Kreis und Bogenmaß · Erklären & üben

Kreisbogen und Kreisausschnitt (Kreisausschnitt)

Ein Kreisausschnitt ist ein Sektor: zwei Radien und ein Kreisbogen begrenzen seine Fläche. Hier bestimmst du Flächen und rechnest von gegebenen Flächen zurück auf Radius oder Durchmesser.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Fläche als Kreisanteil

Der Mittelpunktswinkel gibt den Anteil an 360 Grad an. Multipliziere diesen Anteil mit der Kreisfläche. Ein Kreissegment, das von einer Sehne und einem Bogen begrenzt wird, ist etwas anderes als ein Sektor.

Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.
Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

$\mathsf{A_S=\frac\alpha{360^\circ}\pi r^2}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{A_S}$ für $\mathsf{r=8\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=45^\circ}$ .

\mathsf{A_S=\frac18\pi\cdot64=8\pi\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 02

Radius und Durchmesser rückwärts finden

Teile die Fläche durch den Winkelanteil und durch Pi. Du erhältst das Radiusquadrat, noch nicht den Radius. Ziehe die positive Wurzel und verdopple für den Durchmesser. Die Längeneinheit ergibt sich aus der Wurzel der Flächeneinheit.

Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.
Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

$\mathsf{r=\sqrt{\frac{360^\circ A_S}{\alpha\pi}},\qquad d=2r}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{A_S=12\pi\,\mathsf{cm}^2}$ und $\mathsf{\alpha=120^\circ}$ . Berechne $\mathsf{r}$ und $\mathsf{d}$ .

\mathsf{r^2=12\pi\cdot3/\pi=36}

\mathsf{r=6\,\mathsf{cm},\quad d=12\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Fläche nicht mit dem Rand verwechseln

Die Fläche wird in Quadrateinheiten gemessen. Der Rand wird in Längeneinheiten gemessen und besteht bei einem echten Teilsektor aus zwei Radien und dem Bogen. Bei gleichem Winkel wächst die Fläche quadratisch mit dem Radius; der Rand wächst nur linear.

Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.
Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

$\mathsf{U_S=2r+\frac\alpha{360^\circ}2\pi r}$

So geht es am Beispiel

Berechne den Rand für $\mathsf{r=3\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=120^\circ}$ .

\mathsf{b=2\pi\,\mathsf{cm}}

\mathsf{U_S=(6+2\pi)\,\mathsf{cm}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kreisbogen und Kreisausschnitt (Kreisausschnitt) · standard $\mathsf{r=6\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{\alpha=90^\circ}$ . Berechne die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A_S=\frac14\pi\cdot36=9\pi\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Fläche $\mathsf{9\pi\,\mathsf{cm}^2}$
02
Aufgabe 2Kreisbogen und Kreisausschnitt (Kreisausschnitt) · standard $\mathsf{r=5\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{\alpha=72^\circ}$ . Berechne die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{72/360=1/5}$
  $\mathsf{A_S=\frac15\pi\cdot25=5\pi\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Fläche $\mathsf{5\pi\,\mathsf{cm}^2}$
03
Aufgabe 3Kreisbogen und Kreisausschnitt (Kreisausschnitt) · standardEin Viertelkreissektor hat Fläche $\mathsf{16\pi\,\mathsf{cm}^2}$ . Berechne Radius und Durchmesser.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Radius
Durchmesser
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r^2=4\cdot16=64}$
  $\mathsf{r=8\,\mathsf{cm},\quad d=16\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Radius $\mathsf{8\,\mathsf{cm}}$
2. Durchmesser $\mathsf{16\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Kreisbogen und Kreisausschnitt (Kreisausschnitt) · standardZeichne den Kreis um M durch A. Trage oberhalb des nach rechts gerichteten Radius MA einen Winkel von $\mathsf{60^\circ}$ ab und zeichne den zweiten Radius MB. Schraffiere nur den kleineren Sektor und beschrifte seinen Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sektorzeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Sektorzeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{60^\circ/360^\circ=1/6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der kleinere Sektor umfasst ein Sechstel der Kreisfläche.
Ergebnis
1. SektorzeichnungKreis und oberer 60-Grad-Sektor mit beiden Radien, Winkelbogen und Schraffur.
05
Aufgabe 5Kreisbogen und Kreisausschnitt (Kreisausschnitt) · standard $\mathsf{r=4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=270^\circ}$ . Berechne die Fläche des großen Sektors.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A_S=\frac34\pi\cdot16=12\pi\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Fläche $\mathsf{12\pi\,\mathsf{cm}^2}$
06
Aufgabe 6Kreisbogen und Kreisausschnitt (Kreisausschnitt) · standardDer Radius eines Sektors wird verdoppelt, der Winkel bleibt gleich. Mit welchem Faktor wächst die Fläche? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächenfaktor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(2r)^2=4r^2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Winkelanteil bleibt unverändert.
Ergebnis
1. Flächenfaktor $\mathsf{4}$

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