Ableitungsregeln · Erklären & üben

Kettenregel

Bei einer verketteten Funktion wird ein Funktionsergebnis in eine zweite Funktion eingesetzt. Beim Ableiten berücksichtigen wir beide Änderungen: die der äußeren und die der inneren Funktion.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Funktionen hintereinander

Bei $\mathsf{f(x)=(3x-2)^4}$ ist $\mathsf{u(x)=3x-2}$ die innere Funktion. Die äußere Funktion lautet $\mathsf{F(u)=u^4}$ . Erst wird x in u eingesetzt, danach u in F.

Das ist keine Summe zweier Funktionen und auch kein Produkt. Die eine Funktion steckt als Eingabe in der anderen. Die Schreibweise lautet $\mathsf{f(x)=F(u(x))}$ .

Funktionskette x zu 3x minus 2 zu vierter Potenz, mit beschrifteten inneren und äußeren Ableitungen und zusammengesetztem Ergebnis.

Erklärung 02

Außen ableiten, innen stehen lassen, innen ableiten

Die Kettenregel lautet $\mathsf{f^{\prime}(x)=F^{\prime}(u(x))\cdot u^{\prime}(x)}$ . Sie gilt dort, wo u ableitbar ist und F an der zugehörigen Stelle u(x) ableitbar ist.

Leite die äußere Funktion nach ihrer Eingabe u ab. Setze anschließend die unveränderte innere Funktion ein. Multipliziere zuletzt mit der inneren Ableitung. Dieser Faktor darf nicht fehlen.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{f(x)=(3x-2)^4}$ ab.

$\mathsf{u(x)=3x-2}$ — innere Funktion benennen.

$\mathsf{F(u)=u^4}$ — äußere Funktion benennen.

$\mathsf{F^{\prime}(u)=4u^3}$ — außen ableiten.

$\mathsf{u^{\prime}(x)=3}$ — innen ableiten.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=4(3x-2)^3\cdot3}$ — beide Ableitungen verknüpfen.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=12(3x-2)^3}$ — die konstanten Faktoren multiplizieren.

Erklärung 03

Die innere Funktion kann selbst eine Potenz enthalten

Die innere Ableitung muss keine Konstante sein. Bei $\mathsf{u(x)=x^2+1}$ lautet sie $\mathsf{u^{\prime}(x)=2x}$ . Dieser Faktor gehört vollständig zum Ergebnis.

Die äußere Potenz wird nur einmal abgeleitet. Du musst die ursprüngliche Klammer nicht ausmultiplizieren.

Die Ableitung der dritten Potenz von x² plus 1 mit hervorgehobenem innerem Faktor 2x.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{g(x)=(x^2+1)^3}$ ab.

$\mathsf{u(x)=x^2+1}$ — innere Funktion.

$\mathsf{F(u)=u^3}$ — äußere Funktion.

$\mathsf{F^{\prime}(u)=3u^2}$ — äußere Ableitung.

$\mathsf{u^{\prime}(x)=2x}$ — innere Ableitung.

$\mathsf{g^{\prime}(x)=3(x^2+1)^2\cdot2x}$ — Kettenregel einsetzen.

$\mathsf{g^{\prime}(x)=6x(x^2+1)^2}$ — Faktoren ordnen.

Erklärung 04

Exponential- und Winkelfunktionen

Für die äußere Funktion $\mathsf{F(u)=e^u}$ ist $\mathsf{F^{\prime}(u)=e^u}$ . Für $\mathsf{F(u)=\sin u}$ gilt $\mathsf{F^{\prime}(u)=\cos u}$ . Winkelfunktionen werden im Bogenmaß betrachtet.

Die innere Funktion bleibt auch hier im Argument stehen. Nur ihr zusätzlicher Ableitungsfaktor kommt hinzu.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{h(x)=e^{2x+1}}$ ab.

$\mathsf{u(x)=2x+1}$ — innere Funktion.

$\mathsf{F^{\prime}(u)=e^u}$ — äußere Ableitung.

$\mathsf{u^{\prime}(x)=2}$ — innere Ableitung.

$\mathsf{h^{\prime}(x)=e^{2x+1}\cdot2}$ — verknüpfen.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{k(x)=\sin(3x)}$ ab.

$\mathsf{u(x)=3x}$ — innere Funktion.

$\mathsf{F^{\prime}(u)=\cos u}$ — außen ableiten.

$\mathsf{u^{\prime}(x)=3}$ — innen ableiten.

$\mathsf{k^{\prime}(x)=3\cos(3x)}$ — inneren Faktor ergänzen.

Erklärung 05

Wurzeln und ihr Definitionsbereich

Für $\mathsf{F(u)=\sqrt u}$ gilt $\mathsf{F^{\prime}(u)=\frac1{2\sqrt u}}$ nur bei u > 0. Eine Wurzelfunktion kann am Rand noch definiert sein, obwohl diese Ableitungsformel dort keinen endlichen Wert liefert.

Trenne deshalb den Definitionsbereich der Funktion vom Bereich, in dem die Ableitung angegeben wird.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Ableitung und die Bereiche für $\mathsf{p(x)=\sqrt{2x+3}}$ .

$\mathsf{2x+3\ge0}$ — Bedingung für die reelle Wurzel.

$\mathsf{x\ge-\frac32}$ — nach x auflösen.

$\mathsf{F^{\prime}(u)=\frac1{2\sqrt u}}$ — äußere Ableitung bei u > 0.

$\mathsf{u^{\prime}(x)=2}$ — innere Ableitung.

$\mathsf{p^{\prime}(x)=\frac2{2\sqrt{2x+3}}}$ — Kettenregel.

$\mathsf{p^{\prime}(x)=\frac1{\sqrt{2x+3}}}$ — kürzen.

Erklärung 06

Mehrere Regeln sinnvoll verbinden

Bei einer Summe bleibt außen die Summenregel maßgeblich. Jeder verkettete Summand wird anschließend mit der Kettenregel abgeleitet. Bei $\mathsf{f(x)=(x+1)^2+3x}$ wird also nur der erste Summand als Verkettung behandelt.

Prüfe zum Schluss den inneren Faktor, die unveränderte innere Klammer und den Definitionsbereich. Ausführliche Produkte und Quotienten behandelt das jeweilige eigene Thema.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kettenregel · EinstiegBenenne für $\mathsf{f(x)=(5x+1)^3}$ innere und äußere Funktion. Leite danach ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Innere und äußere Funktion
Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u(x)=5x+1}$ — innen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(u)=u^3}$ — außen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(u)=3u^2}$ — äußere Ableitung.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}(x)=5}$ — innere Ableitung.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=15(5x+1)^2}$ — beide Faktoren multiplizieren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Innere und äußere Funktion $\mathsf{u(x)=5x+1,\quad F(u)=u^3}$
2. Ableitung $\mathsf{f^{\prime}(x)=15(5x+1)^2}$
02
Aufgabe 2Kettenregel · EinstiegLeite $\mathsf{g(x)=(2-4x)^5}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung mit innerem Faktor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u(x)=2-4x}$ — innen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(u)=5u^4}$ — außen ableiten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}(x)=-4}$ — das Minus gehört zum inneren Faktor.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}(x)=-20(2-4x)^4}$ — verknüpfen.
Ergebnis
1. Ableitung mit innerem Faktor $\mathsf{g^{\prime}(x)=-20(2-4x)^4}$
03
Aufgabe 3Kettenregel · StandardLeite $\mathsf{h(x)=(x^2-3)^4}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u(x)=x^2-3}$ — innen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(u)=4u^3}$ — außen ableiten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}(x)=2x}$ — innen ableiten.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^{\prime}(x)=8x(x^2-3)^3}$ — Faktoren zusammenstellen.
Ergebnis
1. Ableitung $\mathsf{h^{\prime}(x)=8x(x^2-3)^3}$
04
Aufgabe 4Kettenregel · StandardLeite $\mathsf{f(x)=e^{-3x}}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u(x)=-3x}$ — innen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(u)=e^u}$ — außen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}(x)=-3}$ — innen ableiten.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-3e^{-3x}}$ — verknüpfen.
Ergebnis
1. Ableitung $\mathsf{f^{\prime}(x)=-3e^{-3x}}$
05
Aufgabe 5Kettenregel · StandardLeite $\mathsf{f(x)=\sin(2x-1)}$ ab. Winkel werden im Bogenmaß angegeben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u(x)=2x-1}$ — innen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(u)=\cos u}$ — außen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}(x)=2}$ — innen ableiten.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=2\cos(2x-1)}$ — verknüpfen.
Ergebnis
1. Ableitung $\mathsf{f^{\prime}(x)=2\cos(2x-1)}$
06
Aufgabe 6Kettenregel · StandardBestimme für $\mathsf{f(x)=\sqrt{3x+6}}$ den Definitionsbereich und die Ableitung mit ihrem Gültigkeitsbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsbereich
Ableitung mit Bereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+6\ge0}$ — Wurzelbedingung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ge-2}$ — Definitionsbereich.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(u)=\frac1{2\sqrt u}}$ — äußere Ableitung.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}(x)=3}$ — innere Ableitung.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac3{2\sqrt{3x+6}}}$ — Kettenregel bei x > −2.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsbereich $\mathsf{D_f=[-2;\infty)}$
2. Ableitung mit Bereich $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac3{2\sqrt{3x+6}},\quad x>-2}$
07
Aufgabe 7Kettenregel · StandardKorrigiere: Für $\mathsf{f(x)=(x^2+2)^3}$ wurde $\mathsf{f^{\prime}(x)=3(x^2+2)^2}$ angegeben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler und richtige Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}(x)=2x}$ — der fehlende innere Faktor.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3(x^2+2)^2\cdot2x}$ — den Faktor ergänzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=6x(x^2+2)^2}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Fehler und richtige AbleitungEs fehlt die innere Ableitung 2x; richtig ist $\mathsf{6x(x^2+2)^2}$ .
08
Aufgabe 8Kettenregel · VertiefungBestimme für $\mathsf{f(x)=(2x+1)^2}$ die Tangentensteigung bei x = 1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Steigung mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(u)=2u}$ — äußere Ableitung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}(x)=2}$ — innere Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=4(2x+1)}$ — verknüpfen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(1)=12}$ — die Stelle einsetzen.
Ergebnis
1. Steigung mit Rechnung $\mathsf{m=12}$
09
Aufgabe 9Kettenregel · VertiefungLeite $\mathsf{f(x)=(x+2)^3+4x^2}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitungsfunktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{((x+2)^3)^{\prime}=3(x+2)^2\cdot1}$ — Kettenregel im ersten Summanden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(4x^2)^{\prime}=8x}$ — zweiten Summanden ableiten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3(x+2)^2+8x}$ — Summenregel.
Ergebnis
1. Ableitungsfunktion $\mathsf{f^{\prime}(x)=3(x+2)^2+8x}$
10
Aufgabe 10Kettenregel · VertiefungEine Person sagt: „Bei einer Klammerpotenz ist die innere Ableitung immer 1.“ Widerlege das anhand von $\mathsf{f(x)=(3x^2-1)^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Widerlegung mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u(x)=3x^2-1}$ — innere Funktion.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}(x)=6x}$ — innere Ableitung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}(u)=2u}$ — äußere Ableitung.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=12x(3x^2-1)}$ — Kettenregel.
Ergebnis
1. Widerlegung mit RechnungDie innere Ableitung ist 6x und nicht generell 1.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne innere und äußere Funktion.
Ich multipliziere mit der inneren Ableitung.
Ich beachte den Bereich, in dem die Ableitung gilt.

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