Krümmung und Wendepunkte · Erklären & üben

Wendepunkte berechnen

Ein Wendepunkt verbindet zwei Bereiche mit unterschiedlicher Krümmung. Berechne zunächst mögliche Stellen, belege den Wechsel und ergänze den zugehörigen Funktionswert.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Von der Kandidatenstelle zum Punkt

Für die hier betrachteten zweimal stetig differenzierbaren Funktionen liefert $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=0}$ mögliche Wendestellen. Diese Gleichung ist noch kein Nachweis.

Prüfe das Vorzeichen von $\mathsf{f^{\prime\prime}}$ unmittelbar links und rechts der Kandidatenstelle. Nur bei einem Wechsel und einem vorhandenen Graphenpunkt liegt ein Wendepunkt vor.

Setze die bestätigte Stelle in die ursprüngliche Funktion ein: $\mathsf{y_W=f(x_W)}$ . Notiere beide Koordinaten als $\mathsf{W(x_W\mid f(x_W))}$ .

Kubischer Graph mit W(1|2), Wechsel von Rechts- zu Linkskrümmung.

So geht es am Beispiel

Berechne den Wendepunkt von $\mathsf{f(x)=x^3-3x^2+4}$ .

\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-6x}

\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x-6}

\mathsf{6x-6=0}

\mathsf{x_W=1}

Für $\mathsf{x<1}$ gilt $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)<0}$ .

Für $\mathsf{x>1}$ gilt $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)>0}$ .

\mathsf{f(1)=1-3+4=2}

Erklärung 02

Das Kriterium mit der dritten Ableitung

Ist f in einer Umgebung dreimal stetig differenzierbar, sind $\mathsf{f^{\prime\prime}(a)=0}$ und $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(a)\ne0}$ zusammen hinreichend für einen Wendepunkt.

Das Kriterium ist nicht notwendig. Falls auch $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(a)=0}$ gilt, ist die Frage noch offen: Untersuche den Vorzeichenwechsel.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{f(x)=x^5}$ bei 0.

\mathsf{f^{\prime}(x)=5x^4}

\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=20x^3}

\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(x)=60x^2}

\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(0)=0}

Links von 0 ist $\mathsf{20x^3<0}$ , rechts davon $\mathsf{20x^3>0}$ .

\mathsf{f(0)=0}

Erklärung 03

Kein Wechsel, kein Wendepunkt

Bei $\mathsf{f(x)=x^4}$ ist die zweite Ableitung $\mathsf{12x^2}$ beidseits von 0 positiv. Die Nullstelle liefert keinen Wendepunkt.

Auch ein Vorzeichenunterschied über eine Definitionslücke hinweg reicht nicht: Bei $\mathsf{1/x}$ existiert bei 0 kein Funktionswert.

Erklärung 04

Gebrochen rationale Funktionen

Behalte den Definitionsbereich bei jeder Umformung bei. Zerlege anschließend nach Nullstellen und Polstellen der zweiten Ableitung.

Vorzeichenintervalle und drei bestätigte Wendestellen der Funktion x/(x²+1).

So geht es am Beispiel

Berechne die Wendepunkte von $\mathsf{f(x)=\frac{x}{x^2+1}}$ .

\mathsf{D=\mathbb R}

\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}}

\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}}

\mathsf{2x(x^2-3)=0}

\mathsf{x=-\sqrt3,\quad x=0,\quad x=\sqrt3}

Der Nenner ist positiv. Die Zählervorzeichen sind von links nach rechts: negativ, positiv, negativ, positiv.

\mathsf{f(-\sqrt3)=-\frac{\sqrt3}{4}}

\mathsf{f(0)=0}

\mathsf{f(\sqrt3)=\frac{\sqrt3}{4}}

Erklärung 05

Ergebnis und Abgrenzung

Die Wendestelle ist nur der x-Wert; der Wendepunkt hat zwei Koordinaten. Eine waagerechte Tangente ist für einen Wendepunkt nicht erforderlich.

Wendetangenten und Sattelpunkte werden in den anschließenden Einzelthemen vertieft.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wendepunkte berechnen · EinstiegBestimme den Wendepunkt von $\mathsf{f(x)=x^3+2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x}$
  $\mathsf{x_W=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.
  $\mathsf{f(0)=2}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{W(0\mid2)}$ .
02
Aufgabe 2Wendepunkte berechnen · EinstiegBestimme den Wendepunkt von $\mathsf{f(x)=-2x^3+6x^2+1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-6x^2+12x}$
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=-12x+12}$
  $\mathsf{x_W=1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.
  $\mathsf{f(1)=-2+6+1=5}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{W(1\mid5)}$ .
03
Aufgabe 3Wendepunkte berechnen · StandardBestimme alle Wendepunkte von $\mathsf{f(x)=x^4-6x^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x^2-12}$
  $\mathsf{x=-1\quad\textsf{oder}\quad x=1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Vorzeichenfolge: positiv, negativ, positiv.
  $\mathsf{f(-1)=1-6=-5}$
  $\mathsf{f(1)=1-6=-5}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{W_1(-1\mid-5)}$ und $\mathsf{W_2(1\mid-5)}$ .
04
Aufgabe 4Wendepunkte berechnen · StandardPrüfe die Kandidatenstelle von $\mathsf{f(x)=x^4+3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=12x^2}$
  $\mathsf{x=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beidseits von 0 ist die zweite Ableitung positiv.
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungKein Wendepunkt.
05
Aufgabe 5Wendepunkte berechnen · StandardUntersuche $\mathsf{f(x)=(x-2)^5+1}$ . Begründe ohne das Kriterium einer von 0 verschiedenen dritten Ableitung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=20(x-2)^3}$
  $\mathsf{x_W=2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Links negativ, rechts positiv.
  $\mathsf{f(2)=1}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{W(2\mid1)}$ ; die dritte Ableitung ist dort 0.
06
Aufgabe 6Wendepunkte berechnen · StandardPrüfe $\mathsf{f(x)=1/(x-1)}$ auf Wendepunkte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{1\}}$
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=2/(x-1)^3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die zweite Ableitung hat keine Nullstelle.
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungKeine Wendepunkte. Die Stelle 1 gehört nicht zum Definitionsbereich.
07
Aufgabe 7Wendepunkte berechnen · StandardBerechne den Wendepunkt von $\mathsf{f(x)=x^3-6x^2+9x+5}$ mit dem Kriterium der dritten Ableitung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x-12}$
  $\mathsf{x_W=2}$
  $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(2)=6\ne0}$
  $\mathsf{f(2)=8-24+18+5=7}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{W(2\mid7)}$ .
08
Aufgabe 8Wendepunkte berechnen · VertiefungFür eine dreimal stetig differenzierbare Funktion gilt $\mathsf{f^{\prime\prime}(3)=0}$ , $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(3)=-4}$ und $\mathsf{f(3)=8}$ . Was folgt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Das hinreichende Kriterium ist erfüllt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der y-Wert stammt aus der ursprünglichen Funktion.
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{W(3\mid8)}$ ist ein Wendepunkt.
09
Aufgabe 9Wendepunkte berechnen · VertiefungJemand behauptet: Aus $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(0)=0}$ folgt, dass bei 0 kein Wendepunkt liegt. Widerlege dies.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Wähle $\mathsf{f(x)=x^5}$ .
  $\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(0)=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=20x^3}$ wechselt bei 0 das Vorzeichen.
Ergebnis
1. Rechnung und BegründungDie Behauptung ist falsch; $\mathsf{x^5}$ hat $\mathsf{W(0\mid0)}$ .
10
Aufgabe 10Wendepunkte berechnen · VertiefungBestimme alle Wendepunkte von $\mathsf{g(x)=\frac{2x}{x^2+1}}$ . Nutze die Ableitung des ausgearbeiteten Beispiels.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime}(x)=\frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Nullstellen und Vorzeichenwechsel bleiben gleich.
  $\mathsf{g(-\sqrt3)=-\sqrt3/2}$
  $\mathsf{g(0)=0}$
  $\mathsf{g(\sqrt3)=\sqrt3/2}$
Ergebnis
1. Rechnung und Begründung $\mathsf{W_1(-\sqrt3\mid-\sqrt3/2)}$ , $\mathsf{W_2(0\mid0)}$ , $\mathsf{W_3(\sqrt3\mid\sqrt3/2)}$ .

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich bestimme die zweite Ableitung und ihre Vorzeichenintervalle.
Ich bestätige Wendestellen durch einen Krümmungswechsel.
Ich beachte Definitionslücken und gebe beide Punktkoordinaten an.

AT Academy · Version 2026-10-21