Kreise berechnen · Erklären & üben

Kreisberechnung

Bei rückwärts gerichteter Kreisberechnung sind Umfang oder Fläche bekannt. Stelle die passende Formel um und nutze den Radius als Zwischenschritt, wenn mehrere Größen gesucht sind.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die passende Umkehrung

Aus einer positiven Kreisgröße lassen sich die anderen eindeutig berechnen. Umstellen kommt vor dem Einsetzen. Für einen echten Kreis sind r, d, U und A positiv.

Behalte exakte π-Ausdrücke bis zum letzten Schritt.

Eine Quadratwurzel liefert bei einer Länge den positiven Wert.

Erklärung 02

Durchmesser bestimmen

Aus r verdoppelst du; aus U teilst du durch π.

Prüfe, ob r oder U gegeben ist.

$\mathsf{d=2r=\frac U\pi}$

So geht es am Beispiel

r = 4,5 cm. Bestimme d.

\mathsf{d=9\,\mathsf{cm}}

So geht es am Beispiel

$\mathsf{U=11\pi\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme d.

\mathsf{d=\frac{11\pi}{\pi}=11\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Radius bestimmen

Aus d halbierst du; aus U teilst du durch 2π.

Bei der Umfangsformel gehört die 2 mit in den Nenner.

$\mathsf{r=\frac d2=\frac U{2\pi}}$

So geht es am Beispiel

d = 15 cm. Bestimme r.

\mathsf{r=7{,}5\,\mathsf{cm}}

So geht es am Beispiel

$\mathsf{U=12\pi\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme r.

\mathsf{r=\frac{12\pi}{2\pi}=6\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Vorwärtsprobe mit dem Umfang

Setze dein Ergebnis zur Kontrolle wieder in die ursprüngliche Formel ein.

Radius: 2πr; Durchmesser: πd.

$\mathsf{U=2\pi r=\pi d}$

So geht es am Beispiel

r = 4 cm. Berechne U.

\mathsf{U=8\pi\,\mathsf{cm}}

So geht es am Beispiel

d = 6 cm. Berechne U.

\mathsf{U=6\pi\,\mathsf{cm}}

Erklärung 05

Fläche aus Radius oder Durchmesser

Der Radius wird quadriert; ein gegebener Durchmesser muss zuerst halbiert werden.

Vereinheitliche die Längeneinheit.

$\mathsf{A=\pi r^2}$

So geht es am Beispiel

r = 3 cm. Berechne A.

\mathsf{A=9\pi\,\mathsf{cm}^2}

So geht es am Beispiel

d = 10 cm. Berechne A.

\mathsf{r=5\,\mathsf{cm}}

\mathsf{A=25\pi\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 06

Fläche und Umfang verbinden

Aus A folgt zunächst $\mathsf{r^2=A/\pi}$ , dann ziehst du die Wurzel. Aus U erhältst du r und setzt ihn in die Flächenformel ein.

Schreibe jeden Zwischenschritt mit seiner Einheit auf.

$\mathsf{r=\sqrt{\frac A\pi},\quad A=\frac{U^2}{4\pi}}$

Gefüllter Kreis: gesuchter Radius aus gegebener Fläche.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{A=64\pi\,\mathsf{cm}^2}$ . Bestimme r.

\mathsf{r=\sqrt{64}=8\,\mathsf{cm}}

So geht es am Beispiel

$\mathsf{U=18\pi\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme A.

\mathsf{r=9\,\mathsf{cm}}

\mathsf{A=81\pi\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 07

Andere Flächenformeln unterscheiden

Beim Dreieck gilt $\mathsf{A=\frac12 gh}$ , beim Kreis $\mathsf{A=\pi r^2}$ . Die Figur bestimmt die Formel. Eine Dreieckshöhe ist kein Kreisradius.

Weiterlernen: Flächeninhalt Dreieck für Grundseite und senkrechte Höhe.

Formeln werden aus der Figur gewählt, nicht aus ähnlichen Zahlen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kreisberechnung · Anwenden $\mathsf{U=13\pi\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme d.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Durchmesser
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d=U/\pi=13\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Durchmesser13 cm
02
Aufgabe 2Kreisberechnung · Anwenden $\mathsf{A=100\pi\,\mathsf{cm}^2}$ . Bestimme r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Radius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=\sqrt{100}=10\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Radius10 cm
03
Aufgabe 3Kreisberechnung · Anwenden $\mathsf{U=16\pi\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme A.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächeninhalt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=8\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{A=64\pi\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Flächeninhalt $\mathsf{64\pi\,\mathsf{cm}^2}$
04
Aufgabe 4Kreisberechnung · Anwenden $\mathsf{A=49\pi\,\mathsf{cm}^2}$ . Bestimme U.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=7\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{U=14\pi\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Umfang $\mathsf{14\pi\,\mathsf{cm}}$
05
Aufgabe 5Kreisberechnung · AnwendenNutze die dargestellte Strecke MP als Radius. Zeichne den Kreis um M durch P. Verlängere PM durch M bis zum Kreis und nenne den neuen Endpunkt Q. Die Vorlage ist skaliert; übernimm die gezeichnete Strecke mit dem Zirkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstruktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Konstruktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze die Zirkelspitze in M und öffne den Zirkel bis P.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeichne den vollständigen Kreis bei unveränderter Öffnung.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Verlängere PM durch M zum gegenüberliegenden Kreisrand Q.
Ergebnis
1. KonstruktionKreis mit Mittelpunkt M durch P; QP geht durch M und hat die doppelte Länge von MP.
06
Aufgabe 6Kreisberechnung · AnwendenJemand berechnet aus $\mathsf{A=36\pi\,\mathsf{cm}^2}$ den Radius als 36 cm. Korrigiere und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrigierter Radius und Grund
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A/\pi=36\,\mathsf{cm}^2}$ ist das Quadrat des Radius.
  $\mathsf{r=\sqrt{36\,\mathsf{cm}^2}=6\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Korrigierter Radius und Grund6 cm; nach dem Teilen durch π muss die Quadratwurzel gezogen werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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