Koordinatensysteme · Erklären & üben

Kollinear

Kollinear bedeutet bei Punkten: Sie liegen auf einer gemeinsamen Geraden. Zwei von null verschiedene Vektoren sind kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Bei Punkten müssen deshalb zuerst passende Differenzvektoren gebildet werden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein gemeinsamer Faktor

Für zwei von null verschiedene Vektoren muss derselbe Faktor jede Komponente erfüllen. Ein negativer Faktor kehrt die Orientierung um; er verhindert Kollinearität nicht. Komponententupel wie $\mathsf{(1,2,3)}$ bezeichnen hier Vektoren. Die Prüfung kann in zwei oder drei Dimensionen durchgeführt werden.

Bilde bei Punkten Differenzvektoren vom gleichen Ausgangspunkt.
Bestimme einen möglichen Faktor und prüfe jede Komponente ohne Division durch null.

$\mathsf{\vec v=\lambda\vec u}$

Ein gemeinsamer Faktor für alle Komponenten

So geht es am Beispiel

Sind $\mathsf{\vec u=(1,2,3)}$ und $\mathsf{\vec v=(-2,-4,-6)}$ kollinear?

\mathsf{-2\vec u=(-2,-4,-6)=\vec v}

Der Faktor minus zwei gilt in allen drei Komponenten.

Erklärung 02

Vom gemeinsamen Ausgangspunkt aus

Für drei Punkte mit $\mathsf{A\ne B}$ prüfst du, ob $\mathsf{\overrightarrow{AC}}$ ein Vielfaches von $\mathsf{\overrightarrow{AB}}$ ist. Die Ortsvektoren von A, B und C direkt zu vergleichen wäre falsch: Die Gerade muss nicht durch den Ursprung laufen.

Bilde bei Punkten Differenzvektoren vom gleichen Ausgangspunkt.
Bestimme einen möglichen Faktor und prüfe jede Komponente ohne Division durch null.

$\mathsf{\vec c-\vec a=\lambda(\vec b-\vec a)}$

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{A(1|0|1)}$ , $\mathsf{B(3|1|1)}$ und $\mathsf{C(7|3|1)}$ .

\mathsf{\overrightarrow{AB}=(2,1,0)}

\mathsf{\overrightarrow{AC}=(6,3,0)=3\overrightarrow{AB}}

Erklärung 03

Nullkomponenten und gleiche Punkte

Dividiere niemals durch eine Nullkomponente. Vergleiche stattdessen die Komponentengleichungen. Der Nullvektor besitzt keine Richtung; algebraisch ist er ein Vielfaches jedes Vektors und bildet mit ihm ein linear abhängiges Paar. Bei Punkten wähle möglichst zwei verschiedene Ausgangspunkte. Sind höchstens zwei verschiedene Punkte gegeben, liegen sie auf einer gemeinsamen Geraden; fallen alle zusammen, ist diese Gerade nicht eindeutig.

Bilde bei Punkten Differenzvektoren vom gleichen Ausgangspunkt.
Bestimme einen möglichen Faktor und prüfe jede Komponente ohne Division durch null.

$\mathsf{v_i=\lambda u_i\quad\textsf{für jede Komponente}}$

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{\vec u=(0,2,0)}$ und $\mathsf{\vec v=(0,-6,0)}$ .

\mathsf{-6=\lambda\cdot2\Rightarrow\lambda=-3}

\mathsf{0=(-3)\cdot0}

Beide Nullkomponenten erfüllen die Gleichung ebenfalls.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kollinear · standardBestimme den Faktor zwischen $\mathsf{\vec u=(2,-1,3)}$ und $\mathsf{\vec v=(6,-3,9)}$ . Sind sie kollinear?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3(2,-1,3)=(6,-3,9)}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktor $\mathsf{\lambda=3}$
2. EntscheidungJa.
02
Aufgabe 2Kollinear · standardSind $\mathsf{(1,2,3)}$ und $\mathsf{(2,4,7)}$ kollinear?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die erste Komponente verlangt $\mathsf{\lambda=2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die dritte müsste dann $\mathsf{2\cdot3=6}$ statt7 sein.
Ergebnis
1. ErgebnisNein; es gibt keinen gemeinsamen Faktor.
03
Aufgabe 3Kollinear · standardPrüfe $\mathsf{A(1|1|0)}$ , $\mathsf{B(3|2|1)}$ und $\mathsf{C(7|4|3)}$ auf Kollinearität.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Differenz AB
Differenz AC
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=(2,1,1)}$
  $\mathsf{\overrightarrow{AC}=(6,3,3)=3\overrightarrow{AB}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Differenz AB $\mathsf{(2,1,1)}$
2. Differenz AC $\mathsf{(6,3,3)}$
3. EntscheidungJa, mit Faktor3.
04
Aufgabe 4Kollinear · standardDie ebene Vorlage enthält $\mathsf{A(1|1)}$ und $\mathsf{B(3|2)}$ . Ergänze $\mathsf{C(7|4)}$ und die Gerade durch A und B. Begründe die Lage von C mit Differenzvektoren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=(2,1)}$
  $\mathsf{\overrightarrow{AC}=(6,3)=3\overrightarrow{AB}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. ZeichnungC(7|4) und die Gerade durch A und B.
2. Begründung $\mathsf{\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}}$ ; C liegt auf der Geraden.
05
Aufgabe 5Kollinear · standardSind $\mathsf{\vec u=(0,2,1)}$ und $\mathsf{\vec v=(1,4,2)}$ kollinear?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Schon die erste Komponente würde 1=λ·0 verlangen. Das ist unmöglich.
Ergebnis
1. EntscheidungNein; eine Nullkomponente kann durch Skalieren nicht zu1 werden.
06
Aufgabe 6Kollinear · standardEs gilt $\mathsf{A=B=C=(2|1|0)}$ . Liegen die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden? Ist diese eindeutig bestimmt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kollinearität
Eindeutigkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Es ist nur ein einziger verschiedener Punkt vorgegeben.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Durch einen Punkt verlaufen beliebig viele Geraden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. KollinearitätJa, alle liegen auf einer gemeinsamen Geraden.
2. EindeutigkeitNein; ein einzelner Punkt bestimmt keine eindeutige Gerade.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich verwende denselben Faktor für alle Komponenten.
Ich bilde für Punkte die Differenzen vom gleichen Ausgangspunkt.
Ich behandle Nullkomponenten ohne Division durch null.

AT Academy · Version 2026-10-21