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Kreise berechnen · Erklären & üben

Kreis berechnen

Bei einer Kreisberechnung wählst du zuerst die gegebene Größe: Radius oder Durchmesser. Daraus berechnest du die Randlänge oder den Flächeninhalt. Runde erst am Ende.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gegeben und gesucht

Radius r und Durchmesser d sind Längen. U bezeichnet den Umfang in Längeneinheiten, A den Flächeninhalt in Quadrateinheiten. Notiere vor jeder Rechnung, welche Größe vorliegt.

  1. Einheit vereinheitlichen, Formel wählen, einsetzen.

Die gleiche Zahl kann als Radius oder Durchmesser zu unterschiedlichen Ergebnissen führen.

Erklärung 02

Vom Radius zum Durchmesser

Ein Durchmesser besteht aus zwei Radien. Deshalb wird der Radius verdoppelt; umgekehrt halbierst du den Durchmesser.

  1. Kennzeichne in einer Skizze, welche Strecke gegeben ist.

d=2r,r=d2\mathsf{d=2r,\quad r=\frac d2}

Kreis mit Radius 7cm und Durchmesser 14cm.

So geht es am Beispiel

r = 7 cm. Bestimme d.

d=2⋅7=14 cm\mathsf{d=2\cdot7=14\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

14 cm

Erklärung 03

Die Randlänge berechnen

Multipliziere den Durchmesser mit π oder den Radius mit 2π. Lass π zunächst stehen und verwende für einen Näherungswert die π-Taste.

  1. Die Einheit des Umfangs bleibt eine Längeneinheit.

U=2πr=πd\mathsf{U=2\pi r=\pi d}

So geht es am Beispiel

r = 3 cm. Berechne U.

U=2π⋅3=6π cm≈18,85 cm\mathsf{U=2\pi\cdot3=6\pi\,\mathsf{cm}\approx18{,}85\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Etwa 18,85 cm

So geht es am Beispiel

d = 9 cm. Berechne U.

U=9π cm≈28,27 cm\mathsf{U=9\pi\,\mathsf{cm}\approx28{,}27\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Etwa 28,27 cm

Erklärung 04

Den Flächeninhalt berechnen

Bei der Fläche wird der Radius quadriert. Ist d gegeben, halbiere ihn vor dem Quadrieren.

  1. Zuerst r bestimmen, dann r² und schließlich πr² berechnen.

A=πr2=π(d2)2\mathsf{A=\pi r^2=\pi\left(\frac d2\right)^2}

Gefüllte Kreisfläche mit Radius 6cm.

So geht es am Beispiel

r = 6 cm. Berechne A.

A=π⋅62=36π cm2≈113,10 cm2\mathsf{A=\pi\cdot6^2=36\pi\,\mathsf{cm}^2\approx113{,}10\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Etwa 113,10 cm²

So geht es am Beispiel

d = 14 cm. Berechne A.

r=7 cm\mathsf{r=7\,\mathsf{cm}}
A=49π cm2≈153,94 cm2\mathsf{A=49\pi\,\mathsf{cm}^2\approx153{,}94\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Etwa 153,94 cm²

Erklärung 05

Einheiten und Skalierung

Verdoppelst du r, verdoppelt sich U. Die Fläche wird viermal so groß, weil der Radius quadriert wird. Längeneinheiten werden vor der Rechnung umgerechnet; Flächeneinheiten haben quadratische Umrechnungsfaktoren.

  1. Beispiel: 1 m = 100 cm, aber 1 m² = 10000 cm².

Einheit und Größenordnung sind Teil des Ergebnisses.

Erklärung 06

Weiter zur Flächenberechnung

Kreisflächen lassen sich mit Rechtecken oder Dreiecken zu zusammengesetzten Flächen verbinden. Addiere nicht überlappende Flächen und ziehe Aussparungen ab.

  1. Weiterlernen: Kreisfläche und Kreisring für Flächendifferenzen.

Alle Teilflächen müssen in derselben Flächeneinheit stehen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Kreis berechnen · Anwendenr = 8 cm. Bestimme d.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=2⋅8=16 cm\mathsf{d=2\cdot8=16\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Durchmesser16 cm
  2. Aufgabe 2Kreis berechnen · Anwendenr = 4 cm. Berechne U auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      U=8π cm≈25,13 cm\mathsf{U=8\pi\,\mathsf{cm}\approx25{,}13\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. UmfangEtwa 25,13 cm
  3. Aufgabe 3Kreis berechnen · Anwendend = 10 cm. Berechne A exakt mit π.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=5 cm\mathsf{r=5\,\mathsf{cm}}
      A=25π cm2\mathsf{A=25\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Flächeninhalt25π cm2\mathsf{25\pi\,\mathsf{cm}^2}
  4. Aufgabe 4Kreis berechnen · AnwendenEin Kreis hat Radius 20 mm. Berechne A in cm² exakt mit π.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      20 mm=2 cm\mathsf{20\,\mathsf{mm}=2\,\mathsf{cm}}
      A=π⋅22=4π cm2\mathsf{A=\pi\cdot2^2=4\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Flächeninhalt4π cm2\mathsf{4\pi\,\mathsf{cm}^2}
  5. Aufgabe 5Kreis berechnen · AnwendenNutze die dargestellte Strecke MP als Radius. Zeichne den Kreis um M durch P. Verlängere PM durch M bis zum Kreis und nenne den neuen Endpunkt Q. Die Vorlage ist skaliert; übernimm die gezeichnete Strecke mit dem Zirkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Konstruktion

    Leere Zeichenvorlage mit Mittelpunkt M und vorgegebener Radiusstrecke MP; Längenangabe.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Setze die Zirkelspitze in M und öffne den Zirkel bis P.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zeichne den vollständigen Kreis bei unveränderter Öffnung.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Verlängere PM durch M zum gegenüberliegenden Kreisrand Q.

    Ergebnis

    1. KonstruktionKreis mit Mittelpunkt M durch P; QP geht durch M und hat die doppelte Länge von MP.
  6. Aufgabe 6Kreis berechnen · AnwendenDer Radius wird verdreifacht. Mit welchem Faktor verändern sich U und A?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Uneu=2π(3r)=3U\mathsf{U_{\mathsf{neu}}=2\pi(3r)=3U}
      Aneu=π(3r)2=9A\mathsf{A_{\mathsf{neu}}=\pi(3r)^2=9A}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Faktor des Umfangs3
    2. Faktor der Fläche9

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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