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Kombinatorik · Erklären & üben

Kombinatorik

Die Kombinatorik zählt Möglichkeiten, ohne jeden großen Fall einzeln aufzuschreiben. Entscheidend ist, wann zwei Ergebnisse als verschieden gelten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was wird gezählt?

Die Reihenfolge zählt, wenn AB und BA unterschiedliche Ergebnisse sind. Wiederholung bedeutet bei einer Auswahl, dass derselbe Typ erneut vorkommen darf. Bei Permutationen mit Wiederholung sind dagegen feste Bestände gleicher Objekte vorgegeben.

Die Produktregel multipliziert die Anzahlen aufeinanderfolgender Wahlstufen, sofern auf jeder Stufe die angegebene Anzahl für jede bisherige Wahl gilt. Disjunkte Alternativen werden addiert.

  1. Beschreibe ein einzelnes Ergebnis.

  2. Prüfe Reihenfolge, Wiederholung und feste Bestände.

N=a⋅b\mathsf{N=a\cdot b}

3 mal 2 vollständige Kombinationen von unterscheidbaren Kleidungsstücken.

So geht es am Beispiel

Du hast 3 verschiedene Oberteile und 2 verschiedene Hosen. Jedes Paar ist erlaubt. Wie viele Outfits gibt es?

Zu jedem Oberteil passen 2 Hosen.

N=3⋅2=6\mathsf{N=3\cdot2=6}

Ergebnis

6 Outfits.

Erklärung 02

Die vier Auswahlfälle

Für n verfügbare Typen und k Auswahlplätze unterscheiden sich vier Fälle. Ohne Wiederholung stehen n verschiedene Objekte zur Verfügung und k darf n nicht übersteigen. Mit Wiederholung sind die Typen unbegrenzt erneut wählbar. n ist positiv, k ist eine nichtnegative ganze Zahl.

Ungeordnete Auswahlen mit Wiederholung sind Multimengen. Sie sind beim zufälligen Ziehen nicht automatisch gleich wahrscheinlich. Im Thema Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge wird dieser Unterschied gerechnet.

  1. Wähle zuerst den passenden Fall.

  2. Setze erst danach die Anzahl der Typen und Plätze ein.

nk,n!(n−k)!,(n+k−1k),(nk)\mathsf{n^k,\quad\frac{n!}{(n-k)!},\quad\binom{n+k-1}{k},\quad\binom nk}

Vier Auswahlfälle; n Sorten oder Objekte, k Positionen; ohne Wiederholung k höchstens n.

So geht es am Beispiel

Aus 5 Personen werden eine Leitung und eine Stellvertretung gewählt. Niemand übernimmt beide Rollen.

Die Rollen unterscheiden die Reihenfolge. Die erste Wahl lässt 4 Personen übrig.

N=5⋅4=20\mathsf{N=5\cdot4=20}

Ergebnis

20 Rollenbesetzungen.

Erklärung 03

Alle Objekte anordnen

Eine Permutation ordnet den gesamten vorgegebenen Bestand in einer Reihe an. Für n verschiedene Objekte zählt die Fakultät die Anordnungen. Bei gleichartigen Objekten fallen Vertauschungen innerhalb derselben Sorte nicht auf.

Für einen Bestand mit Sortenhäufigkeiten verwendet man die Gesamtfakultät geteilt durch die Fakultäten dieser Häufigkeiten. Binomialkoeffizient und Fakultät werden in den entsprechenden Themen vertieft. Das Urnenmodell übersetzt Auswahlregeln in Ziehen mit oder ohne Zurücklegen.

  1. Prüfe, ob alle Objekte benutzt werden.

  2. Teile nur durch Vertauschungen tatsächlich ununterscheidbarer Objekte.

n!=n(n−1)⋯1,0!=1,P=n!n1!⋯nr!\mathsf{n!=n(n-1)\cdots1,\quad0!=1,\qquad P=\frac{n!}{n_1!\cdots n_r!}}

So geht es am Beispiel

Ordne A, A, B in einer Reihe an.

Die verschiedenen Wörter lauten AAB, ABA, BAA.

P=3!2!=3\mathsf{P=\frac{3!}{2!}=3}

Ergebnis

3 Anordnungen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Kombinatorik · EinstiegEine Kantine bietet 2 Vorspeisen und 4 Hauptgerichte. Jede Vorspeise kann mit jedem Hauptgericht kombiniert werden. Wie viele Menüs gibt es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Jede der 2 ersten Wahlen erlaubt 4 zweite Wahlen.

      N=2⋅4=8\mathsf{N=2\cdot4=8}

    Ergebnis

    1. Menüs8\mathsf{8}
  2. Aufgabe 2Kombinatorik · EinstiegAus 6 Personen werden zwei verschiedene für ein gleichberechtigtes Team ausgewählt. Bestimme die Anzahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Reihenfolge zählt nicht; jede Person wird höchstens einmal gewählt.

      N=(62)=6⋅52=15\mathsf{N=\binom62=\frac{6\cdot5}{2}=15}

    Ergebnis

    1. Teams15\mathsf{15}
  3. Aufgabe 3Kombinatorik · AnwendenTrage alle Zweierauswahlen aus A, B, C ohne Wiederholung ein: links geordnet, rechts ungeordnet. Nutze je Ergebnis eine Zeile; rechts bleiben drei Zeilen leer.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Systematische Liste

    Vorbereitete Tabelle: Zweierauswahlen aus A, B, C; Mit Reihenfolge, Ohne Reihenfolge. Leere Zeilen zum systematischen Eintragen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Geordnet liefern 3 erste und 2 zweite Buchstaben sechs Wörter.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Ungeordnet werden AB und BA zu einem Paar zusammengefasst; ebenso AC/CA und BC/CB.

    Ergebnis

    1. Systematische ListeLinks AB, AC, BA, BC, CA, CB; rechts AB, AC, BC.
  4. Aufgabe 4Kombinatorik · AnwendenEin Code hat 3 Stellen. Jede Stelle enthält A, B oder C, auch mehrfach. Wie viele Codes gibt es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Jede der drei Positionen erlaubt drei Zeichen.

      N=33=27\mathsf{N=3^3=27}

    Ergebnis

    1. Codes27\mathsf{27}
  5. Aufgabe 5Kombinatorik · TransferEin Eisbecher enthält 2 Kugeln aus 3 Sorten. Sorten dürfen sich wiederholen; die Reihenfolge im Becher wird ignoriert. Bestimme die Zahl der Sortenzusammenstellungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Es handelt sich um eine ungeordnete Auswahl mit Wiederholung.

      N=(3+2−12)=(42)=6\mathsf{N=\binom{3+2-1}{2}=\binom42=6}

    Ergebnis

    1. Zusammenstellungen6\mathsf{6}
  6. Aufgabe 6Kombinatorik · TransferWie viele Reihenfolgen gibt es für die vier Karten A, A, B, C? Vergleiche mit vier verschieden beschrifteten Karten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die beiden A-Karten sind ununterscheidbar.

      N=4!2!=12\mathsf{N=\frac{4!}{2!}=12}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Vier verschiedene Karten haben keine solchen Doppelzählungen.

      Nverschieden=4!=24\mathsf{N_{\mathsf{verschieden}}=4!=24}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. A, A, B, C12\mathsf{12}
    2. Vier verschiedene Karten24\mathsf{24}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe, ob die Reihenfolge zählt und Wiederholungen möglich sind.
  • Ich begründe die Zählregel und unterscheide Anzahl und Wahrscheinlichkeit.
  • Ich unterscheide die vier Auswahlfälle und feste Sortenbestände.

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