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Ebenen · Erklären & üben

Parameterform

Die Parameterform erzeugt Punkte aus einem festen Stützpunkt und veränderlichen Vielfachen von Vektoren. Komponententupel wie (1,2,3)\mathsf{(1,2,3)} bezeichnen hier Vektoren; Punkte werden als P(1∣2∣3)\mathsf{P(1|2|3)} geschrieben.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Parameter für eine Gerade

Eine Gerade benötigt einen Stützvektor p⃗\mathsf{\vec p} und einen von null verschiedenen Richtungsvektor u⃗\mathsf{\vec u}. Der Parameter darf jede reelle Zahl annehmen; nur so entsteht die ganze Gerade und nicht bloß eine Strecke.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

x⃗=p⃗+tu⃗,t∈R\mathsf{\vec x=\vec p+t\vec u,\qquad t\in\mathbb R}

Geradenpunkte aus einem Parameter

So geht es am Beispiel

Berechne den Punkt der Geraden x⃗=(1,2,0)+t(2,0,1)\mathsf{\vec x=(1,2,0)+t(2,0,1)} für t=2\mathsf{t=2}.

x⃗=(1,2,0)+(4,0,2)=(5,2,2)\mathsf{\vec x=(1,2,0)+(4,0,2)=(5,2,2)}

Ergebnis

P(5∣2∣2)\mathsf{P(5|2|2)}

Erklärung 02

Zwei unabhängige Richtungen

Eine Ebene benötigt zwei Spannvektoren, die beide von null verschieden und nicht parallel sind. Sind sie Vielfache voneinander, entsteht nur eine Gerade. Die Parameter s,t\mathsf{s,t} laufen unabhängig voneinander durch alle reellen Zahlen.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

x⃗=p⃗+su⃗+tv⃗\mathsf{\vec x=\vec p+s\vec u+t\vec v}

Ebene z = 2

So geht es am Beispiel

Beschreibe die Ebene zwei Einheiten oberhalb der xy-Ebene.

p⃗=(0,0,2),u⃗=(1,0,0),v⃗=(0,1,0)\mathsf{\vec p=(0,0,2),\quad\vec u=(1,0,0),\quad\vec v=(0,1,0)}

Die x- und y-Richtung werden unabhängig durchlaufen; z bleibt2.

Ergebnis

x⃗=(0,0,2)+s(1,0,0)+t(0,1,0)\mathsf{\vec x=(0,0,2)+s(1,0,0)+t(0,1,0)}

Erklärung 03

Drei Punkte als Ausgangsdaten

Drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte bestimmen eine Ebene. Wähle einen Punkt als Stützpunkt und bilde die beiden Differenzvektoren zu den anderen Punkten. Für eine Punktprobe muss dasselbe Parameterpaar alle drei Koordinatengleichungen erfüllen.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

u⃗=b⃗−a⃗,v⃗=c⃗−a⃗\mathsf{\vec u=\vec b-\vec a,\qquad\vec v=\vec c-\vec a}

So geht es am Beispiel

Stelle die Ebene durch A(1∣0∣0)\mathsf{A(1|0|0)}, B(3∣0∣0)\mathsf{B(3|0|0)} und C(1∣2∣1)\mathsf{C(1|2|1)} auf.

u⃗=(2,0,0),v⃗=(0,2,1)\mathsf{\vec u=(2,0,0),\quad\vec v=(0,2,1)}

Die beiden Vektoren sind nicht parallel.

Ergebnis

x⃗=(1,0,0)+s(2,0,0)+t(0,2,1)\mathsf{\vec x=(1,0,0)+s(2,0,0)+t(0,2,1)}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Parameterform · standardFür x⃗=(1,2,0)+t(2,0,1)\mathsf{\vec x=(1,2,0)+t(2,0,1)} sei t=2\mathsf{t=2}. Berechne den Punkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (1,2,0)+2(2,0,1)=(5,2,2)\mathsf{(1,2,0)+2(2,0,1)=(5,2,2)}

    Ergebnis

    1. PunktP(5∣2∣2)\mathsf{P(5|2|2)}
  2. Aufgabe 2Parameterform · standardBerechne den Punkt in x⃗=(0,0,2)+s(1,0,0)+t(0,1,0)\mathsf{\vec x=(0,0,2)+s(1,0,0)+t(0,1,0)} für s=−1,t=3\mathsf{s=-1,t=3}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x⃗=(−1,3,2)\mathsf{\vec x=(-1,3,2)}

    Ergebnis

    1. PunktP(−1∣3∣2)\mathsf{P(-1|3|2)}
  3. Aufgabe 3Parameterform · standardSpannen u⃗=(1,2,3)\mathsf{\vec u=(1,2,3)} und v⃗=(2,4,6)\mathsf{\vec v=(2,4,6)} eine Ebene auf?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      v⃗=2u⃗\mathsf{\vec v=2\vec u}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Vektoren beschreiben nur eine Richtung.

    Ergebnis

    1. EntscheidungNein; sie sind parallel.
  4. Aufgabe 4Parameterform · standardZeichne in der Vorlage die Pfeile von A(0∣0∣2)\mathsf{A(0|0|2)} nach B(2∣0∣2)\mathsf{B(2|0|2)} und nach C(0∣2∣2)\mathsf{C(0|2|2)} ein. Beschrifte sie mit u⃗\mathsf{\vec u} und v⃗\mathsf{\vec v}. Notiere eine Parameterform.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Spannpfeile

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Differenzen sind (2,0,0) und (0,2,0).

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. SpannpfeilePfeile A→B und A→C.
    2. Parameterformx⃗=(0,0,2)+s(2,0,0)+t(0,2,0)\mathsf{\vec x=(0,0,2)+s(2,0,0)+t(0,2,0)}
  5. Aufgabe 5Parameterform · standardLiegt P(2∣3∣4)\mathsf{P(2|3|4)} auf x⃗=(0,0,2)+s(1,0,0)+t(0,1,0)\mathsf{\vec x=(0,0,2)+s(1,0,0)+t(0,1,0)}?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die dritte Koordinate ist für alle Parameter gleich2, der Punkt hat z=4.

    Ergebnis

    1. ErgebnisNein.
  6. Aufgabe 6Parameterform · standardDarf (1,1,2)\mathsf{(1,1,2)} statt (0,0,2)\mathsf{(0,0,2)} als Stützvektor derselben Ebene z=2\mathsf{z=2} verwendet werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der neue Stützpunkt liegt auf z=2.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Mit den Richtungen (1,0,0) und (0,1,0) wird weiterhin die gesamte Ebene erreicht.

    Ergebnis

    1. BegründungJa; der neue Stützpunkt liegt auf der Ebene.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Punkt, Richtungsvektor und Normalenvektor.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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