Trigonometrie vertiefen · Erklären & üben

Sinussatz

Der Sinussatz verwendet jeweils eine Seite und ihren gegenüberliegenden Winkel. Bei der Suche nach einem unbekannten Winkel darfst du nicht blind nur den Hauptwert von arcsin übernehmen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gegenüberliegende Paare

Für jedes nicht entartete Dreieck gilt a/sinα=b/sinβ=c/sinγ. Seite a gehört zu α, b zu β und c zu γ.

Ist ein Seiten-Winkel-Paar vollständig bekannt, kannst du mit einem weiteren Winkel eine Seite berechnen. Sind zwei Winkel bekannt, ergibt sich der dritte aus 180° minus ihrer Summe.

$\mathsf{\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}}$

Allgemeines Dreieck mit korrekt zugeordneten gegenüberliegenden Seiten und Winkeln.

So geht es am Beispiel

a=6 cm, α=30°, β=45°. Berechne b und γ.

$\mathsf{\gamma=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ}$ — Winkelsumme.

$\mathsf{b=a\sin\beta/\sin\alpha}$ — umstellen.

$\mathsf{b=6\sin45^\circ/\sin30^\circ}$ — einsetzen.

$\mathsf{b=6\sqrt2\approx8{,}49}$ — ausrechnen.

Erklärung 02

Unbekannter Winkel und zweiter Kandidat

Aus sinβ=b sinα/a entsteht zunächst ein Zahlenwert s. Bei s>1 gibt es kein Dreieck. Bei 0<s<1 liegen im Bereich 0°<β<180° zwei Winkel mit diesem Sinus: β₁=arcsin(s) und β₂=180°−β₁.

Prüfe jeden Kandidaten mit α+β<180°. Nur dann bleibt ein positiver dritter Winkel. Bei s=1 ist β=90° der einzige Winkelkandidat.

Der Fall mit zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel wird hier SSW genannt, international oft SSA. Er kann null, ein oder zwei Dreiecke ergeben.

So geht es am Beispiel

α=30°, a=6 cm, b=10 cm: Prüfe beide Winkelmöglichkeiten.

$\mathsf{\sin\beta=10\sin30^\circ/6=5/6}$ .

$\mathsf{\beta_1\approx56{,}44^\circ}$ — Hauptwert.

$\mathsf{\beta_2=180^\circ-56{,}44^\circ\approx123{,}56^\circ}$ — zweiter Winkel.

$\mathsf{\gamma_1\approx93{,}56^\circ}$ — erste Winkelsumme.

$\mathsf{\gamma_2\approx26{,}44^\circ}$ — zweite Winkelsumme.

Erklärung 03

Null, ein oder zwei Dreiecke geometrisch

Für einen spitzen gegebenen Winkel α und feste Seite b ist h=b sinα die Höhe zur Richtung der anderen Seite. Bei a<h gibt es keinen Schnitt, bei a=h genau ein rechtwinkliges Dreieck.

Bei h<a<b entstehen zwei Dreiecke. Bei a≥b bleibt genau ein nicht entartetes Dreieck. Diese kurze Fallregel setzt einen spitzen α voraus.

Für stumpfe Winkel und allgemein ist die Kandidatenprüfung mit dem Sinussatz und der Winkelsumme verlässlicher: Jeder akzeptierte Winkel muss im offenen Bereich (0°,180°) liegen.

Maßstäbliche SSW-Konstruktion mit zwei unterschiedlichen Endpunkten B bei gleichem Winkel α und gleichen Seiten a,b.

So geht es am Beispiel

Halte α=30° und b=10 cm fest. Vergleiche a=4,5,6,12 cm.

$\mathsf{h=10\sin30^\circ=5}$ — cm.

$\mathsf{a=4<h}$ — kein Dreieck.

$\mathsf{a=5=h}$ — ein rechtwinkliges Dreieck.

$\mathsf{5<6<10}$ — zwei Dreiecke.

$\mathsf{a=12\ge10}$ — ein Dreieck.

Erklärung 04

Verfahrenswahl und Kontrolle

Bei zwei Winkeln und einer Seite ist die Berechnung eindeutig, sofern die Winkel positiv sind und ihre Summe kleiner als 180° ist.

Bei drei Seiten oder zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel nimm zunächst den Kosinussatz. Eine willkürlich gepaarte Seite und ein nicht gegenüberliegender Winkel dürfen nicht in einen Sinussatzbruch gesetzt werden.

Prüfe Winkelsumme und Größenordnung: Größeren Winkeln liegen größere Seiten gegenüber. Verwende Gradmodus und runde erst die Endergebnisse.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Sinussatz · Grundlagena=4 cm, α=30°, β=60°. Berechne b und γ.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\gamma=90^\circ}$ — Winkelsumme.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=4\sin60^\circ/\sin30^\circ}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=4\sqrt3\approx6{,}93}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisb≈6,93 cm, γ=90°.
02
Aufgabe 2Sinussatz · Grundlagena=5 cm, α=45°, β=45°. Bestimme b,c und γ.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\gamma=90^\circ}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=5}$ — gleicher Winkel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=5\sin90^\circ/\sin45^\circ=5\sqrt2}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisb=5 cm,c≈7,07 cm,γ=90°.
03
Aufgabe 3Sinussatz · Grundlagenα=30°,a=4 cm,b=10 cm: Wie viele Dreiecke?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sin\beta=10\cdot0{,}5/4=1{,}25}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Sinuswert kann nicht größer als 1 sein.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisKein Dreieck.
04
Aufgabe 4Sinussatz · Anwendenα=30°,a=5 cm,b=10 cm: Wie viele Dreiecke? Bestimme die übrigen Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sin\beta=10\cdot0{,}5/5=1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\beta=90^\circ}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\gamma=60^\circ}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGenau ein Dreieck.
05
Aufgabe 5Sinussatz · Anwendenα=30°,a=6 cm,b=10 cm: Bestimme beide möglichen β und γ.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sin\beta=5/6}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\beta_1\approx56{,}44^\circ,\ \beta_2\approx123{,}56^\circ}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\gamma_1\approx93{,}56^\circ,\ \gamma_2\approx26{,}44^\circ}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisZwei Dreiecke; beide Winkelsummen zulässig.
06
Aufgabe 6Sinussatz · Anwendenα=30°,a=10 cm,b=10 cm: Prüfe beide arcsin-Kandidaten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sin\beta=1/2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\beta_1=30^\circ,\ \beta_2=150^\circ}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Für β₂ wäre γ=0°, also entartet.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Für β₁ gilt γ=120°.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGenau ein nicht entartetes Dreieck: β=30°,γ=120°.
07
Aufgabe 7Sinussatz · Anwendenα=120°,a=10 cm,b=10 cm: Ist ein Dreieck möglich?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sin\beta=\sin120^\circ=\sqrt3/2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\beta=60^\circ\ \textsf{oder}\ 120^\circ}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Im ersten Fall wäre γ=0°, im zweiten negativ.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisKein nicht entartetes Dreieck.
08
Aufgabe 8Sinussatz · VertiefenGegeben sind a,b und der eingeschlossene Winkel γ. Warum ist der Kosinussatz zuerst geeignet?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Kein gegenüberliegendes Seiten-Winkel-Paar ist vollständig bekannt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Kosinussatz liefert direkt c aus a,b,γ.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisZuerst c²=a²+b²−2ab cosγ; danach weitere Winkel bestimmen.
09
Aufgabe 9Sinussatz · VertiefenErgänze im gegebenen Dreieck α=30°,β=45°,a=6 cm. Berechne γ und b und beschrifte die jeweils gegenüberliegenden Seiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\gamma=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{b=6\sin45^\circ/\sin30^\circ=6\sqrt2\approx8{,}49}$ .
Ergebnis
1. Antwort und Begründungγ=105°,b≈8,49 cm; a gegenüber α,b gegenüber β.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich ordne jede Seite ihrem gegenüberliegenden Winkel zu.
Ich nutze Gradmodus und gleiche Längeneinheiten.
Ich prüfe Winkelsumme und gegebenenfalls beide Sinus-Kandidaten.

AT Academy · Version 2026-10-21