Trigonometrie vertiefen · Erklären & üben

Kosinussatz

Der Kosinussatz verbindet drei Seiten eines beliebigen Dreiecks mit einem Winkel. Er ist besonders geeignet, wenn zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel oder alle drei Seiten gegeben sind.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Beschriftung und passende Gleichung

Im Dreieck ABC liegt Seite a dem Winkel α bei A gegenüber. Entsprechend gehören b und β sowie c und γ zusammen.

In c²=a²+b²−2ab cos γ ist γ der Winkel zwischen den Seiten a und b. Die gesuchte oder betrachtete Seite c liegt diesem Winkel gegenüber.

Alle Seitenlängen müssen in derselben Einheit stehen. Für Winkel in Grad wird der Taschenrechner auf Gradmodus gestellt.

$\mathsf{c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$

Schematisches Dreieck mit allen Seiten und jeweils gegenüberliegenden Winkeln korrekt beschriftet.

Erklärung 02

Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel

Setze die bekannten Seiten und den eingeschlossenen Winkel ein. Berechne zunächst das Quadrat der dritten Seite und ziehe danach die positive Wurzel.

Eine negative Seitenlänge ist keine geometrische Lösung. Runde erst am Ende; für Folgerechnungen nutze möglichst den ungerundeten Wert.

So geht es am Beispiel

a=7 cm, b=8 cm, γ=60°. Berechne c.

$\mathsf{c^2=7^2+8^2-2\cdot7\cdot8\cos60^\circ}$ — einsetzen.

$\mathsf{c^2=49+64-112\cdot0{,}5}$ — Werte.

$\mathsf{c^2=57}$ — zusammenfassen.

$\mathsf{c=\sqrt{57}\approx7{,}55}$ — positive Wurzel.

Erklärung 03

Drei Seiten: einen Winkel bestimmen

Stelle nach dem Kosinus des gesuchten Winkels um. Für γ gilt cos γ=(a²+b²−c²)/(2ab). Dann verwendest du arccos im Gradmodus.

Vorher müssen die Seiten ein nicht entartetes Dreieck bilden: positive Längen und die Summe zweier Seiten jeweils größer als die dritte. Für gültige Daten liegt der Kosinuswert zwischen −1 und 1.

Bei drei gegebenen Seiten ist der Winkel im Bereich 0°<γ<180° durch arccos eindeutig.

So geht es am Beispiel

a=5 cm, b=5 cm, c=6 cm. Berechne γ.

$\mathsf{\cos\gamma=(25+25-36)/(2\cdot5\cdot5)}$ — Formel.

$\mathsf{\cos\gamma=14/50=0{,}28}$ — vereinfachen.

$\mathsf{\gamma=\arccos(0{,}28)\approx73{,}74^\circ}$ — Gradmodus.

Erklärung 04

Verfahrenswahl und Probe

Bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder bei drei Seiten ist der Kosinussatz direkt passend. Bei einem bekannten gegenüberliegenden Seiten-Winkel-Paar hilft häufig der Sinussatz.

Für einen rechten Winkel ist cos90°=0; der Kosinussatz wird zum Satz des Pythagoras.

Prüfe: Die größte Seite liegt dem größten Winkel gegenüber, die Winkelsumme ist 180°, und die Dreiecksungleichungen gelten. Eine Zeichnung allein ist kein genauer Zahlenbeweis.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kosinussatz · GrundlagenWelche Seite liegt α gegenüber, und welche Seiten schließen γ ein?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  α liegt bei A; gegenüber verläuft BC.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  γ liegt bei C zwischen CA und CB.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGegenüber α: a; γ liegt zwischen b und a.
02
Aufgabe 2Kosinussatz · Grundlagena=3 cm, b=4 cm, γ=90°: Berechne c.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c^2=9+16-24\cos90^\circ}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c^2=25}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=5}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis5 cm.
03
Aufgabe 3Kosinussatz · Grundlagena=b=6 cm, γ=60°: Berechne c.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c^2=36+36-72\cdot0{,}5}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c^2=36}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=6}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis6 cm; gleichseitiges Dreieck.
04
Aufgabe 4Kosinussatz · Anwendena=5 cm, b=8 cm, γ=120°: Berechne c.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c^2=25+64-80\cos120^\circ}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c^2=89-80(-0{,}5)=129}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=\sqrt{129}\approx11{,}36}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisc≈11,36 cm; gegenüber dem stumpfen Winkel liegt die größte Seite.
05
Aufgabe 5Kosinussatz · Anwendena=3 cm, b=4 cm, c=5 cm: Berechne γ.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\cos\gamma=(9+16-25)/(2\cdot3\cdot4)=0}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\gamma=\arccos0=90^\circ}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis90°.
06
Aufgabe 6Kosinussatz · Anwendena=b=4 cm, c=4 cm: Bestimme γ und die übrigen Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\cos\gamma=(16+16-16)/32=1/2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\gamma=60^\circ}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Gleiche Seiten haben gleiche gegenüberliegende Winkel.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisAlle drei Winkel 60°.
07
Aufgabe 7Kosinussatz · AnwendenKann ein Dreieck mit Seiten 2 cm,3 cm,6 cm existieren?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2+3=5<6}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die beiden kürzeren Seiten reichen nicht bis zur längsten.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein; Dreiecksungleichung verletzt.
08
Aufgabe 8Kosinussatz · VertiefenGegeben a=7 cm,b=8 cm,γ=60°. Jemand rechnet c²=a²+b². Erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der eingeschlossene Winkel ist nicht 90°.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Term −2ab cosγ darf nicht entfallen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c^2=57}$ , nicht 113.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDer Satz des Pythagoras passt hier nicht; c≈7,55 cm.
09
Aufgabe 9Kosinussatz · VertiefenErgänze in der gegebenen Beschriftung a=7 cm, b=8 cm und γ=60°. Berechne c und markiere die Seite, deren Länge gesucht ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{c^2=49+64-112\cdot0{,}5=57}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{c=\sqrt{57}\approx7{,}55}$ — cm.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungGesucht ist AB=c≈7,55 cm.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich ordne jede Seite ihrem gegenüberliegenden Winkel zu.
Ich nutze Gradmodus und gleiche Längeneinheiten.
Ich prüfe Winkelsumme und gegebenenfalls beide Sinus-Kandidaten.

AT Academy · Version 2026-10-21