Mit Vektoren rechnen · Erklären & üben

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt verknüpft zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum zu einem neuen Vektor. Seine Richtung steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren; sein Betrag beschreibt eine Fläche.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ergebnis und Orientierung

Für $\mathsf{\vec a,\vec b\in\mathbb R^3}$ heißt $\mathsf{\vec a\times\vec b}$ Kreuzprodukt oder Vektorprodukt. Das Ergebnis ist ein Vektor, keine Zahl.

Bei nicht parallelen Vektoren zeigen die Finger der rechten Hand in der Drehung von a nach b; der abgespreizte Daumen zeigt in Richtung des Kreuzprodukts. Gemeint ist die kleinere Drehung von a nach b in ihrer Ebene.

Für die Einheitsvektoren gilt $\mathsf{\vec e_1\times\vec e_2=\vec e_3}$ . Vertauschte Reihenfolge kehrt die Richtung um. Der Nullvektor besitzt keine bestimmte Richtung.

$\mathsf{\vec b\times\vec a=-(\vec a\times\vec b)}$

Schrägbild des Parallelogramms mit a=(2,0,0), b=(0,3,0) und positivem z-Normalenvektor n=(0,0,6).

Erklärung 02

Drei Komponenten berechnen

Schreibe beide Vektoren in derselben Reihenfolge auf. Für jede Komponente bildest du eine Differenz aus zwei Produkten.

Achte besonders auf die zweite Komponente: Sie lautet $\mathsf{a_3b_1-a_1b_3}$ . So ist das Vorzeichen bereits in der Formel enthalten.

$\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}}$

So geht es am Beispiel

Berechne für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{n_1=(2)\cdot(3)-(0)\cdot(1)}$ — Komponente 1 einsetzen.

$\mathsf{n_1=6}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.

$\mathsf{n_2=(0)\cdot(0)-(1)\cdot(3)}$ — Komponente 2 einsetzen.

$\mathsf{n_2=-3}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.

$\mathsf{n_3=(1)\cdot(1)-(2)\cdot(0)}$ — Komponente 3 einsetzen.

$\mathsf{n_3=1}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.

$\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}6\\-3\\1\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.

Erklärung 03

Normalenvektor und Rechenregeln

Ein Kreuzprodukt ungleich null ist ein Normalenvektor der von a und b aufgespannten Ebene. Prüfe die Senkrechtstellung durch die beiden Skalarprodukte.

Bei parallelen Vektoren oder einem Nullvektor ist das Kreuzprodukt null. Dann liefert es keinen brauchbaren Normalenvektor.

Das Kreuzprodukt ist distributiv: $\mathsf{\vec a\times(\vec b+\vec c)=\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec c}$ . Ein skalarer Faktor kann herausgezogen werden. Es ist im Allgemeinen nicht assoziativ; Klammern dürfen nicht beliebig verschoben werden.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}6\\-3\\1\end{pmatrix}}$ für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{\vec n\cdot\vec a=6\cdot1+(-3)\cdot2+1\cdot0}$ — einsetzen.

$\mathsf{\vec n\cdot\vec a=0}$ — ausrechnen.

$\mathsf{\vec n\cdot\vec b=6\cdot0+(-3)\cdot1+1\cdot3}$ — einsetzen.

$\mathsf{\vec n\cdot\vec b=0}$ — ausrechnen.

Erklärung 04

Betrag und Parallelogrammfläche

Der Betrag des Kreuzprodukts ist die Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Er ist immer nichtnegativ.

Bei Kantenlängen in Zentimetern erhältst du Quadratzentimeter. Ohne festgelegte Längeneinheit heißt die Einheit FE.

Für zwei Vektoren ungleich null gilt außerdem $\mathsf{\lVert\vec a\times\vec b\rVert=\lVert\vec a\rVert\,\lVert\vec b\rVert\sin\alpha}$ mit $\mathsf{0\le\alpha\le\pi}$ .

$\mathsf{A_{\mathsf{P}}=\lVert\vec a\times\vec b\rVert}$

So geht es am Beispiel

Bestimme die Fläche für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{n_1=(0)\cdot(0)-(0)\cdot(3)}$ — Komponente 1 einsetzen.

$\mathsf{n_1=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.

$\mathsf{n_2=(0)\cdot(0)-(2)\cdot(0)}$ — Komponente 2 einsetzen.

$\mathsf{n_2=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.

$\mathsf{n_3=(2)\cdot(3)-(0)\cdot(0)}$ — Komponente 3 einsetzen.

$\mathsf{n_3=6}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.

$\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.

$\mathsf{\lVert\vec n\rVert=\sqrt{0^2+0^2+6^2}}$ — Betrag bilden.

$\mathsf{A_{\mathsf{P}}=6}$ — Wurzel ziehen.

Erklärung 05

Abgrenzung und typische Fehler

Das Skalarprodukt liefert eine Zahl und gehört zu Thema 2253. Die halbe Parallelogrammfläche ergibt eine Dreiecksfläche; das wird in Thema 5664 an drei Punkten behandelt.

Für das Volumen eines Spats brauchst du einen dritten Vektor und das Spatprodukt aus Thema 2255. Der Kreuzproduktbetrag allein ist eine Fläche, kein Volumen.

Eine negative Komponente ist kein Fehler. Erst der Betrag verliert das Vorzeichen. Ein Kreuzprodukt mit sich selbst ergibt immer den Nullvektor.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kreuzprodukt · GrundlagenBerechne $\mathsf{\vec a\times\vec b}$ für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=(1)\cdot(2)-(0)\cdot(1)}$ — Komponente 1 einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=2}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=(0)\cdot(0)-(2)\cdot(2)}$ — Komponente 2 einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=-4}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=(2)\cdot(1)-(1)\cdot(0)}$ — Komponente 3 einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=2}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}}$
02
Aufgabe 2Kreuzprodukt · GrundlagenBerechne $\mathsf{\vec a\times\vec b}$ für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=(-1)\cdot(1)-(2)\cdot(0)}$ — Komponente 1 einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=-1}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=(2)\cdot(2)-(1)\cdot(1)}$ — Komponente 2 einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=3}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=(1)\cdot(0)-(-1)\cdot(2)}$ — Komponente 3 einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=2}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}}$
03
Aufgabe 3Kreuzprodukt · GrundlagenBerechne $\mathsf{\vec a\times\vec b}$ für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=(3)\cdot(2)-(0)\cdot(0)}$ — Komponente 1 einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=6}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=(0)\cdot(0)-(0)\cdot(2)}$ — Komponente 2 einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=(0)\cdot(0)-(3)\cdot(0)}$ — Komponente 3 einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}}$
04
Aufgabe 4Kreuzprodukt · AnwendenGegeben ist $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}2\\-4\\3\end{pmatrix}}$ . Bestimme $\mathsf{\vec b\times\vec a}$ ohne neue Komponentenrechnung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b\times\vec a=-(\vec a\times\vec b)}$ — Reihenfolge vertauschen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b\times\vec a=\begin{pmatrix}-2\\4\\-3\end{pmatrix}}$ — alle Vorzeichen umkehren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\begin{pmatrix}-2\\4\\-3\end{pmatrix}}$
05
Aufgabe 5Kreuzprodukt · AnwendenBerechne einen Normalenvektor zu $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}$ . Prüfe beide Skalarprodukte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=(2)\cdot(3)-(0)\cdot(0)}$ — Komponente 1 einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=6}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=(0)\cdot(0)-(1)\cdot(3)}$ — Komponente 2 einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=-3}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=(1)\cdot(0)-(2)\cdot(0)}$ — Komponente 3 einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}6\\-3\\0\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n\cdot\vec a=6-6=0}$ — erste Senkrechtstellung.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n\cdot\vec b=0}$ — zweite Senkrechtstellung.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}6\\-3\\0\end{pmatrix}}$ ; beide Skalarprodukte sind null.
06
Aufgabe 6Kreuzprodukt · AnwendenBestimme die Parallelogrammfläche für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}}$ . Die Komponenten sind in cm gegeben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=(0)\cdot(0)-(0)\cdot(4)}$ — Komponente 1 einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=(0)\cdot(0)-(3)\cdot(0)}$ — Komponente 2 einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=(3)\cdot(4)-(0)\cdot(0)}$ — Komponente 3 einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=12}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=\sqrt{12^2}}$ — Betrag bilden.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=12\,\textsf{cm}^2}$ — Flächeneinheit angeben.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{12\,\textsf{cm}^2}$
07
Aufgabe 7Kreuzprodukt · AnwendenBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}$ . Erkläre das Ergebnis geometrisch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=(2)\cdot(6)-(3)\cdot(4)}$ — Komponente 1 einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=(3)\cdot(2)-(1)\cdot(6)}$ — Komponente 2 einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=(1)\cdot(4)-(2)\cdot(2)}$ — Komponente 3 einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b=2\vec a}$ — parallele Vektoren erkennen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNullvektor; das Parallelogramm ist zu einer Strecke zusammengefallen.
08
Aufgabe 8Kreuzprodukt · VertiefenEs gilt $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}}$ . Bestimme $\mathsf{(3\vec a)\times(-2\vec b)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(3\vec a)\times(-2\vec b)=-6(\vec a\times\vec b)}$ — Faktoren zusammenfassen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-6\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\12\\0\end{pmatrix}}$ — Komponenten multiplizieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\begin{pmatrix}-6\\12\\0\end{pmatrix}}$
09
Aufgabe 9Kreuzprodukt · VertiefenNutze die vorbereitete Zeichnung. Ergänze $\mathsf{\vec a\times\vec b}$ ab O und beschrifte seine Richtung. Bestimme zusätzlich die Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}}$ — Achsenvektoren kreuzen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Normalenpfeil zeigt in positive z-Richtung.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{A=6}$ — Betrag ablesen.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungRichtung +z; Fläche 6 FE.
10
Aufgabe 10Kreuzprodukt · VertiefenBeurteile: Wenn $\mathsf{\vec a\times\vec b=\vec0}$ , müssen beide Vektoren null sein. Gib ein Gegenbeispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad\vec b=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$ — beide ungleich null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\vec a\times\vec b=\vec0}$ — parallele Vektoren.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungFalsch: Auch parallele Vektoren ungleich null haben Kreuzprodukt null.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich halte die Reihenfolge der Vektoren fest.
Ich unterscheide Vektor, Betrag, Fläche und Volumen.
Ich begründe Grenzfälle und gebe passende Einheiten an.

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