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Krümmung und Wendepunkte · Erklären & üben

Krümmungsverhalten

Die Krümmung beschreibt, wie sich die Steigung beim Gehen von links nach rechts verändert. Die zweite Ableitung macht diese Veränderung berechenbar.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Steigung und Krümmung unterscheiden

Ist f′′(x)>0\mathsf{f^{\prime\prime}(x)>0} auf einem Intervall, nimmt die Steigung zu: Der Graph ist linksgekrümmt (konvex). Bei f′′(x)<0\mathsf{f^{\prime\prime}(x)<0} nimmt die Steigung ab: Er ist rechtsgekrümmt (konkav).

Ein fallender Graph kann linksgekrümmt sein. Das Vorzeichen von f′\mathsf{f^{\prime}} beschreibt die Monotonie; das Vorzeichen von f′′\mathsf{f^{\prime\prime}} beschreibt die Krümmung.

Parabel x² mit markierten Punkten; auch ihr fallender Ast ist linksgekrümmt.

So geht es am Beispiel

Untersuche f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} auch links der y-Achse.

f′(x)=2x\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}
f′′(x)=2>0\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=2>0}

Für x<0\mathsf{x<0} ist die Steigung negativ, nimmt aber zu.

Ergebnis

Der Graph ist auf ganz R\mathsf{\mathbb R} linksgekrümmt.

Erklärung 02

Zweite Ableitung und Vorzeichenintervalle

Bestimme zuerst den Definitionsbereich. Berechne dann die zweite Ableitung. Ihre Nullstellen und ausgeschlossene Stellen zerlegen den Bereich in Intervalle.

Prüfe das Vorzeichen in jedem Intervall. Eine Teststelle genügt, wenn die zweite Ableitung dort stetig ist und keine weitere Nullstelle besitzt.

Vorzeichenwechsel bei 1 von negativ zu positiv.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Krümmung von f(x)=x3−3x2+2\mathsf{f(x)=x^3-3x^2+2}.

f′(x)=3x2−6x\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-6x}
f′′(x)=6x−6\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x-6}
6x−6=0\mathsf{6x-6=0}
x=1\mathsf{x=1}
f′′(0)=−6<0\mathsf{f^{\prime\prime}(0)=-6<0}
f′′(2)=6>0\mathsf{f^{\prime\prime}(2)=6>0}

Ergebnis

Rechtsgekrümmt auf (−∞,1)\mathsf{(-\infty,1)}, linksgekrümmt auf (1,∞)\mathsf{(1,\infty)}.

Erklärung 03

Nullstellen und Lücken richtig deuten

Aus f′′(a)=0\mathsf{f^{\prime\prime}(a)=0} allein folgt kein Krümmungswechsel. Bei f(x)=x4\mathsf{f(x)=x^4} ist f′′(x)=12x2\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x^2} auf beiden Seiten von 0 positiv.

Bei f(x)=1/x\mathsf{f(x)=1/x} gilt f′′(x)=2/x3\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=2/x^3}. Links von 0 ist der Graph rechtsgekrümmt, rechts davon linksgekrümmt. Bei 0 liegt trotzdem kein Wendepunkt: Dort existiert kein Punkt des Graphen.

Erklärung 04

Den Übergang beschreiben

Ein Wendepunkt liegt an einem Punkt des Graphen, an dem sich die Krümmungsrichtung ändert. In unseren glatten Beispielen zeigt das ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

Eine Gerade hat überall die zweite Ableitung 0. Sie ist weder streng links- noch streng rechtsgekrümmt und besitzt keinen Krümmungswechsel.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Krümmungsverhalten · EinstiegUntersuche f(x)=3x2−4x+1\mathsf{f(x)=3x^2-4x+1} auf Krümmung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=6x−4\mathsf{f^{\prime}(x)=6x-4}
      f′′(x)=6>0\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6>0}

    Ergebnis

    1. Rechnung und BegründungLinksgekrümmt auf R\mathsf{\mathbb R}.
  2. Aufgabe 2Krümmungsverhalten · EinstiegUntersuche g(x)=−2x2+5\mathsf{g(x)=-2x^2+5} auf Krümmung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      g′(x)=−4x\mathsf{g^{\prime}(x)=-4x}
      g′′(x)=−4<0\mathsf{g^{\prime\prime}(x)=-4<0}

    Ergebnis

    1. Rechnung und BegründungRechtsgekrümmt auf R\mathsf{\mathbb R}.
  3. Aufgabe 3Krümmungsverhalten · StandardBestimme die Krümmungsintervalle von f(x)=x3−6x2\mathsf{f(x)=x^3-6x^2}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=3x2−12x\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-12x}
      f′′(x)=6x−12\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x-12}
      6x−12=0⇒x=2\mathsf{6x-12=0\Rightarrow x=2}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Links von 2 negativ, rechts von 2 positiv.

    Ergebnis

    1. Rechnung und BegründungRechts auf (−∞,2)\mathsf{(-\infty,2)}; links auf (2,∞)\mathsf{(2,\infty)}.
  4. Aufgabe 4Krümmungsverhalten · StandardBestimme die Krümmung von f(x)=−x3+3x\mathsf{f(x)=-x^3+3x}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=−3x2+3\mathsf{f^{\prime}(x)=-3x^2+3}
      f′′(x)=−6x\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=-6x}

    Ergebnis

    1. Rechnung und BegründungLinks auf (−∞,0)\mathsf{(-\infty,0)}; rechts auf (0,∞)\mathsf{(0,\infty)}.
  5. Aufgabe 5Krümmungsverhalten · StandardUntersuche f(x)=x4−6x2\mathsf{f(x)=x^4-6x^2}. Gib alle Krümmungsintervalle an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=4x3−12x\mathsf{f^{\prime}(x)=4x^3-12x}
      f′′(x)=12x2−12\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x^2-12}
      12(x−1)(x+1)=0\mathsf{12(x-1)(x+1)=0}
      x=−1oderx=1\mathsf{x=-1\quad\textsf{oder}\quad x=1}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Vorzeichen von links nach rechts: positiv, negativ, positiv.

    Ergebnis

    1. Rechnung und BegründungLinks auf (−∞,−1)\mathsf{(-\infty,-1)} und (1,∞)\mathsf{(1,\infty)}; rechts auf (−1,1)\mathsf{(-1,1)}.
  6. Aufgabe 6Krümmungsverhalten · StandardUntersuche f(x)=ln⁡x\mathsf{f(x)=\operatorname{\textsf{ln}}x} auf ihrem Definitionsbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      D=(0,∞)\mathsf{D=(0,\infty)}
      f′(x)=1/x\mathsf{f^{\prime}(x)=1/x}
      f′′(x)=−1/x2<0\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=-1/x^2<0}

    Ergebnis

    1. Rechnung und BegründungRechtsgekrümmt auf (0,∞)\mathsf{(0,\infty)}.
  7. Aufgabe 7Krümmungsverhalten · StandardEin Graph hat f′(−2)=−5\mathsf{f^{\prime}(-2)=-5} und f′′(−2)=3\mathsf{f^{\prime\prime}(-2)=3}. Beschreibe beide Angaben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die erste Ableitung ist negativ.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die zweite Ableitung ist positiv.

    Ergebnis

    1. Rechnung und BegründungBei x = −2 fällt der Graph; seine Steigung nimmt dort zu (lokal linksgekrümmt bei stetiger zweiter Ableitung).
  8. Aufgabe 8Krümmungsverhalten · VertiefungWiderlege: Jede Nullstelle von f′′\mathsf{f^{\prime\prime}} ist ein Wendepunkt. Nutze f(x)=x4\mathsf{f(x)=x^4}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′′(x)=12x2\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x^2}
      f′′(0)=0\mathsf{f^{\prime\prime}(0)=0}
      f′′(x)>0(x≠0)\mathsf{f^{\prime\prime}(x)>0\quad(x\ne0)}

    Ergebnis

    1. Rechnung und BegründungKein Vorzeichenwechsel bei 0, also kein Wendepunkt.
  9. Aufgabe 9Krümmungsverhalten · VertiefungUntersuche f(x)=1/x\mathsf{f(x)=1/x}. Begründe, warum der Wechsel zwischen den Teilbereichen keinen Wendepunkt liefert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      D=R∖{0}\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{0\}}
      f′(x)=−1/x2\mathsf{f^{\prime}(x)=-1/x^2}
      f′′(x)=2/x3\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=2/x^3}

    Ergebnis

    1. Rechnung und BegründungRechts auf (−∞,0)\mathsf{(-\infty,0)}, links auf (0,∞)\mathsf{(0,\infty)}; bei 0 ist die Funktion nicht definiert.
  10. Aufgabe 10Krümmungsverhalten · VertiefungFür f(x)=e−x\mathsf{f(x)=e^{-x}}: Kann ein fallender Graph linksgekrümmt sein?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=−e−x<0\mathsf{f^{\prime}(x)=-e^{-x}<0}
      f′′(x)=e−x>0\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=e^{-x}>0}

    Ergebnis

    1. Rechnung und BegründungJa. Der Graph fällt und ist auf ganz R\mathsf{\mathbb R} linksgekrümmt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich bestimme die zweite Ableitung und ihre Vorzeichenintervalle.
  • Ich bestätige Wendestellen durch einen Krümmungswechsel.
  • Ich beachte Definitionslücken und gebe beide Punktkoordinaten an.

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