Kreise berechnen · Erklären & üben

Kreisfläche

Bei Anwendungen zur Kreisfläche geht es häufig um ausgeschnittene Flächen, Anteile oder einen gesuchten Radius. Entscheidend ist, welche Fläche wirklich zur gesuchten Figur gehört.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche Fläche ist gesucht?

Eine Kreisfläche umfasst den gefüllten Bereich. Eine eingezeichnete Kreislinie allein verrät noch nicht, ob die innere Fläche mitgezählt oder als Aussparung abgezogen werden soll. Lies die Aufgabenbeschreibung und kennzeichne die gesuchte Fläche.

Unterscheide ganze Fläche, Aussparung und verbleibende Fläche.

$\mathsf{A=\pi r^2}$

Erklärung 02

Radius und Durchmesser als Ausgangspunkt

Mit r setzt du direkt in die Formel ein. Bei gegebenem d halbierst du zuerst. Ein exakter Wert mit π ist nicht dasselbe wie ein gerundeter Dezimalwert.

Runde erst nach dem vollständigen Rechengang.

$\mathsf{A=\pi r^2=\pi(d/2)^2}$

So geht es am Beispiel

Ein Kreis hat Radius 7 cm. Berechne A.

\mathsf{A=49\pi\,\mathsf{cm}^2\approx153{,}94\,\mathsf{cm}^2}

So geht es am Beispiel

Eine runde Fläche hat Durchmesser 1,6 m. Berechne A.

\mathsf{r=0{,}8\,\mathsf m}

\mathsf{A=0{,}64\pi\,\mathsf m^2\approx2{,}01\,\mathsf m^2}

Erklärung 03

Aus der Fläche zur Größe des Kreises

Teile durch π und ziehe die positive Quadratwurzel. Verdopple anschließend nur dann, wenn der Durchmesser gesucht ist.

Die Fläche muss in einer passenden Quadrateinheit vorliegen.

$\mathsf{r=\sqrt{A/\pi}}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{A=36\pi\,\mathsf{cm}^2}$ . Bestimme r und d.

\mathsf{r=\sqrt{36}=6\,\mathsf{cm}}

\mathsf{d=12\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Kreis im Kreis und Flächenanteile

Liegt eine kleinere Kreisfläche vollständig innerhalb einer größeren, ist die Restfläche die Differenz beider Flächen. Bei gleichem Mittelpunkt ist das ein Kreisring. Bei versetztem Mittelpunkt bleibt die Flächendifferenz gültig, solange die kleine Fläche vollständig enthalten ist. Überlappen die Kreise nur teilweise, darf nicht die ganze kleinere Fläche abgezogen werden. Der Flächenanteil der kleineren Kreisfläche ist das Quadrat des Radienverhältnisses.

Restfläche: äußere Fläche minus vollständig ausgesparte innere Fläche.
Anteil: innere Fläche durch äußere Fläche; für Prozent mit 100 multiplizieren.

$\mathsf{A_{\mathsf{Rest}}=\pi(R^2-r^2),\quad\frac{A_{\mathsf{innen}}}{A_{\mathsf{gesamt}}}=\frac{r^2}{R^2}}$

Konzentrische Kreise mit Radienverhältnis 6zu 10 und Flächenverhältnis 36zu 100.

Vollständig innerhalb des großen Kreises liegende versetzte kreisförmige Aussparung; gemeinsamer Mittelpunkt ist für die Flächendifferenz nicht nötig.

So geht es am Beispiel

Ein großer Kreis hat Radius 10 cm; innen liegt eine kreisförmige Aussparung mit Radius 6 cm vollständig. Bestimme Restfläche und ausgesparten Anteil.

\mathsf{A_{\mathsf{Rest}}=\pi(100-36)=64\pi\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{p=\frac{36}{100}\cdot100\%=36\%}

Erklärung 05

Fläche und Rand sind unterschiedliche Fragen

Wird ein Loch ausgeschnitten, verringert sich die Fläche. Die gesamte Randlänge der verbleibenden Figur enthält zusätzlich den Lochrand. Für einen Kreisring addierst du deshalb die beiden Kreisumfänge, obwohl du bei der Fläche subtrahierst.

Weiterlernen: Umfang Kreis für Randlängen und zusammengesetzte Ränder.

$\mathsf{U_{\mathsf{Ring}}=2\pi R+2\pi r}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kreisfläche · AnwendenEine runde Scheibe hat Radius 7 cm. Berechne die Fläche exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächeninhalt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=49\pi\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Flächeninhalt $\mathsf{49\pi\,\mathsf{cm}^2}$
02
Aufgabe 2Kreisfläche · AnwendenEine runde Tischplatte hat Durchmesser 1,8 m. Berechne ihre Fläche auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächeninhalt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=0{,}9\,\mathsf m}$
  $\mathsf{A=0{,}81\pi\,\mathsf m^2\approx2{,}54\,\mathsf m^2}$
Ergebnis
1. FlächeninhaltEtwa 2,54 m²
03
Aufgabe 3Kreisfläche · AnwendenEine Kreisfläche hat den Inhalt $\mathsf{121\pi\,\mathsf{cm}^2}$ . Bestimme den Radius.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Radius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=\sqrt{121}=11\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Radius11 cm
04
Aufgabe 4Kreisfläche · AnwendenAus einer Kreisscheibe mit Radius 9 cm wird ein vollständig darin liegender Kreis mit Radius 3 cm ausgeschnitten. Berechne die Restfläche exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Restfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A_{\mathsf{Rest}}=\pi(81-9)=72\pi\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Restfläche $\mathsf{72\pi\,\mathsf{cm}^2}$
05
Aufgabe 5Kreisfläche · AnwendenEine innere Kreisfläche mit Radius 6 cm liegt vollständig in einem Kreis mit Radius 10 cm. Wie viel Prozent der großen Fläche nimmt sie ein?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächenanteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=\frac{6^2}{10^2}\cdot100\%=36\%}$
Ergebnis
1. Flächenanteil36 %
06
Aufgabe 6Kreisfläche · AnwendenNutze die dargestellte Strecke MP als Radius. Zeichne den Kreis um M durch P. Schraffiere den Bereich zwischen dem vorhandenen inneren und dem neuen äußeren Kreis. Die Vorlage ist skaliert; übernimm die gezeichnete Strecke mit dem Zirkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstruktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Konstruktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Setze die Zirkelspitze in M und öffne den Zirkel bis P.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeichne den vollständigen Kreis bei unveränderter Öffnung.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kennzeichne nur die Ringfläche; das innere Loch bleibt frei.
Ergebnis
1. KonstruktionKreis mit Mittelpunkt M durch P; die innere Kreisfläche bleibt frei.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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