Kongruenzsätze

Erklärung 01

Welche Angaben legen die Form fest?

1. 1

   Ordne die gegebenen Seiten und Winkel genau zu.

2. 2

   Prüfe den passenden Kongruenzsatz und die Dreiecksbedingungen.

SSS · SWS · WSW

Erklärung 02

Beim SSW-Fall genau hinsehen

1. 1

   Prüfe, welcher Seite der gegebene Winkel gegenüberliegt.

2. 2

   Liegt er gegenüber der kürzeren Seite, untersuche die Konstruktion; es können zwei, eine oder keine Lösung entstehen.

SSW: gegebener Winkel gegenüber der längeren gegebenen Seite

Erklärung 03

Gleiche Winkel reichen nicht

1. 1

   Unterscheide ähnlich und kongruent.

2. 2

   Prüfe auch bei passenden Angaben, ob ein Dreieck existiert.

WWW ist kein Kongruenzsatz

1. 01
   Aufgabe 1Kongruenzsätze · EinstiegZwei Dreiecke besitzen jeweils Seiten von 5 cm, 6 cm und 8 cm. Entscheide über Kongruenz und nenne den Satz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Entscheidung

   Kongruenzsatz
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Dreiecksungleichung ist erfüllt, denn 8 < 5 + 6. Alle drei Seiten stimmen überein.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Entscheidung
      Die Dreiecke sind kongruent.
   2. Kongruenzsatz
      SSS
2. 02
   Aufgabe 2Kongruenzsätze · EinstiegGegeben sind AB = 7 cm, AC = 4 cm und der Winkel BAC = 50°. Welcher Kongruenzsatz passt? Begründe die Winkelposition.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Kongruenzsatz

   Winkelposition
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      AB und AC treffen sich in A. Der gegebene Winkel liegt zwischen diesen beiden Seiten.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Kongruenzsatz
      SWS
   2. Winkelposition
      Der Winkel BAC wird von AB und AC eingeschlossen.
3. 03
   Aufgabe 3Kongruenzsätze · StandardDie Seite AB ist 6 cm lang. Die anliegenden Winkel bei A und B sind 45° und 70°. Berechne den dritten Winkel und nenne einen passenden Kongruenzsatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Dritter Winkel

   Kongruenzsatz
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{\gamma=180^\circ-45^\circ-70^\circ=65^\circ}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Seite AB und ihre beiden anliegenden Winkel sind bekannt.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Dritter Winkel
      $\mathsf{\gamma=65^\circ}$
   2. Kongruenzsatz
      WSW
4. 04
   Aufgabe 4Kongruenzsätze · StandardGegeben sind a = 7 cm, b = 4 cm und α = 60°. α liegt der Seite a gegenüber. Ist die sichere SSW-Bedingung erfüllt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Entscheidung mit Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      a ist länger als b. Der gegebene Winkel liegt der längeren gegebenen Seite gegenüber.

   Ergebnis

   1. Entscheidung mit Begründung
      Ja. α liegt der längeren gegebenen Seite a gegenüber. Dieser SSW-Fall legt das Dreieck eindeutig bis auf Spiegelung fest.
5. 05
   Aufgabe 5Kongruenzsätze · TransferDie Vorlage zeigt AB = 6 Kästchen. Konstruiere oberhalb von AB den Punkt C mit AC = 4 Kästchen und BC = 5 Kästchen. Zeichne die passenden Kreisbögen und beschrifte die Seiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   SSS-Konstruktion

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: SSS-Konstruktion
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Zeichne um A einen Kreisbogen mit Radius vier Kästchen und um B einen mit Radius fünf Kästchen.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Der obere Schnittpunkt ist C. Verbinde C mit A und B. Der untere Schnittpunkt ergibt ein kongruentes Spiegelbild.

   Ergebnis

   1. SSS-Konstruktion
      Die geschützte Musterzeichnung zeigt den oberen Schnittpunkt mit AC = 4, BC = 5 und AB = 6 Rastereinheiten.
6. 06
   Aufgabe 6Kongruenzsätze · TransferZwei Dreiecke haben die Seiten 3 cm, 4 cm, 5 cm und 6 cm, 8 cm, 10 cm. Begründe daran, warum WWW kein Kongruenzsatz ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegenbeispiel und Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Das zweite Dreieck entsteht durch Verdoppeln aller Seiten des ersten Dreiecks.

   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Seiten 3, 4, 5 und 6, 8, 10 bilden Dreiecke mit gleichen Winkeln und verschiedener Größe.

   Ergebnis

   1. Gegenbeispiel und Begründung
      Die Dreiecke mit Seiten 3 cm, 4 cm, 5 cm und 6 cm, 8 cm, 10 cm haben gleiche Winkel. Ihre Seitenlängen und damit ihre Größen unterscheiden sich; sie sind nicht kongruent.