Dreieck Sätze · Erklären & üben

Satz des Thales

Ein Kreis über einer Strecke hilft dir, rechte Winkel zu erkennen und zu konstruieren.

Erklärung 01

Der Durchmesser trägt den rechten Winkel

A und B sind die Endpunkte eines Kreisdurchmessers. C liegt auf dem Kreis und ist von A und B verschieden. Dann ist der Winkel ACB ein rechter Winkel. Die Dreiecksseite AB liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Prüfe, ob A und B auf dem Kreis liegen und AB ein Durchmesser ist.
Prüfe, ob C auf dem Kreis liegt.
Markiere den rechten Winkel bei C.

$\mathsf{\angle ACB=90^\circ}$

Thaleskreis mit Durchmesser10cm und rechtwinkligem6-8-10-Dreieck.

So geht es am Beispiel

Ein Dreieck liegt wie in der Skizze auf dem Thaleskreis. AB ist 10 cm und AC ist 6 cm lang. Bestimme den Winkel bei C und die Seite BC.

AB ist der Durchmesser; deshalb ist der Winkel bei C recht.

\mathsf{\gamma=90^\circ}

Im rechtwinkligen Dreieck ist AB die Hypotenuse.

\mathsf{BC^2=10^2-6^2=64}

\mathsf{BC=8\,\mathsf{cm}}

Erklärung 02

Vom rechten Winkel zum Kreis

Auch die Umkehrung gilt: Hat ein Dreieck bei C einen rechten Winkel, dann liegt C auf dem Kreis mit Durchmesser AB. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Mitte von AB.

Finde die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
Halbiere diese Seite und zeichne den Kreis um ihren Mittelpunkt.

$\mathsf{AM=BM=CM=\frac{AB}{2}}$

So geht es am Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse AB mit 12 cm Länge. Bestimme Mittelpunkt und Radius seines Umkreises.

Nach der Umkehrung ist AB ein Kreisdurchmesser. Der Mittelpunkt M halbiert AB.

\mathsf{r=12:2=6\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Warum entsteht ein rechter Winkel?

Verbinde den Kreismittelpunkt M mit C. Die Strecken MA, MB und MC sind Radien. Die beiden Teildreiecke sind deshalb gleichschenklig. Ihre Basiswinkel sind jeweils gleich.

Bezeichne die linken Basiswinkel mit α und die rechten mit β.
Nutze die Winkelsumme im gesamten Dreieck.

$\mathsf{2\alpha+2\beta=180^\circ\quad\Rightarrow\quad\alpha+\beta=90^\circ}$

Zwei gleichschenklige Teildreiecke mit Basiswinkeln alpha und beta.

So geht es am Beispiel

Im linken Teildreieck beträgt der Basiswinkel α = 35°. Wie groß ist β?

\mathsf{\beta=90^\circ-35^\circ=55^\circ}

Bei C treffen α und β zusammen; gemeinsam bilden sie einen rechten Winkel.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Satz des Thales · EinstiegAB ist ein Durchmesser des Kreises. C liegt auf dem Kreis und ist von A und B verschieden. Welcher Dreieckswinkel ist recht?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechter Winkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Durchmesser AB liegt dem Winkel bei C gegenüber.
  $\mathsf{\angle ACB=90^\circ}$
Ergebnis
1. Rechter Winkel $\mathsf{\angle ACB=90^\circ}$
02
Aufgabe 2Satz des Thales · EinstiegIn einem Thalesdreieck ist der Winkel bei A 28°. Berechne den Winkel bei B.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Winkel bei B
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Winkel bei C ist recht; alle drei Winkel ergeben 180°.
  $\mathsf{\beta=180^\circ-90^\circ-28^\circ=62^\circ}$
Ergebnis
1. Winkel bei B $\mathsf{\beta=62^\circ}$
03
Aufgabe 3Satz des Thales · StandardEin Thaleskreis hat Radius 3,5 cm. Wie lang ist sein Durchmesser AB?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Durchmesser AB
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Durchmesser besteht aus zwei Radien.
  $\mathsf{AB=2\cdot3{,}5=7\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Durchmesser AB $\mathsf{AB=7\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Satz des Thales · StandardAuf der Vorlage ist AB 8 Kästchen lang. Markiere die Mitte M, zeichne den oberen Halbkreis über AB und wähle C darauf außerhalb der Endpunkte. Verbinde A und B mit C und markiere den rechten Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deine Konstruktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Deine Konstruktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  M liegt vier Kästchen von A und B entfernt. Der Kreisradius beträgt vier Kästchen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jeder Punkt C auf dem oberen Halbkreis außerhalb der Endpunkte erzeugt einen rechten Winkel ACB.
Ergebnis
1. Deine KonstruktionEine mögliche Konstruktion zeigt die geschützte Musterzeichnung. Andere Punkte C auf dem Halbkreis sind ebenfalls richtig.
05
Aufgabe 5Satz des Thales · TransferEine Sehne AB geht nicht durch den Mittelpunkt. Lea behauptet, jeder Kreispunkt C ergebe trotzdem einen rechten Winkel. Erkläre, warum der Satz des Thales diese Behauptung nicht begründet.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlende Voraussetzung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Satz setzt einen Durchmesser voraus. Die Strecke AB ist hier nur eine Sehne.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Ohne diese Voraussetzung darf der rechte Winkel nicht gefolgert werden.
Ergebnis
1. Fehlende VoraussetzungAB muss durch den Kreismittelpunkt gehen. Diese Voraussetzung fehlt.
06
Aufgabe 6Satz des Thales · TransferIm Winkelbeweis gilt α = 41°. Berechne β und kontrolliere den Winkel bei C.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Winkel β
Kontrolle bei C
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\beta=90^\circ-41^\circ=49^\circ}$
  $\mathsf{\angle ACB=41^\circ+49^\circ=90^\circ}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Winkel β $\mathsf{\beta=49^\circ}$
2. Kontrolle bei C $\mathsf{\angle ACB=90^\circ}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor dem Anwenden.
Ich begründe meine Entscheidung mit einer Regel oder einem Gegenbeispiel.
Ich zeichne mit den angegebenen Maßen und beschrifte meine Konstruktion.

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