Variablen · Erklären & üben

Koeffizient

Ein Koeffizient ist ein Faktor zu einem betrachteten Variablenteil. Du erkennst ihn einschließlich seines Vorzeichens und unterscheidest ihn vom Wert der Variable.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Faktor und Variablenteil

In $\mathsf{6x}$ ist 6 der Koeffizient zum Variablenteil x. Der Ausdruck bedeutet $\mathsf{6\cdot x}$ . Der Koeffizient sagt, mit welchem Faktor der Variablenteil multipliziert wird. Wenn ein Wert für x eingesetzt wird, wird dadurch der Koeffizient 6 nicht verändert. Wir verwenden hier reelle Variablen.

Bestimme den betrachteten Variablenteil.
Lies den davorstehenden Faktor einschließlich Vorzeichen.
Unterscheide diesen Faktor vom eingesetzten Variablenwert.

Koeffizient mal Variablenteil ergibt den betreffenden Term.

Koeffizient und eingesetzter Wert sind verschieden. 6x bedeutet 6 · x. Koeffizient zum Variablenteil x: 6.. Für x wird 4 eingesetzt.. Die Variable heißt weiterhin x; ihr Wert ist jetzt 4.. 6 · 4 = 24. Der Koeffizient bleibt 6. Der Termwert ist 24.. Die drei Zahlen 6, 4 und 24 haben verschiedene Rollen.

So geht es am Beispiel

Benenne Koeffizient und Variable in $\mathsf{6x}$ . Berechne den Term für $\mathsf{x=4}$ .

Der Zahlenfaktor und damit der Koeffizient ist 6.

Die Variable ist x, ihr eingesetzter Wert ist 4.

Das Produkt ist $\mathsf{6\cdot4=24}$ .

So geht es am Beispiel

Benenne den Koeffizienten zum Variablenteil $\mathsf{x^2}$ in $\mathsf{-7x^2}$ .

Der ganze Zahlenfaktor einschließlich Vorzeichen ist minus sieben.

Der Exponent 2 gehört zum Variablenteil, nicht zum Koeffizienten.

Erklärung 02

Nicht ausgeschriebene und verschwindende Koeffizienten

In x ist der Koeffizient 1 nicht ausgeschrieben. In $\mathsf{-x}$ ist er minus eins. Auch 0 ist ein möglicher Koeffizient: $\mathsf{0x=0}$ für jeden reellen Wert von x. Ein Term wie $\mathsf{0x+5}$ hat immer den Wert 5 und hängt nicht von x ab.

Ergänze gedanklich den Faktor 1 oder minus eins.
Erkenne bei Faktor null das verschwindende Produkt.

$\mathsf{x=1\cdot x}$ , $\mathsf{-x=(-1)\cdot x}$ und $\mathsf{0\cdot x=0}$ .

Nicht ausgeschriebene Faktoren sichtbar machen. x = 1 · x. Koeffizient zu x: 1.. −x = (−1) · x. Koeffizient zu x: −1.. 0x = 0 · x = 0. Koeffizient zu x: 0.. Das Vorzeichen gehört zum Koeffizienten.

So geht es am Beispiel

Benenne die Koeffizienten in $\mathsf{x}$ , $\mathsf{-x}$ und $\mathsf{0x}$ .

Die Schreibweise x steht für $\mathsf{1\cdot x}$ .

Die Schreibweise $\mathsf{-x}$ steht für $\mathsf{(-1)\cdot x}$ .

In $\mathsf{0x}$ ist der Faktor 0 bereits sichtbar.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{0x+5}$ für $\mathsf{x=-2}$ und $\mathsf{x=10}$ .

Beim ersten Wert gilt $\mathsf{0\cdot(-2)=0}$ .

Danach ergibt $\mathsf{0+5=5}$ .

Beim zweiten Wert gilt $\mathsf{0\cdot10=0}$ .

Danach ergibt erneut $\mathsf{0+5=5}$ .

Erklärung 03

Koeffizienten beim Zusammenfassen

Bei gleichartigen Summanden werden die Koeffizienten addiert oder subtrahiert. Der Variablenteil bleibt gleich. In einem Polynom werden die Faktoren zu den unterschiedlichen Potenzen getrennt betrachtet. Der konstante Summand enthält keine Variable; sein Wert wird auch konstantes Glied genannt.

Sortiere nach Variablen und Potenzen.
Verrechne nur Koeffizienten gleichartiger Summanden.
Behalte konstante Glieder getrennt.

$\mathsf{ax+bx=(a+b)x}$ . Summanden mit $\mathsf{x}$ und $\mathsf{x^2}$ sind nicht gleichartig.

Der Term drei x Quadrat minus fünf x plus acht wird in drei Teile getrennt. Koeffizient zu x Quadrat ist drei, zu x ist minus fünf, konstantes Glied acht.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{7x-3x+2}$ .

Die gleichartigen Koeffizienten ergeben $\mathsf{7-3=4}$ .

Der Variablenteil bleibt x.

Das konstante Glied 2 bleibt stehen.

So geht es am Beispiel

Benenne in $\mathsf{3x^2-5x+8}$ die Koeffizienten zu $\mathsf{x^2}$ und x sowie das konstante Glied.

Zu $\mathsf{x^2}$ gehört der Faktor 3.

Zu x gehört der Faktor minus fünf.

Das konstante Glied ist 8.

Erklärung 04

Koeffizient und Parameter können dieselbe Zahl bezeichnen

In $\mathsf{ax+b}$ wird x häufig als veränderliche Variable betrachtet. a und b sind dann Parameter: Für einen konkreten Term werden sie festgelegt. a ist zugleich der Koeffizient von x. Parameter und Koeffizient sind daher keine einander ausschließenden Rollen. Ein Koeffizient kann auch ein Ausdruck sein, der von anderen Parametern abhängt.

Lege fest, welche Variable sich ändern darf.
Benenne die festgehaltenen Parameter.
Bestimme den ganzen Faktor zur betrachteten Variable.

Die Bezeichnung hängt davon ab, welche Variable betrachtet wird und was festgehalten wird.

In ax + b kann a zwei Rollen haben. x wird als veränderliche Variable betrachtet.. a und b werden für einen konkreten Term festgelegt.. a = 2 und b = −3 ergeben 2x − 3.. a ist ein Parameter und zugleich Koeffizient von x.. (c + 1)x bei festem c. Der gesamte Ausdruck c + 1 ist Koeffizient von x.. Parameter und Koeffizient schließen sich nicht aus.

So geht es am Beispiel

Betrachte $\mathsf{ax+b}$ mit $\mathsf{a=2}$ und $\mathsf{b=-3}$ . Welcher Term entsteht und was ist der Koeffizient von x?

Setze den Parameter a ein: $\mathsf{2x+b}$ .

Setze b ein: $\mathsf{2x-3}$ .

Der Faktor von x ist 2.

So geht es am Beispiel

Welchen Koeffizienten hat x in $\mathsf{(c+1)x}$ , wenn c als Parameter festgehalten wird? Berechne ihn für $\mathsf{c=4}$ .

Der gesamte Ausdruck $\mathsf{(c+1)}$ multipliziert x.

Bei vier ergibt er $\mathsf{4+1=5}$ .

Erklärung 05

Mehrere Variablen und sinnvoller Anschluss

In $\mathsf{3xy}$ ist der Zahlenkoeffizient zum gesamten Variablenteil xy gleich 3. Betrachtest du dagegen x als Variable und hältst y fest, ist der Faktor zu x gleich $\mathsf{3y}$ . Sage daher dazu, worauf du dich beziehst. Ein Ausdruck wie $\mathsf{\frac1t x}$ hat den Koeffizienten $\mathsf{\frac1t}$ nur für $\mathsf{t\ne0}$ . In linearen Gleichungssystemen stehen ebenfalls Koeffizienten vor den einzelnen Variablen; das zugehörige Thema vertieft deren Verwendung.

Benenne den betrachteten Variablenteil.
Halte die übrigen Parameter ausdrücklich fest.
Prüfe Nenner in Koeffizientenausdrücken.

Der betrachtete Variablenteil und der Definitionsbereich gehören zur Aussage.

3xy: Auf welchen Variablenteil beziehst du dich?. Zum gesamten Variablenteil xy. Der Zahlenkoeffizient ist 3.. Zu x bei festgehaltenem y. Der Koeffizient ist der Ausdruck 3y.. Wenn y = 2 festgehalten wird. Der Koeffizient zu x ist 3 · 2 = 6.. Der Bezug muss bei der Benennung deutlich sein.

So geht es am Beispiel

Benenne die beiden beschriebenen Koeffizienten in $\mathsf{3xy}$ . Setze danach $\mathsf{y=2}$ .

Zum gesamten Variablenteil xy gehört der Zahlenfaktor 3.

Wenn y festgehalten wird, ist der Faktor zu x gleich $\mathsf{3y}$ .

Für zwei ergibt dieser Faktor $\mathsf{3\cdot2=6}$ .

So geht es am Beispiel

Ist $\mathsf{\frac1t}$ als Koeffizient in $\mathsf{\frac1t x}$ bei $\mathsf{t=0}$ erlaubt?

Der Nenner wäre null.

Ein Bruch mit Nenner null ist nicht definiert.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Koeffizient · 1Benenne den Koeffizienten und die Variable in $\mathsf{8x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Koeffizient
Variable
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Zahlenfaktor ist 8.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Variablenzeichen ist x.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Koeffizient8
2. Variablex
02
Aufgabe 2Koeffizient · 1Benenne die Koeffizienten in y und $\mathsf{-y}$ jeweils zum Variablenteil y.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Koeffizient in y
Koeffizient in minus y
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  y bedeutet $\mathsf{1\cdot y}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{-y}$ bedeutet $\mathsf{(-1)\cdot y}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Koeffizient in y1
2. Koeffizient in minus y−1
03
Aufgabe 3Koeffizient · 1Im Term $\mathsf{-5x}$ wird $\mathsf{x=-2}$ eingesetzt. Gib Koeffizient, eingesetzten Variablenwert und Termwert getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Koeffizient
Eingesetzter Wert
Termwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Koeffizient bleibt minus fünf.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der eingesetzte Wert ist minus zwei.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{(-5)\cdot(-2)=10}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Koeffizient−5
2. Eingesetzter Wert−2
3. Termwert10
04
Aufgabe 4Koeffizient · 2Vereinfache $\mathsf{4x+7-2x}$ . Gib danach den Koeffizienten von x und das konstante Glied an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Koeffizient von x
Konstantes Glied
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die x-Terme ergeben $\mathsf{4x-2x=2x}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das konstante Glied 7 bleibt bestehen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{2x+7}$
2. Koeffizient von x2
3. Konstantes Glied7
05
Aufgabe 5Koeffizient · 2Benenne in $\mathsf{3x^2+8x-1}$ den Koeffizienten zu $\mathsf{x^2}$ , den zu x und das konstante Glied.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Koeffizient zu x zum Quadrat
Koeffizient zu x
Konstantes Glied
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zu $\mathsf{x^2}$ gehört der Faktor 3.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zu x gehört der Faktor 8.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das konstante Glied ist minus eins.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Koeffizient zu x zum Quadrat3
2. Koeffizient zu x8
3. Konstantes Glied−1
06
Aufgabe 6Koeffizient · 2Welchen Koeffizienten von x hat $\mathsf{0x+9}$ ? Hängt der Termwert von x ab? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Koeffizient von x
Abhängig von x?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Produkt $\mathsf{0\cdot x}$ ist für jedes reelle x null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nach Addition von 9 ist der Wert immer 9.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Koeffizient von x0
2. Abhängig von x?Nein
3. BegründungDas Produkt mit null verschwindet. Der Wert bleibt für jedes reelle x gleich 9.
07
Aufgabe 7Koeffizient · 2In $\mathsf{ax+b}$ seien $\mathsf{a=-3}$ und $\mathsf{b=2}$ festgelegt. Gib den entstehenden Term, den Koeffizienten von x und den Wert für $\mathsf{x=4}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Term nach Einsetzen der Parameter
Koeffizient von x
Wert bei x gleich vier
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze die Parameter ein: $\mathsf{-3x+2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Koeffizient von x ist minus drei.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für vier ergibt das Produkt $\mathsf{(-3)\cdot4=-12}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{-12+2=-10}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Term nach Einsetzen der Parameter $\mathsf{-3x+2}$
2. Koeffizient von x−3
3. Wert bei x gleich vier−10
08
Aufgabe 8Koeffizient · 3In $\mathsf{(c+2)x}$ sei $\mathsf{c=3}$ festgehalten. Bestimme den Koeffizienten von x und den Termwert für $\mathsf{x=-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Koeffizient bei c gleich drei
Termwert bei x gleich minus zwei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Koeffizient ist $\mathsf{c+2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Setze drei ein: $\mathsf{3+2=5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Termwert ist $\mathsf{5\cdot(-2)=-10}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Koeffizient bei c gleich drei5
2. Termwert bei x gleich minus zwei−10
09
Aufgabe 9Koeffizient · 3Betrachte $\mathsf{2xy}$ bei festem $\mathsf{y=4}$ . Gib den Zahlenkoeffizienten zum gesamten Variablenteil xy, den Koeffizienten zu x bei diesem festen y und den Termwert für $\mathsf{x=3}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zahlenkoeffizient zu xy
Koeffizient zu x bei y gleich vier
Termwert bei x gleich drei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Zahlenfaktor zum gesamten Variablenteil xy ist 2.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei festem y gleich vier ist der Faktor zu x gleich $\mathsf{2\cdot4=8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für x gleich drei ergibt sich $\mathsf{8\cdot3=24}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zahlenkoeffizient zu xy2
2. Koeffizient zu x bei y gleich vier8
3. Termwert bei x gleich drei24

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese das Vorzeichen als Teil des Koeffizienten.
Ich erkenne die nicht ausgeschriebenen Faktoren 1 und −1.
Ich unterscheide Koeffizient, eingesetzten Wert und Termwert.
Ich benenne den betrachteten Variablenteil.
Ich weiß, dass ein Parameter zugleich Koeffizient sein kann.

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