Variablen · Erklären & üben

Was ist eine Variable?

Eine Variable ist ein Zeichen für eine Zahl oder Größe. Welche Werte möglich sind und welche Rolle sie hat, ergibt sich aus dem Zusammenhang.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zeichen, Wert und Rolle

Eine Variable wird häufig durch einen Buchstaben wie x oder n bezeichnet. Der Buchstabe ist nicht schon ein bestimmter Zahlenwert. In einer Gleichung kann er eine gesuchte Zahl darstellen, in einer allgemeinen Regel viele zulässige Zahlen und in einer Funktion einen eingesetzten Eingangswert. Derselbe Buchstabe erhält innerhalb einer Auswertung überall denselben Wert.

Benenne das Variablenzeichen.
Lies den vorgegebenen oder gesuchten Wert.
Setze denselben Wert an jeder passenden Stelle ein.

Variable und eingesetzter Wert sind zu unterscheiden.

Buchstabe, eingesetzter Wert und Ergebnis. Term: 4x + 1. x ist das Variablenzeichen.. Vorgabe: x = 3. 3 ist der eingesetzte Wert.. 4 · 3 + 1 = 13. 13 ist der Wert des ganzen Terms.. Der Faktor 4 wird beim Einsetzen nicht verändert.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{4x+1}$ für $\mathsf{x=3}$ . Welche Variable kommt vor?

Die Variable ist x.

Ihr eingesetzter Wert ist 3.

Der Zahlenfaktor 4 bleibt unverändert.

Multipliziere $\mathsf{4\cdot3=12}$ .

Addiere $\mathsf{12+1=13}$ .

So geht es am Beispiel

Finde die gesuchte reelle Zahl in $\mathsf{x+5=12}$ .

Ziehe 5 ab: $\mathsf{12-5=7}$ .

Die Probe ist $\mathsf{7+5=12}$ .

Erklärung 02

Nicht jeder Wert ist immer erlaubt

Der Definitionsbereich beschreibt die zulässigen Werte. Zählt n die Anzahl ganzer Gegenstände, sind nur nichtnegative ganze Zahlen sinnvoll. Bei einer positiven Länge sind negative Werte ausgeschlossen. In einem Bruchterm darf ein Nenner nicht null werden. Ohne sachliche Einschränkung verwenden wir in den folgenden Rechenbeispielen reelle Zahlen.

Bestimme, was die Variable im Kontext bedeutet.
Prüfe besondere Rechenbedingungen.
Notiere den passenden Bereich.

Der zulässige Bereich folgt aus Rechenoperation und Sachzusammenhang.

Eine, zwei und drei geschlossene Zweierpackungen enthalten zwei, vier und sechs Stifte. Die Variable n zählt ganze Packungen einschließlich null.

So geht es am Beispiel

In einer Kiste liegen n verschlossene Zweierpackungen. Der Term $\mathsf{2n}$ zählt die Stücke. Welche Werte darf n annehmen?

n zählt ganze Packungen.

Auch null Packungen sind möglich.

Negative oder gebrochene Packungsanzahlen passen nicht zu dieser Zählung.

So geht es am Beispiel

Welche reellen Werte sind in $\mathsf{\frac6{x-2}}$ verboten?

Der Nenner wird null bei $\mathsf{x-2=0}$ .

Daraus folgt $\mathsf{x=2}$ .

Alle anderen reellen Werte ergeben einen Nenner ungleich null.

Erklärung 03

Gleichartige Summanden addieren und subtrahieren

Gleichartige Summanden besitzen denselben Variablenteil mit denselben Exponenten. Addiere oder subtrahiere ihre Zahlenfaktoren. Der Variablenteil bleibt erhalten. Verschiedene Variablen oder unterschiedliche Potenzen dürfen nicht auf diese Weise zusammengefasst werden.

Vergleiche Variablen und Exponenten.
Verrechne nur die Zahlenfaktoren gleichartiger Summanden.
Lasse andere Summanden unverändert.

$\mathsf{3x+2x=5x}$ , aber $\mathsf{3x+2y}$ bleibt ohne weitere Angaben eine Summe.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{6a+2a}$ .

Beide Summanden haben den Variablenteil a.

Addiere die Faktoren: $\mathsf{6+2=8}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{9b-4b+2}$ .

Die beiden b-Terme sind gleichartig.

Subtrahiere ihre Faktoren: $\mathsf{9-4=5}$ .

Die Zahl 2 bleibt als eigener Summand stehen.

Erklärung 04

Multiplizieren und mehrere Variablen

Bei Produkten werden Zahlenfaktoren miteinander multipliziert. Zwei gleiche Variablenfaktoren ergeben ein Quadrat. Das ist etwas anderes als das Addieren zweier gleicher Summanden. Bei mehreren Variablen setzt du für jeden Buchstaben den jeweils zugeordneten Wert ein; verschiedene Buchstaben dürfen auch denselben Zahlenwert erhalten.

Unterscheide Plus und Mal.
Führe eingesetzte negative Werte in Klammern.
Nutze für jede Variable ihre eigene Zuordnung.

$\mathsf{x+x=2x}$ , aber $\mathsf{x\cdot x=x^2}$ .

Gleiche Buchstaben: das Rechenzeichen entscheidet. x + x = 2x. Zwei gleichartige Summanden werden addiert.. x · x = x². Zwei gleiche Faktoren werden multipliziert.. Bei x = 3: 3 + 3 = 6, aber 3 · 3 = 9.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{2x\cdot3x}$ .

Die Zahlenfaktoren ergeben $\mathsf{2\cdot3=6}$ .

Die Variablenfaktoren ergeben $\mathsf{x\cdot x=x^2}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{3p+2q}$ für $\mathsf{p=-2}$ und $\mathsf{q=5}$ .

Setze ein: $\mathsf{3\cdot(-2)+2\cdot5}$ .

Erstes Produkt: $\mathsf{3\cdot(-2)=-6}$ .

Zweites Produkt: $\mathsf{2\cdot5=10}$ .

Addiere $\mathsf{-6+10=4}$ .

Erklärung 05

Formeln und Funktionsargumente

In einer Formel stehen Variablen für benannte Größen. Einheiten und sachliche Grenzen gehören dazu. Bei einer Funktion ist x ein Eingangswert, dem ein Ergebnis zugeordnet wird. Für die Regel $\mathsf{f(x)=2x+1}$ mit reellem Definitionsbereich darfst du jede reelle Zahl einsetzen. Das ist eine Festlegung für diese Funktion, keine Eigenschaft jeder Variable. Lineare Funktionen einfach erklärt vertieft diesen Zusammenhang.

Benenne jede Größe und ihre Einheit.
Beachte den festgelegten Definitionsbereich.
Unterscheide Eingangswert und Ergebnis.

Die Rolle einer Variable hängt vom verwendeten Modell ab.

Rechteck im Verhältnis sechs zu vier mit Länge sechs Zentimeter und Breite vier Zentimeter. Die Fläche beträgt vierundzwanzig Quadratzentimeter.

Tabelle zur Regel f von x gleich zwei x plus eins mit reellem Definitionsbereich. Die Eingänge null, eins und zwei liefern die Ergebnisse eins, drei und fünf.

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck hat $\mathsf{A=l\cdot b}$ . Berechne die Fläche für $\mathsf{l=6\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{b=4\,\mathsf{cm}}$ .

l bezeichnet die Länge und b die Breite.

Multipliziere die Zahlen: $\mathsf{6\cdot4=24}$ .

Das Produkt zweier Längeneinheiten ist eine Flächeneinheit.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{f(3)}$ für $\mathsf{f(x)=2x+1}$ .

Der Eingangswert ist 3.

Setze ein: $\mathsf{2\cdot3+1}$ .

Multipliziere $\mathsf{2\cdot3=6}$ .

Addiere $\mathsf{6+1=7}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Was ist eine Variable? · 1Im Term $\mathsf{3n+2}$ wird $\mathsf{n=4}$ eingesetzt. Benenne die Variable, den eingesetzten Wert und den Termwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Variable
Eingesetzter Wert
Termwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Variablenzeichen ist n.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der eingesetzte Wert ist 4.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{3\cdot4=12}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{12+2=14}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Variablen
2. Eingesetzter Wert4
3. Termwert14
02
Aufgabe 2Was ist eine Variable? · 1Finde die reelle Zahl x in $\mathsf{x+7=15}$ und notiere die Probe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gesuchter Wert von x
Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ziehe 7 ab: $\mathsf{15-7=8}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Prüfe $\mathsf{8+7=15}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gesuchter Wert von x8
2. Probe $\mathsf{8+7=15}$
03
Aufgabe 3Was ist eine Variable? · 1n zählt verschlossene Packungen mit je drei Stiften. Ist $\mathsf{n=1{,}5}$ in diesem Modell erlaubt? Begründe. Gib die Anzahl der Stifte für $\mathsf{n=4}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ist 1,5 als Packungsanzahl erlaubt?
Begründung
Stifte bei vier Packungen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  n zählt ganze Packungen, daher ist 1,5 hier nicht erlaubt.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Vier Packungen enthalten $\mathsf{3\cdot4=12}$ Stifte.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ist 1,5 als Packungsanzahl erlaubt?Nein
2. BegründungGezählt werden ganze verschlossene Packungen, keine Packungsteile.
3. Stifte bei vier Packungen12
04
Aufgabe 4Was ist eine Variable? · 2Vereinfache $\mathsf{5x+2x}$ . Ist $\mathsf{5x+2y}$ ohne weitere Angaben ebenso zu $\mathsf{7x}$ zusammenfassbar? Begründe die zweite Antwort.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter erster Term
Zweiter Term zu sieben x zusammenfassbar?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gleichartige x-Terme ergeben $\mathsf{5x+2x=7x}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  x und y sind verschiedene Variablen und können verschiedene Werte haben.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter erster Term $\mathsf{7x}$
2. Zweiter Term zu sieben x zusammenfassbar?Nein
3. BegründungDie Summanden haben verschiedene Variablenteile. Ohne Beziehung zwischen x und y ist das nicht erlaubt.
05
Aufgabe 5Was ist eine Variable? · 2Vereinfache $\mathsf{9a-4a+6}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die a-Terme ergeben $\mathsf{9a-4a=5a}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Zahl 6 bleibt stehen.
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{5a+6}$
06
Aufgabe 6Was ist eine Variable? · 2Vereinfache $\mathsf{3b\cdot2b}$ . Berechne den Wert für $\mathsf{b=2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Wert bei b gleich zwei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Zahlenfaktoren ergeben $\mathsf{3\cdot2=6}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Variablenfaktoren ergeben $\mathsf{b\cdot b=b^2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der vereinfachte Term ist $\mathsf{6b^2}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Für zwei ist $\mathsf{2^2=4}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{6\cdot4=24}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{6b^2}$
2. Wert bei b gleich zwei24
07
Aufgabe 7Was ist eine Variable? · 2Berechne $\mathsf{2p+q}$ für $\mathsf{p=-3}$ und $\mathsf{q=5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Termwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze ein: $\mathsf{2\cdot(-3)+5}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{2\cdot(-3)=-6}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{-6+5=-1}$ .
Ergebnis
1. Termwert−1
08
Aufgabe 8Was ist eine Variable? · 2Für ein Rechteck gilt $\mathsf{U=2l+2b}$ . Berechne den Umfang für $\mathsf{l=5\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{b=3\,\mathsf{cm}}$ mit Einheit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die langen Seiten ergeben $\mathsf{2\cdot5=10}$ Zentimeter.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die kurzen Seiten ergeben $\mathsf{2\cdot3=6}$ Zentimeter.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{10+6=16}$ Zentimeter.
Ergebnis
1. Umfang16 cm
09
Aufgabe 9Was ist eine Variable? · 3Berechne $\mathsf{\frac{10}{x-1}}$ für $\mathsf{x=6}$ . Ist $\mathsf{x=1}$ erlaubt? Begründe und gib die reelle Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert bei x gleich sechs
Ist x gleich eins erlaubt?
Begründung
Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei sechs ist der Nenner $\mathsf{6-1=5}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Wert ist $\mathsf{10:5=2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei eins wird der Nenner $\mathsf{1-1=0}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Division durch null ist nicht definiert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert bei x gleich sechs2
2. Ist x gleich eins erlaubt?Nein
3. BegründungDer Nenner wird bei eins null.
4. Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{1\}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Variable, eingesetzten Wert und Termwert.
Ich setze denselben Wert an jeder Stelle derselben Variable ein.
Ich beachte den sachlichen und rechnerischen Definitionsbereich.
Ich unterscheide gleichartige Summanden von Produkten.

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