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Kreise berechnen · Erklären & üben

Kreis

Eine Kreislinie besteht aus allen Punkten, die von einem Mittelpunkt gleich weit entfernt sind. Die Kreisfläche umfasst zusätzlich das Innere. Diese Unterscheidung hilft bei Zeichnungen, Lagefragen und Rechnungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Mittelpunkt, Radius und Durchmesser

Der Radius r ist der Abstand vom Mittelpunkt M zur Kreislinie. Ein Durchmesser d verbindet zwei gegenüberliegende Randpunkte durch M. Eine Sehne verbindet zwei beliebige Randpunkte; nur wenn sie durch M geht, ist sie ein Durchmesser. Ein Kreis hat unendlich viele Radien und Durchmesser gleicher Länge.

  1. Suche M, bevor du eine Strecke als Radius oder Durchmesser bezeichnest.

d=2r\mathsf{d=2r}

Kreis mit Mittelpunkt M, senkrechtem Radius r und waagerechtem Durchmesser d durch M.

So geht es am Beispiel

Ein Kreis hat Radius 3 cm. Bestimme den Durchmesser.

d=2⋅3 cm=6 cm\mathsf{d=2\cdot3\,\mathsf{cm}=6\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Der Durchmesser beträgt 6 cm.

Erklärung 02

Punkte innen, auf dem Rand oder außen

Vergleiche den Abstand eines Punkts P von M mit r. Kleiner als r bedeutet innen, gleich r bedeutet auf der Kreislinie, größer als r bedeutet außen. Die Randlinie allein hat keinen Flächeninhalt; mit Kreisfläche ist der gefüllte Bereich gemeint.

  1. Bestimme MP und vergleiche mit r.

MP<r\mathsf{MP<r} innen, MP=r\mathsf{MP=r} Rand, MP>r\mathsf{MP>r} außen.

So geht es am Beispiel

r beträgt 3 cm. Punkte haben Abstand 2 cm, 3 cm und 4 cm zu M. Ordne sie ein.

2 cm ist kleiner als r; 3 cm ist gleich r; 4 cm ist größer als r.

Ergebnis

Innen, auf der Kreislinie, außen.

Erklärung 03

Geraden am Kreis

Eine Sekante schneidet die Kreislinie zweimal, eine Tangente berührt sie einmal und eine Passante hat keinen gemeinsamen Punkt mit ihr. Der senkrechte Abstand der Geraden zu M entscheidet: kleiner als r, gleich r oder größer als r. Die Tangente steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius.

  1. Miss den Abstand senkrecht zur Geraden.

Die Anzahl der Schnittpunkte bezieht sich auf die Kreislinie.

Passante oberhalb des Kreises, Tangente am oberen Rand und Sekante durch den Mittelpunkt.

Erklärung 04

Randlänge und Fläche

Der Umfang U ist die Länge der Kreislinie. Der Flächeninhalt A misst das Innere einschließlich Rand. Die Kreiszahl π ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser und ungefähr 3,14159.

  1. Längen in cm ergeben einen Umfang in cm und eine Fläche in cm².

U=2πr=πd,A=πr2\mathsf{U=2\pi r=\pi d,\quad A=\pi r^2}

Erklärung 05

Bogen, Sektor, Segment und Ring

Ein Kreisbogen ist ein Teil der Kreislinie. Zwei Radien und ein Bogen begrenzen einen Kreissektor oder Kreisausschnitt. Eine Sehne und ihr Bogen begrenzen ein Kreissegment oder einen Kreisabschnitt. Zwei konzentrische Kreise, also Kreise mit demselben Mittelpunkt, begrenzen einen Kreisring.

  1. Unterscheide die begrenzenden Linien: Radien, Sehne oder zwei Kreislinien.

Sektor und Segment sind verschiedene Flächenteile.

Links ein Viertelkreissektor, rechts ein durch eine Sehne begrenzter Kreisabschnitt.

Erklärung 06

Mit dem Zirkel zeichnen

Markiere M. Stelle die Zirkelöffnung auf den gewünschten Radius ein, setze die Spitze in M und drehe den Bleistiftschenkel vollständig herum. Die Spitze bleibt in M und die Öffnung unverändert.

  1. Ein gegebener Durchmesser muss zuerst halbiert werden.

  2. Bei skalierten Vorlagen die gegebene Radiusstrecke direkt übernehmen.

Alle gezeichneten Randpunkte müssen denselben Abstand von M haben.

Erklärung 07

Zwei Kreislinien vergleichen

Für Radien R und r größer als null und den Mittelpunktabstand a gilt:

a>R+r\mathsf{a>R+r}: außen getrennt.

a=R+r\mathsf{a=R+r}: außen berührend.

∣R−r∣<a<R+r\mathsf{|R-r|<a<R+r}: zwei Schnittpunkte.

a=∣R−r∣>0\mathsf{a=|R-r|>0}: innen berührend.

a<∣R−r∣\mathsf{a<|R-r|}: eine Kreislinie liegt ganz innerhalb der anderen, ohne Schnitt.

a=0\mathsf{a=0} und R=r\mathsf{R=r}: identische Kreislinien mit unendlich vielen gemeinsamen Punkten.

Bei gleichem Mittelpunkt und verschiedenen Radien sind die Kreise konzentrisch und schneiden sich nicht.

  1. Vergleiche a mit Summe und Betrag der Radiendifferenz.

  2. Prüfe gleiche Mittelpunkte und gleiche Radien als Sonderfall.

Die Summe unterscheidet außen; die Radiendifferenz unterscheidet innen.

Kreispaare mit Radien 45 und 30: Abstand 75 äußere Berührung, Abstand 45 zwei Schnittpunkte, Abstand 10 ohne Schnitt innen.

So geht es am Beispiel

R = 3 cm, r = 2 cm, a = 4 cm: Wie liegen die Kreislinien?

∣3−2∣=1,3+2=5\mathsf{|3-2|=1,\quad3+2=5}
1<4<5\mathsf{1<4<5}

Ergebnis

Die Kreislinien haben zwei Schnittpunkte.

Erklärung 08

Vom Kreis zur Kugel

Der Kreis liegt in einer Ebene. Die Kugeloberfläche besteht im Raum aus allen Punkten mit gleichem Abstand vom Mittelpunkt. Eine Kugel ist daher kein Kreis; ein ebener Schnitt durch ihre Mitte ist jedoch eine Kreisfläche.

  1. Weiterlernen: Kugel für Oberfläche und Volumen im Raum.

Kreisflächen werden in Quadrateinheiten, Körpervolumen in Kubikeinheiten gemessen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Kreis · AnwendenEin Kreis hat Radius 4,5 cm. Berechne d.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=2⋅4,5=9 cm\mathsf{d=2\cdot4{,}5=9\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Durchmesser9 cm
  2. Aufgabe 2Kreis · Anwendenr = 5 cm, MP = 7 cm: Wo liegt P?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      7 cm ist größer als 5 cm.

    Ergebnis

    1. PunktlageAußerhalb der Kreisfläche
  3. Aufgabe 3Kreis · AnwendenEine Gerade hat den senkrechten Abstand 4 cm zu M. Der Kreisradius ist ebenfalls 4 cm. Bestimme die Geradenlage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Abstand und Radius sind gleich.

    Ergebnis

    1. GeradenlageTangente; genau ein Berührpunkt
  4. Aufgabe 4Kreis · AnwendenNutze die dargestellte Strecke MP als Radius. Zeichne den Kreis um M durch P. Die Vorlage ist skaliert; übernimm die gezeichnete Strecke mit dem Zirkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Konstruktion

    Leere Zeichenvorlage mit Mittelpunkt M und vorgegebener Radiusstrecke MP; Längenangabe.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Setze die Zirkelspitze in M und öffne den Zirkel bis P.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zeichne den vollständigen Kreis bei unveränderter Öffnung.

    Ergebnis

    1. KonstruktionKreis mit Mittelpunkt M durch P.
  5. Aufgabe 5Kreis · AnwendenZwei Kreise haben Radien 6 cm und 2 cm; der Mittelpunktabstand ist 5 cm. Wie viele Schnittpunkte haben die Kreislinien?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∣6−2∣=4<5<8=6+2\mathsf{|6-2|=4<5<8=6+2}

    Ergebnis

    1. SchnittpunkteZwei
  6. Aufgabe 6Kreis · AnwendenZwei Kreise haben Radien 6 cm und 2 cm. Nenne die Mittelpunktabstände für äußere und innere Berührung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      a=6+2=8 cm\mathsf{a=6+2=8\,\mathsf{cm}} (äußere Berührung).

      ainnen=6−2=4 cm\mathsf{a_{\mathsf{innen}}=6-2=4\,\mathsf{cm}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Äußere Berührung8 cm
    2. Innere Berührung4 cm
  7. Aufgabe 7Kreis · AnwendenEin Flächenteil wird von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt. Wie heißt er?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Begrenzung enthält zwei Radien, keine Sehne.

    Ergebnis

    1. BezeichnungKreissektor oder Kreisausschnitt

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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