Ableitungsregeln · Erklären & üben

Summenregel und Differenzregel

Eine Summe oder Differenz leitest du gliedweise ab. Die Verknüpfungszeichen bleiben erhalten. Entscheidend ist, zuerst die Summanden und ihre Vorzeichen richtig zu erkennen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Jeden Summanden einzeln ableiten

Sind u und v an der betrachteten Stelle ableitbar, gilt die Summenregel: $\mathsf{(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}}$ . Für die Differenzregel gilt entsprechend $\mathsf{(u-v)^{\prime}=u^{\prime}-v^{\prime}}$ .

Diese Regeln gelten auch für mehr als zwei Summanden. Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten stehen. Eine reine Konstante hat die Ableitung 0.

Zusammenstellung zweier Terme und ihrer Differenz: x³ und 2x² werden zu 3x² und 4x; die Differenz bleibt erhalten.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{f(x)=2x^3+4x^2-5x+7}$ ab.

$\mathsf{(2x^3)^{\prime}=6x^2}$ — den ersten Summanden ableiten.

$\mathsf{(4x^2)^{\prime}=8x}$ — den zweiten Summanden ableiten.

$\mathsf{(-5x)^{\prime}=-5}$ — der lineare Term liefert seinen Faktor.

$\mathsf{7^{\prime}=0}$ — die Konstante fällt weg.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^2+8x-5}$ — die Ergebnisse mit ihren Vorzeichen zusammensetzen.

Erklärung 02

Ein Minus vor der Klammer

Eine ganze Klammer kann ein Summand sein. Bei $\mathsf{u(x)-v(x)}$ wird die gesamte Ableitung von v subtrahiert. Erst danach löst du die Klammer auf.

Du kannst auch zuerst die ursprüngliche Klammer auflösen. Beide Wege führen zum selben Ergebnis, wenn alle Vorzeichen richtig übernommen werden.

Drei beschriftete Rechenschritte zeigen die Ableitung einer Klammer und die Verteilung des äußeren Minuszeichens.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Ableitung von $\mathsf{f(x)=(x^3+2x)-(3x^2-4x+1)}$ .

$\mathsf{u^{\prime}(x)=3x^2+2}$ — die erste Klammer ableiten.

$\mathsf{v^{\prime}(x)=6x-4}$ — die zweite Klammer ableiten.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=(3x^2+2)-(6x-4)}$ — die gesamte zweite Ableitung subtrahieren.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2+2-6x+4}$ — das Minus vor der Klammer verteilen.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-6x+6}$ — die konstanten Terme zusammenfassen.

Erklärung 03

Vorher vereinfachen kann helfen

Gleichartige Terme dürfen vor oder nach dem Ableiten zusammengefasst werden. Eine erkennbare Vereinfachung macht die Rechnung oft kürzer.

Die Summenregel bezieht sich auf die äußerste Verknüpfung. Bei $\mathsf{x^2\cdot\sin x}$ liegt ein Produkt vor, keine Summe. Bei $\mathsf{(x^2+1)^3}$ steht außen eine Potenz; dafür wird die Kettenregel benötigt.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{g(x)=3x^2-2x^2+5x-5x+8}$ möglichst kurz ab.

$\mathsf{g(x)=x^2+8}$ — gleichartige Terme zusammenfassen.

$\mathsf{g^{\prime}(x)=2x}$ — das Quadrat ableiten; die Konstante fällt weg.

Erklärung 04

Auch verschiedene Funktionstypen lassen sich addieren

Die Summenregel verlangt nicht, dass alle Summanden dieselbe Form haben. Du leitest jeden mit seiner passenden Regel ab. Hier verwenden wir $\mathsf{(e^x)^{\prime}=e^x}$ und $\mathsf{(\sin x)^{\prime}=\cos x}$ ; bei Winkelfunktionen wird im Bogenmaß gerechnet.

Der Definitionsbereich der Gesamtfunktion muss für jeden Summanden passen. Eine Summe mit $\mathsf{\ln x}$ ist beispielsweise nur für x > 0 definiert. Die Summenregel hebt diese Einschränkung nicht auf.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{h(x)=x^2+e^x-\sin x}$ ab.

$\mathsf{(x^2)^{\prime}=2x}$ — die Potenz ableiten.

$\mathsf{(e^x)^{\prime}=e^x}$ — die Exponentialfunktion bleibt erhalten.

$\mathsf{(-\sin x)^{\prime}=-\cos x}$ — das Minus bleibt beim Ableiten erhalten.

$\mathsf{h^{\prime}(x)=2x+e^x-\cos x}$ — die Ergebnisse zusammensetzen.

Erklärung 05

Eine Steigung an einer Stelle bestimmen

Die Ableitungsfunktion beschreibt die Steigungen an allen zulässigen Stellen. Für einen einzelnen Wert leitest du zuerst ab und setzt danach die Stelle ein.

Bei Sachaufgaben hat die Ableitung die Einheit „Einheit des Funktionswerts pro Einheit der Eingabe“.

So geht es am Beispiel

Für $\mathsf{f(x)=x^3-2x+1}$ ist die Steigung bei x = 2 gesucht.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-2}$ — gliedweise ableiten.

$\mathsf{f^{\prime}(2)=3\cdot2^2-2}$ — die Stelle einsetzen.

$\mathsf{f^{\prime}(2)=10}$ — ausrechnen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Summenregel und Differenzregel · EinstiegLeite $\mathsf{f(x)=x^4+3x^2+5}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x^4)^{\prime}=4x^3}$ — erster Term.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(3x^2)^{\prime}=6x}$ — zweiter Term.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5^{\prime}=0}$ — Konstante.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=4x^3+6x}$ — zusammensetzen.
Ergebnis
1. Ableitung mit Rechenweg $\mathsf{f^{\prime}(x)=4x^3+6x}$
02
Aufgabe 2Summenregel und Differenzregel · EinstiegLeite $\mathsf{g(x)=5x^3-2x^2-7x+4}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung mit Rechenweg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(5x^3)^{\prime}=15x^2}$ — erster Term.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-2x^2)^{\prime}=-4x}$ — zweiter Term.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-7x)^{\prime}=-7}$ — dritter Term.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}(x)=15x^2-4x-7}$ — die Konstante fällt weg.
Ergebnis
1. Ableitung mit Rechenweg $\mathsf{g^{\prime}(x)=15x^2-4x-7}$
03
Aufgabe 3Summenregel und Differenzregel · StandardLeite $\mathsf{f(x)=(2x^3+x)-(x^2-3x+6)}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung mit Klammer-Schritt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u^{\prime}(x)=6x^2+1}$ — erste Klammer.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{v^{\prime}(x)=2x-3}$ — zweite Klammer.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=(6x^2+1)-(2x-3)}$ — Differenzregel.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^2-2x+4}$ — Klammer auflösen und zusammenfassen.
Ergebnis
1. Ableitung mit Klammer-Schritt $\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^2-2x+4}$
04
Aufgabe 4Summenregel und Differenzregel · StandardVereinfache zuerst und leite dann ab: $\mathsf{p(x)=4x^3-x^3+2x-2x-9}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachung und Ableitung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(x)=3x^3-9}$ — gleichartige Terme zusammenfassen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p^{\prime}(x)=9x^2}$ — ableiten.
Ergebnis
1. Vereinfachung und Ableitung $\mathsf{p^{\prime}(x)=9x^2}$
05
Aufgabe 5Summenregel und Differenzregel · StandardLeite $\mathsf{q(x)=\frac12x^4-\frac23x^3+x}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitungsfunktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(\frac12x^4)^{\prime}=2x^3}$ — Faktor mit Exponent multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-\frac23x^3)^{\prime}=-2x^2}$ — zweiter Term.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^{\prime}=1}$ — linearer Term.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q^{\prime}(x)=2x^3-2x^2+1}$ — zusammensetzen.
Ergebnis
1. Ableitungsfunktion $\mathsf{q^{\prime}(x)=2x^3-2x^2+1}$
06
Aufgabe 6Summenregel und Differenzregel · StandardBestimme für $\mathsf{f(x)=2x^3-x^2+4x}$ die Ableitungsfunktion und die Steigung bei x = −1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Ableitungsfunktion
b) Steigung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^2-2x+4}$ — gliedweise ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(-1)=6\cdot(-1)^2-2\cdot(-1)+4}$ — einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(-1)=12}$ — ausrechnen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Ableitungsfunktion $\mathsf{f^{\prime}(x)=6x^2-2x+4}$
2. b) Steigung $\mathsf{m=12}$
07
Aufgabe 7Summenregel und Differenzregel · StandardKorrigiere den Fehler: Für $\mathsf{f(x)=x^3-(2x^2-5x)}$ wurde $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-4x-5}$ notiert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlererklärung und Korrektur
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(2x^2-5x)^{\prime}=4x-5}$ — innere Klammer ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-(4x-5)}$ — das äußere Minus beibehalten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-4x+5}$ — Minus mal Minus ergibt Plus.
Ergebnis
1. Fehlererklärung und KorrekturBeim Auflösen der Klammer muss der letzte Term +5 sein.
08
Aufgabe 8Summenregel und Differenzregel · VertiefungLeite $\mathsf{h(x)=2e^x+x^2-\sin x}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitungsfunktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(2e^x)^{\prime}=2e^x}$ — Faktor bleibt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x^2)^{\prime}=2x}$ — Potenzregel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-\sin x)^{\prime}=-\cos x}$ — Minus übernehmen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^{\prime}(x)=2e^x+2x-\cos x}$ — zusammensetzen.
Ergebnis
1. Ableitungsfunktion $\mathsf{h^{\prime}(x)=2e^x+2x-\cos x}$
09
Aufgabe 9Summenregel und Differenzregel · VertiefungWelche äußerste Regel passt zu a) $\mathsf{x^2+\sin x}$ , b) $\mathsf{x^2\sin x}$ , c) $\mathsf{(x^2+1)^3}$ ? Eine Ableitung ist nicht verlangt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Regel
b) Regel
c) Regel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  a) Zwei Funktionsterme werden addiert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  b) Zwei Funktionsterme werden multipliziert.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  c) Eine innere Funktion wird in eine äußere Potenz eingesetzt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) RegelSummenregel.
2. b) RegelProduktregel.
3. c) RegelKettenregel.
10
Aufgabe 10Summenregel und Differenzregel · VertiefungEin Wegmodell lautet $\mathsf{s(t)=t^3+2t}$ Meter für $\mathsf{0\le t\le3}$ Sekunden. Bestimme die momentane Geschwindigkeit bei t = 2 mit Einheit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Geschwindigkeit mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s^{\prime}(t)=3t^2+2}$ — beide Summanden ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s^{\prime}(2)=14}$ — t = 2 einsetzen.
Ergebnis
1. Geschwindigkeit mit Rechnung14 m/s.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne die äußerste Verknüpfung.
Ich übernehme alle Vorzeichen, auch vor Klammern.
Ich leite vor dem Einsetzen einer Stelle ab.

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