Ebenen · Erklären & üben

Koordinatenform

Die Koordinatenform beschreibt eine Punktmenge durch eine Gleichung ihrer Koordinaten. Eine lineare Gleichung beschreibt in der Ebene meist eine Gerade, im dreidimensionalen Raum eine Ebene. Mindestens ein Koeffizient muss ungleich null sein.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine Gerade in zwei Dimensionen

In zwei Dimensionen lautet die Form $\mathsf{ax+by=d}$ mit $\mathsf{(a,b)\ne(0,0)}$ . Ein Normalenvektor ist $\mathsf{\vec n=(a,b)}$ . Diese Komponentenschreibweise bezeichnet hier einen Vektor. Ist $\mathsf{b=0}$ , entsteht eine senkrechte Gerade $\mathsf{x=d/a}$ ; ist $\mathsf{a=0}$ , eine waagerechte Gerade $\mathsf{y=d/b}$ .

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{ax+by=d}$

So geht es am Beispiel

Bestimme zwei Punkte auf $\mathsf{2x+y=6}$ .

\mathsf{y=0\Rightarrow x=3}

\mathsf{x=0\Rightarrow y=6}

Erklärung 02

Eine Ebene im Raum

Im Raum lautet die Gleichung $\mathsf{ax+by+cz=d}$ . Die drei Koeffizienten bilden einen von null verschiedenen Normalenvektor $\mathsf{\vec n=(a,b,c)}$ . Eine fehlende Variable besitzt Koeffizient null. Aus $\mathsf{\vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0}$ entsteht die Koordinatenform durch Ausmultiplizieren, mit $\mathsf{d=\vec n\cdot\vec p}$ .

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{ax+by+cz=d}$

So geht es am Beispiel

Gib einen Normalenvektor von $\mathsf{E:2x-y+z=4}$ an.

\mathsf{\vec n=(2,-1,1)}

Der Koeffizient von y ist minus eins.

Erklärung 03

Punkte durch Einsetzen prüfen

Ein Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn seine Koordinaten die Gleichung erfüllen. Eine Punktprobe besteht deshalb aus einer Rechnung und dem Vergleich mit der rechten Seite. Multiplikation der gesamten Gleichung mit einer von null verschiedenen Zahl ändert die Ebene nicht.

Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.
Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

$\mathsf{P\in E\ \Longleftrightarrow\ ax_P+by_P+cz_P=d}$

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{P(1|0|2)}$ für $\mathsf{E:2x-y+z=4}$ .

\mathsf{2\cdot1-0+2=4}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Koordinatenform · standardGib einen Normalenvektor zu $\mathsf{3x+2y-z=7}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Normalenvektor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Koeffizienten ergeben $\mathsf{\vec n=(3,2,-1)}$ .
Ergebnis
1. Normalenvektor $\mathsf{\vec n=(3,2,-1)}$
02
Aufgabe 2Koordinatenform · standardLiegt $\mathsf{P(2|1|3)}$ auf $\mathsf{E:x+y+z=6}$ ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Punktprobe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2+1+3=6}$
Ergebnis
1. PunktprobeJa, $\mathsf{P\in E}$ .
03
Aufgabe 3Koordinatenform · standardWas bedeutet die fehlende Variable $\mathsf{z}$ in $\mathsf{E:x+y=4}$ ? Nenne einen Normalenvektor.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedeutung
Normalenvektor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Koeffizient von z ist null; zu jedem passenden x,y ist jede z-Koordinate zulässig.
Ergebnisse & Teilantworten
1. BedeutungDie Ebene verläuft parallel zur z-Richtung.
2. Normalenvektor $\mathsf{\vec n=(1,1,0)}$
04
Aufgabe 4Koordinatenform · standardIn der räumlichen Vorlage sind $\mathsf{A(0|0|2)}$ , $\mathsf{B(2|0|2)}$ und $\mathsf{C(0|2|2)}$ markiert. Verbinde A, B und C zu einem Ebenenausschnitt und beschrifte ihn mit seiner Koordinatengleichung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ebenenausschnitt
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Ebenenausschnitt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Alle drei Punkte haben z-Koordinate2 und sind nicht kollinear.
Ergebnis
1. EbenenausschnittDreieck ABC mit Beschriftung $\mathsf{E:z=2}$ .
05
Aufgabe 5Koordinatenform · standardWelche Gerade beschreibt $\mathsf{x=3}$ in der xy-Ebene? Nenne zwei Punkte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lage
Zwei Punkte
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die x-Koordinate ist fest, die y-Koordinate frei.
Ergebnisse & Teilantworten
1. LageSenkrechte Gerade parallel zur y-Achse.
2. Zwei Punkte $\mathsf{P(3|0),\quad Q(3|2)}$
06
Aufgabe 6Koordinatenform · standardBeschreibt $\mathsf{0x+0y+0z=5}$ eine Ebene? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Gleichung verlangt $\mathsf{0=5}$ , was unmöglich ist.
Ergebnis
1. ErgebnisNein. Die Lösungsmenge ist leer.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Punkt, Richtungsvektor und Normalenvektor.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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