen Zahl ist die Zahl, mit der du sie multiplizieren musst, um 1 zu erhalten. Bei einem Bruch vertauschst du dafür Zähler und Nenner.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Tauschen und mit der Produktprobe begründen

Für $\mathsf{\frac{a}{b}}$ müssen zunächst $\mathsf{a\ne0}$ und $\mathsf{b\ne0}$ gelten. Sein Kehrwert ist dann $\mathsf{\frac{b}{a}}$ . Die Produktprobe zeigt, warum das passt: Zahl und Kehrwert ergeben beim Multiplizieren 1. Ein Bruch darf auch vor dem Tauschen gekürzt werden.

Prüfe, ob die Zahl von null verschieden ist.
Vertausche Zähler und Nenner.
Multipliziere zur Probe beide Zahlen.

$\mathsf{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1\quad(a\ne0,\ b\ne0)}$

Bruch 2 durch 7 und sein Kehrwert 7 durch 2. Gekreuzte Pfeile ordnen Zähler und Nenner zu.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Kehrwert von $\mathsf{\frac{2}{7}}$ und prüfe ihn.

Zähler und Nenner werden vertauscht: $\mathsf{\frac{2}{7}\longrightarrow\frac{7}{2}}$

Die Produktprobe ergibt $\mathsf{\frac{2}{7}\cdot\frac{7}{2}=\frac{14}{14}}$

Gleicher Zähler und Nenner liefern $\mathsf{\frac{14}{14}=1}$

Erklärung 02

Ganze Zahlen und negative Brüche

Eine ganze Zahl lässt sich mit Nenner 1 schreiben. Daher ist der Kehrwert einer ganzen Zahl n ungleich null gleich $\mathsf{\frac{1}{n}}$ . Bei einer negativen Zahl ist auch der Kehrwert negativ: Nur das Produkt zweier negativer Zahlen kann hier positiv 1 werden. Schreibe das Minus am besten in den Zähler oder vor den gesamten Bruch.

Schreibe ganze Zahlen als Bruch mit Nenner 1.
Vertausche die beiden Zahlen am Bruchstrich.
Schreibe einen negativen Nenner anschließend positiv.

Das Vorzeichen bleibt beim Bilden des Kehrwerts erhalten.

Bruch 6 durch 1 und sein Kehrwert 1 durch 6. Gekreuzte Pfeile ordnen Zähler und Nenner zu.

Minus drei Achtel und minus acht Drittel; beide Nenner positiv. Das Produkt ist 1.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Kehrwert von 6.

Die ganze Zahl wird zum Bruch: $\mathsf{6=\frac{6}{1}}$

Der Kehrwert ist $\mathsf{\frac{1}{6}}$

Die Probe lautet $\mathsf{6\cdot\frac{1}{6}=\frac{6}{6}}$

Daraus folgt $\mathsf{\frac{6}{6}=1}$

So geht es am Beispiel

Bestimme den Kehrwert von $\mathsf{\frac{-3}{8}}$ .

Das Tauschen ergibt zunächst $\mathsf{\frac{8}{-3}}$

Das Minus wird in den Zähler verschoben: $\mathsf{\frac{8}{-3}=\frac{-8}{3}}$

Die Produktprobe ergibt $\mathsf{\frac{-3}{8}\cdot\frac{-8}{3}=\frac{24}{24}}$

Damit ist $\mathsf{\frac{24}{24}=1}$

Erklärung 03

Null und Gegenzahl unterscheiden

Null hat keinen Kehrwert. Egal welche Zahl du mit null multiplizierst: Das Ergebnis bleibt null und wird nie 1.

Die Gegenzahl ist etwas anderes. Mit der Gegenzahl ergibt die Addition null; mit dem Kehrwert ergibt die Multiplikation eins. Bei $\mathsf{\frac{2}{3}}$ ist die Gegenzahl $\mathsf{\frac{-2}{3}}$ , der Kehrwert aber $\mathsf{\frac{3}{2}}$ . Der Kehrwert muss außerdem nicht kleiner als die Ausgangszahl sein.

Frage, ob addiert oder multipliziert werden soll.
Verwende für Summe null die Gegenzahl.
Verwende für Produkt eins den Kehrwert.

Gegenzahl: Summe 0. Kehrwert: Produkt 1.

Gleichmäßig skalierte Zahlengerade von 0 bis 4. Ein Viertel liegt bei 117,5 Pixeln und 4 bei 680 Pixeln; Null liegt bei 80 Pixeln.

So geht es am Beispiel

Welche Besonderheiten haben 0, 1 und −1?

Für jede Zahl x gilt $\mathsf{0\cdot x=0}$

Deshalb hat null keinen Kehrwert.

Für eins gilt $\mathsf{1\cdot1=1}$

Eins ist ihr eigener Kehrwert.

Für minus eins gilt $\mathsf{(-1)\cdot(-1)=1}$

Auch minus eins ist ihr eigener Kehrwert.

Erklärung 04

Zweimal tauschen und weiterrechnen

Bildest du den Kehrwert zweimal, erhältst du die Ausgangszahl zurück. Die Voraussetzung bleibt, dass diese Zahl nicht null ist.

Ein Anschluss: Beim Dividieren durch einen von null verschiedenen Bruch multiplizierst du mit dessen Kehrwert. Das Thema Division von Brüchen erklärt diesen Rechenweg ausführlicher.

Bilde den ersten Kehrwert.
Tausche seine beiden Zahlen erneut.
Achte beim Dividieren darauf, nur den Divisor umzukehren.

Bei einer Bruchdivision wird der Divisor durch seinen Kehrwert ersetzt.

Fünf Neuntel werden zu neun Fünfteln und erneut zu fünf Neunteln.

So geht es am Beispiel

Bilde zweimal nacheinander den Kehrwert von $\mathsf{\frac{5}{9}}$ .

Der erste Tausch liefert $\mathsf{\frac{9}{5}}$

Der zweite Tausch liefert wieder $\mathsf{\frac{5}{9}}$

Die beiden Plätze wurden zweimal vertauscht.

So geht es am Beispiel

Ein Anschluss: Berechne $\mathsf{\frac{3}{4}:\frac{2}{5}}$ .

Der Divisor zwei Fünftel ist nicht null.

Sein Kehrwert ist $\mathsf{\frac{5}{2}}$

Division wird zur Multiplikation: $\mathsf{\frac{3}{4}:\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}}$

Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}=\frac{15}{8}}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kehrwert · BasisBestimme den Kehrwert von $\mathsf{\frac{3}{5}}$ . Notiere außerdem den Wert der Produktprobe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kehrwert
Wert der Produktprobe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Durch Tauschen entsteht $\mathsf{\frac{5}{3}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Probe ist $\mathsf{\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}=\frac{15}{15}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Wert der Probe ist $\mathsf{\frac{15}{15}=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kehrwert $\mathsf{\frac{5}{3}}$
2. Wert der Produktprobe1
02
Aufgabe 2Kehrwert · BasisSchreibe 9 als Bruch mit Nenner 1. Gib dann den Kehrwert an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
9 als Bruch
Kehrwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die ganze Zahl wird geschrieben als $\mathsf{9=\frac{9}{1}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Durch Tauschen entsteht $\mathsf{\frac{1}{9}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. 9 als Bruch $\mathsf{\frac{9}{1}}$
2. Kehrwert $\mathsf{\frac{1}{9}}$
03
Aufgabe 3Kehrwert · BasisBestimme den Kehrwert von $\mathsf{\frac{-7}{4}}$ mit positivem Nenner. Gib den Wert der Produktprobe an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kehrwert
Wert der Produktprobe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der getauschte Bruch ist $\mathsf{\frac{4}{-7}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Mit positivem Nenner lautet er $\mathsf{\frac{-4}{7}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt ergibt $\mathsf{\frac{-7}{4}\cdot\frac{-4}{7}=\frac{28}{28}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Wert ist $\mathsf{\frac{28}{28}=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kehrwert $\mathsf{\frac{-4}{7}}$
2. Wert der Produktprobe1
04
Aufgabe 4Kehrwert · ÜbungHat die Zahl 0 einen Kehrwert? Gib dein Urteil an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Null mal irgendeine Zahl ergibt immer null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ein Kehrwert müsste beim Multiplizieren mit null aber 1 ergeben. Das ist unmöglich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungMit null als Faktor wird das Produkt nie 1.
05
Aufgabe 5Kehrwert · ÜbungSchreibe 0,4 als vollständig gekürzten Bruch. Gib seinen Kehrwert als Bruch und als Dezimalzahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
0,4 als gekürzter Bruch
Kehrwert als Bruch
Kehrwert als Dezimalzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vier Zehntel ergeben $\mathsf{0{,}4=\frac{4}{10}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Durch Kürzen mit 2 entsteht $\mathsf{\frac{4}{10}=\frac{2}{5}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Kehrwert ist $\mathsf{\frac{5}{2}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Division ergibt $\mathsf{5:2=2{,}5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. 0,4 als gekürzter Bruch $\mathsf{\frac{2}{5}}$
2. Kehrwert als Bruch $\mathsf{\frac{5}{2}}$
3. Kehrwert als Dezimalzahl2,5
06
Aufgabe 6Kehrwert · ÜbungBilde den Kehrwert von $\mathsf{\frac{7}{3}}$ und danach noch einmal den Kehrwert des Ergebnisses. Gib beide Ergebnisse an und erkläre den Zusammenhang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Kehrwert
Zweiter Kehrwert
Zusammenhang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der erste Kehrwert lautet $\mathsf{\frac{3}{7}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der zweite Kehrwert lautet $\mathsf{\frac{7}{3}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Nach zweimaligem Tauschen stehen Zähler und Nenner wieder an ihren ursprünglichen Plätzen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Kehrwert $\mathsf{\frac{3}{7}}$
2. Zweiter Kehrwert $\mathsf{\frac{7}{3}}$
3. ZusammenhangZweimaliges Vertauschen von Zähler und Nenner führt zur Ausgangszahl zurück.
07
Aufgabe 7Kehrwert · TransferGib die Gegenzahl und den Kehrwert von $\mathsf{\frac{-2}{3}}$ an. Erkläre, wie sich die beiden Begriffe unterscheiden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegenzahl
Kehrwert
Unterschied
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Gegenzahl ist $\mathsf{\frac{2}{3}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Kehrwert ist $\mathsf{\frac{-3}{2}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Mit der Gegenzahl wird die Summe null; mit dem Kehrwert wird das Produkt eins.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gegenzahl $\mathsf{\frac{2}{3}}$
2. Kehrwert $\mathsf{\frac{-3}{2}}$
3. UnterschiedDie Gegenzahl ergänzt zur Summe 0. Der Kehrwert ergänzt zum Produkt 1.
08
Aufgabe 8Kehrwert · TransferJemand nennt $\mathsf{\frac{-8}{3}}$ als Kehrwert von $\mathsf{\frac{3}{8}}$ . Stimmt das? Gib den richtigen Kehrwert an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiger Kehrwert
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die behauptete Probe ergibt $\mathsf{\frac{3}{8}\cdot\frac{-8}{3}=\frac{-24}{24}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dieser Wert ist $\mathsf{\frac{-24}{24}=-1}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt müsste aber 1 sein; ein zusätzlicher Vorzeichenwechsel ist falsch.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der richtige Kehrwert lautet $\mathsf{\frac{8}{3}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Richtiger Kehrwert $\mathsf{\frac{8}{3}}$
3. BegründungDer Kehrwert einer positiven Zahl ist positiv. Das zusätzliche Minus würde bei der Probe −1 statt 1 liefern.
09
Aufgabe 9Kehrwert · TransferStimmt die Behauptung „Der Kehrwert ist immer kleiner als die Ausgangszahl“? Untersuche dafür $\mathsf{\frac{1}{4}}$ . Gib Urteil und Kehrwert an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Kehrwert von einem Viertel
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Kehrwert von einem Viertel ist $\mathsf{\frac{4}{1}=4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Vergleich zeigt $\mathsf{4>\frac{1}{4}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt die Behauptung „immer“.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Kehrwert von einem Viertel4
3. Begründung4 ist größer als ein Viertel. Dieses Gegenbeispiel widerlegt die allgemeine Behauptung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich bilde Kehrwerte nur für Zahlen ungleich null.
Ich prüfe einen Kehrwert mit dem Produkt 1.
Ich unterscheide Kehrwert und Gegenzahl.

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