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Koordinatensysteme · Erklären & üben

Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten beschreiben einen Raumpunkt durch seinen Abstand zum Ursprung und zwei Winkel. Die Reihenfolge ist hier ausdrücklich (r,θ,φ)\mathsf{(r,\theta,\varphi)}: Radius, Polarwinkel von der positiven z-Achse und Azimut in der xy-Ebene. Andere Quellen können die Winkel anders benennen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei verschiedene Winkel

Es gilt r≥0\mathsf{r\ge0}, θ∈[0,π]\mathsf{\theta\in[0,\pi]} und φ∈[0,2π)\mathsf{\varphi\in[0,2\pi)}. Der Polarwinkel beginnt an der positiven z-Achse; θ=π/2\mathsf{\theta=\pi/2} bezeichnet die xy-Ebene. Der Azimut beginnt an der positiven x-Achse und läuft im Grundriss gegen den Uhrzeigersinn. Alle Winkel stehen im Bogenmaß. Ein geographischer Breitenwinkel β\mathsf{\beta} wird stattdessen von der Äquatorebene gemessen: β=π/2−θ\mathsf{\beta=\pi/2-\theta}. Vor jeder Umrechnung müssen Reihenfolge und Definition der Winkel feststehen.

  1. Lege Koordinatenreihenfolge und Winkelkonvention fest.

  2. Rechne mit den angegebenen Formeln und prüfe Vorzeichen sowie Sonderfälle.

β=π/2−θ\mathsf{\beta=\pi/2-\theta}

Polarwinkel θ und Azimut φ

So geht es am Beispiel

Deute (r,θ,φ)=(4,π/3,0)\mathsf{(r,\theta,\varphi)=(4,\pi/3,0)}.

Der Abstand zum Ursprung ist4.

Der Radius bildet mit der positiven z-Achse den Winkel π/3 und liegt in der xz-Ebene auf der Seite x>0.

Ergebnis

Der Punkt liegt oberhalb der xy-Ebene.

Erklärung 02

Erst auf die xy-Ebene projizieren

Der Abstand zur z-Achse ist ρ=rsin⁡θ\mathsf{\rho=r\sin\theta}; die Höhe ist z=rcos⁡θ\mathsf{z=r\cos\theta}. Anschließend zerlegt der Azimut die Grundrissprojektion in x und y. Ein festes r=R>0\mathsf{r=R>0} beschreibt eine Kugeloberfläche.

  1. Lege Koordinatenreihenfolge und Winkelkonvention fest.

  2. Rechne mit den angegebenen Formeln und prüfe Vorzeichen sowie Sonderfälle.

x=rsin⁡θcos⁡φ,y=rsin⁡θsin⁡φ,z=rcos⁡θ\mathsf{x=r\sin\theta\cos\varphi,\quad y=r\sin\theta\sin\varphi,\quad z=r\cos\theta}

Kugelradius r und Achsabstand ρ

So geht es am Beispiel

Rechne (4,π/3,0)\mathsf{(4,\pi/3,0)} um.

ρ=4sin⁡(π/3)=23\mathsf{\rho=4\sin(\pi/3)=2\sqrt3}
x=23,y=0\mathsf{x=2\sqrt3,\quad y=0}
z=4cos⁡(π/3)=2\mathsf{z=4\cos(\pi/3)=2}

Ergebnis

P(23∣0∣2)\mathsf{P(2\sqrt3|0|2)}

Erklärung 03

Radius, Polarwinkel und Azimut berechnen

Für r>0\mathsf{r>0} erhältst du θ=arccos⁡(z/r)\mathsf{\theta=\arccos(z/r)}. Bestimme φ\mathsf{\varphi} aus x und y mit der Quadrantenwahl oder atan2⁡(y,x)\mathsf{\operatorname{atan2}(y,x)}; negative Werte ergänze um 2π\mathsf{2\pi}. Auf der z-Achse bleibt der Azimut beliebig. Am Ursprung sind beide Winkel beliebig; die Formel mit Division durch r darf dort nicht verwendet werden.

  1. Lege Koordinatenreihenfolge und Winkelkonvention fest.

  2. Rechne mit den angegebenen Formeln und prüfe Vorzeichen sowie Sonderfälle.

r=x2+y2+z2\mathsf{r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

So geht es am Beispiel

Bestimme Kugelkoordinaten von P(0∣3∣3)\mathsf{P(0|3|3)}.

r=0+9+9=32\mathsf{r=\sqrt{0+9+9}=3\sqrt2}
θ=arccos⁡(1/2)=π/4\mathsf{\theta=\arccos(1/\sqrt2)=\pi/4}

Der Grundriss liegt auf der positiven y-Achse, daher ist φ=π/2.

Ergebnis

(r,θ,φ)=(32,π/4,π/2)\mathsf{(r,\theta,\varphi)=(3\sqrt2,\pi/4,\pi/2)}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Kugelkoordinaten · standardRechne (r,θ,φ)=(6,π/2,π)\mathsf{(r,\theta,\varphi)=(6,\pi/2,\pi)} um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      sin⁡(π/2)=1,cos⁡(π/2)=0\mathsf{\sin(\pi/2)=1,\quad\cos(\pi/2)=0}
      cos⁡π=−1,sin⁡π=0\mathsf{\cos\pi=-1,\quad\sin\pi=0}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. xx=−6\mathsf{x=-6}
    2. yy=0\mathsf{y=0}
    3. zz=0\mathsf{z=0}
  2. Aufgabe 2Kugelkoordinaten · standardBestimme Kugelkoordinaten von P(2∣2∣0)\mathsf{P(2|2|0)}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=4+4=22\mathsf{r=\sqrt{4+4}=2\sqrt2}
      θ=arccos⁡0=π/2\mathsf{\theta=\arccos0=\pi/2}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      x und y sind gleich und positiv, deshalb ist φ=π/4.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Radiusr=22\mathsf{r=2\sqrt2}
    2. Polarwinkelθ=π/2\mathsf{\theta=\pi/2}
    3. Azimutφ=π/4\mathsf{\varphi=\pi/4}
  3. Aufgabe 3Kugelkoordinaten · standardWelche Kugelkoordinaten besitzt der Punkt P(0∣0∣−5)\mathsf{P(0|0|-5)}?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=5,θ=arccos⁡(−1)=π\mathsf{r=5,\quad\theta=\arccos(-1)=\pi}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Punkt liegt auf der negativen z-Achse; der Azimut ist beliebig.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Radiusr=5\mathsf{r=5}
    2. Polarwinkelθ=π\mathsf{\theta=\pi}
    3. AzimutBeliebiges φ∈[0,2π)\mathsf{\varphi\in[0,2\pi)}.
  4. Aufgabe 4Kugelkoordinaten · standardDie Vorlage zeigt P(0∣0∣3)\mathsf{P(0|0|3)}. Zeichne den Radius OP und beschrifte seine Länge. Notiere Polarwinkel und mögliche Azimutwinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Radiuszeichnung

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der Radius liegt auf der positiven z-Achse.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der Winkel zu dieser Achse ist null; eine Drehung um die Achse ändert den Punkt nicht.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. RadiuszeichnungOP mit Länge r=3.
    2. Polarwinkelθ=0\mathsf{\theta=0}
    3. AzimutBeliebiges φ∈[0,2π)\mathsf{\varphi\in[0,2\pi)}.
  5. Aufgabe 5Kugelkoordinaten · standardEin Punkt hat den Breitenwinkel β=−π/6\mathsf{\beta=-\pi/6}. Welcher Polarwinkel gehört zu unserer Konvention?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      θ=π/2−β=π/2+π/6=2π/3\mathsf{\theta=\pi/2-\beta=\pi/2+\pi/6=2\pi/3}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Punkt liegt südlich beziehungsweise unterhalb der Äquatorebene.

    Ergebnis

    1. Polarwinkelθ=2π/3\mathsf{\theta=2\pi/3}
  6. Aufgabe 6Kugelkoordinaten · standardFür P(3∣0∣4)\mathsf{P(3|0|4)} werden r=3\mathsf{r=3} und ρ=5\mathsf{\rho=5} behauptet. Korrigiere beide Werte und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=32+02+42=5\mathsf{r=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=5}
      ρ=32+02=3\mathsf{\rho=\sqrt{3^2+0^2}=3}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Kugelradiusr=5\mathsf{r=5}
    2. Abstand zur z-Achseρ=3\mathsf{\rho=3}
    3. BegründungDer Kugelradius enthält auch den Höhenanteil; der Achsabstand nur x und y.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Polarwinkel θ und Azimut φ.
  • Ich verwechsle Kugelradius r nicht mit dem Abstand ρ zur z-Achse.
  • Ich erkenne die freie Winkelwahl an Polen und Ursprung.

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