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Kombinatorik · Erklären & üben

Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge

Ohne Zurücklegen kann dasselbe Objekt nicht erneut gezogen werden. Ob du die Reihenfolge beachtest, bestimmt die Anzahl der Ergebnisse.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bestand und Reihenfolge

Die Urne enthält n unterscheidbare Kugeln. Nach jeder Ziehung wird der Bestand kleiner. Für k Ziehungen gilt: k ist eine ganze Zahl zwischen 0 und n.

Ohne Reihenfolge zählt jede Gruppe einmal. Mit Reihenfolge zählt jede geordnete Folge. Bei gleichartigen Farben können mehrere unterscheidbare Kugeln dieselbe Farbe haben; Farbfolgen sind dann eine andere Ergebnisebene.

  1. Beschrifte die einzelnen Kugeln gedanklich eindeutig.

  2. Lege fest, ob eine Gruppe oder eine Folge das Ergebnis ist.

0≤k≤n\mathsf{0\leq k\leq n}

Sinkender Bestand bei unterscheidbaren Kugeln; eine gezogene Kugel fehlt.
Jedes ungeordnete Zweierpaar entspricht genau zwei geordneten Ziehungen.

So geht es am Beispiel

Aus A, B, C wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie viele Folgen und wie viele Gruppen gibt es?

Die Folgen sind AB, AC, BA, BC, CA, CB. Je zwei ergeben dieselbe Gruppe.

NFolgen=3⋅2=6\mathsf{N_{\mathsf{Folgen}}=3\cdot2=6}
NGruppen=6:2=3\mathsf{N_{\mathsf{Gruppen}}=6:2=3}

Ergebnis

6 Folgen, 3 Gruppen.

Erklärung 02

Ungeordnete Gruppen zählen

Jede Gruppe aus k verschiedenen Objekten besitzt genau k Fakultät Reihenfolgen. Deshalb wird die Zahl geordneter Folgen durch diese Anzahl geteilt.

  1. Multipliziere die abnehmenden Auswahlzahlen.

  2. Teile durch die Anzahl der Reihenfolgen innerhalb einer Gruppe.

(nk)=n!k!(n−k)!\mathsf{\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}}

So geht es am Beispiel

Wähle 3 Personen aus 7 für eine gleichberechtigte Gruppe.

Die geordneten Wahlen zählen jede Gruppe sechsmal.

N=7⋅6⋅53⋅2⋅1=35\mathsf{N=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35}

Ergebnis

35 Gruppen.

Erklärung 03

Wahrscheinlichkeit auf derselben Ebene

Wenn jede verbleibende Kugel bei jeder Ziehung dieselbe Chance hat, sind alle ungeordneten Gruppen gleicher Größe gleich wahrscheinlich. Günstige und mögliche Gruppen dürfen dann als Verhältnis gezählt werden.

Für Rollen oder Platzierungen verwende stattdessen Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge. Ein Zufallsexperiment braucht ausdrücklich eine faire Auswahlregel; die Anzahl allein liefert keine Wahrscheinlichkeit.

  1. Zähle günstige Gruppen.

  2. Teile durch alle Gruppen derselben Größe.

P(A)=gu¨nstige Gruppenalle Gruppen\mathsf{P(A)=\frac{\textsf{g\"unstige Gruppen}}{\textsf{alle Gruppen}}}

So geht es am Beispiel

Eine Urne enthält 3 rote und 2 blaue unterscheidbare Kugeln. Zwei werden gleichmäßig ohne Zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich sind zwei rote?

Ngesamt=(52)=10\mathsf{N_{\mathsf{gesamt}}=\binom52=10}
Nrot=(32)=3\mathsf{N_{\mathsf{rot}}=\binom32=3}
P(RR)=310\mathsf{P(RR)=\frac3{10}}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,3.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge · EinstiegWie viele Kugeln bleiben nach zwei Ziehungen ohne Zurücklegen aus 8 Kugeln?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Bei jeder Ziehung fehlt genau eine weitere Kugel.

      8−2=6\mathsf{8-2=6}

    Ergebnis

    1. Verbleibende Kugeln6\mathsf{6}
  2. Aufgabe 2Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge · EinstiegAus 8 Personen werden 2 für ein gleichberechtigtes Team gewählt. Wie viele Teams gibt es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (82)=8⋅72=28\mathsf{\binom82=\frac{8\cdot7}{2}=28}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Jedes ungeordnete Paar wird dabei nur einmal gezählt.

    Ergebnis

    1. Teams28\mathsf{28}
  3. Aufgabe 3Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge · AnwendenTrage alle ungeordneten Paare aus A, B, C, D in die Vorlage ein. Verwende kein Zeichen zweimal im selben Paar.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Alle Paare

    Vorbereitete Tabelle: Ungeordnete Paare aus A, B, C, D; Erstes Zeichen, Zweites Zeichen. Leere Zeilen zum systematischen Eintragen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Beginne mit den drei Paaren mit A, dann den zwei neuen Paaren mit B, zuletzt CD.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      So fehlt kein Paar und keines wird doppelt gezählt.

    Ergebnis

    1. Alle PaareAB, AC, AD, BC, BD, CD.
  4. Aufgabe 4Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge · AnwendenEine Urne enthält 4 rote und 2 blaue unterscheidbare Kugeln. Zwei werden gleichmäßig ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Chance für zwei blaue.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Es gibt genau ein Paar aus beiden blauen Kugeln.

      P(BB)=(22)(62)=115\mathsf{P(BB)=\frac{\binom22}{\binom62}=\frac1{15}}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit115\mathsf{\frac1{15}}
  5. Aufgabe 5Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge · TransferBei derselben Urne mit 4 roten und 2 blauen Kugeln: Wie wahrscheinlich ist genau eine rote Kugel in zwei gleichmäßigen Ziehungen ohne Zurücklegen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Wähle eine der vier roten und eine der zwei blauen Kugeln.

      P(genau eine rote)=4⋅215=815\mathsf{P(\textsf{genau eine rote})=\frac{4\cdot2}{15}=\frac8{15}}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit815\mathsf{\frac8{15}}
  6. Aufgabe 6Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge · TransferAus 5 Personen werden Leitung und Stellvertretung gewählt. Vergleiche die Anzahl der Rollenbesetzungen mit der Zahl gleichberechtigter Zweierteams.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Rollen unterscheiden die Reihenfolge.

      NRollen=5⋅4=20\mathsf{N_{\mathsf{Rollen}}=5\cdot4=20}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Bei Teams werden je zwei Rollenfolgen zusammengefasst.

      NTeams=20:2=10\mathsf{N_{\mathsf{Teams}}=20:2=10}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Rollenbesetzungen20\mathsf{20}
    2. Teams10\mathsf{10}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe, ob die Reihenfolge zählt und Wiederholungen möglich sind.
  • Ich begründe die Zählregel und unterscheide Anzahl und Wahrscheinlichkeit.
  • Ich fasse geordnete Folgen zu ungeordneten Gruppen zusammen und zähle günstige Gruppen.

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