Wurzeln · Erklären & üben

Kubikwurzel

Die Kubikwurzel sucht die Zahl, deren dritte Potenz den Radikanden ergibt. Anders als bei geraden Wurzeln sind auch negative reelle Radikanden erlaubt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die dritte Potenz umkehren

Die Kubikwurzel $\mathsf{\sqrt[3]a}$ ist die eindeutig bestimmte reelle Zahl b mit $\mathsf{b^3=a}$ . Jede reelle Zahl a besitzt genau eine reelle Kubikwurzel. Das Zeichen 3 am Wurzelsymbol nennt die Wurzelordnung. Es ist kein Faktor vor der Wurzel.

Suche eine passende dritte Potenz.
Prüfe durch dreimaliges Multiplizieren derselben Zahl.
Gib den eindeutigen reellen Wert an.

$\mathsf{\sqrt[3]{b^3}=b}$ für jedes reelle b.

Dritte Potenz von drei ergibt siebenundzwanzig. Die Kubikwurzel aus siebenundzwanzig führt zurück zu drei.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt[3]{27}}$ .

Gesucht ist eine Zahl, deren dritte Potenz 27 ergibt.

Prüfe $\mathsf{3\cdot3=9}$ .

Multipliziere $\mathsf{9\cdot3=27}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt[3]0}$ und $\mathsf{\sqrt[3]1}$ .

Drei Faktoren null ergeben $\mathsf{0^3=0}$ .

Drei Faktoren eins ergeben $\mathsf{1^3=1}$ .

Erklärung 02

Negative Zahlen und der Unterschied zur Quadratwurzel

Eine ungerade Anzahl negativer Faktoren ergibt einen negativen Wert. Deshalb ist die Kubikwurzel einer negativen Zahl negativ. Bei einer Quadratwurzel ist ein negativer Radikand dagegen im Reellen nicht erlaubt. Bei der Kubikwurzel aus einer dritten Potenz wird kein Betrag benötigt.

Beachte die ungerade Wurzelordnung.
Führe das negative Vorzeichen mit.
Verwende keinen Betrag bei der Kubikwurzel aus einer dritten Potenz.

$\mathsf{\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]a}$ für $\mathsf{a\ge0}$ .

Die reelle Kubikwurzel aus minus vierundsechzig ist minus vier. Die Probe multipliziert drei negative Faktoren und ergibt minus vierundsechzig.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt[3]{-64}}$ .

Die passende negative Zahl ist minus vier.

Die ersten beiden Faktoren ergeben $\mathsf{(-4)\cdot(-4)=16}$ .

Der dritte Faktor ergibt $\mathsf{16\cdot(-4)=-64}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt[3]{x^3}}$ für reelles x und setze $\mathsf{x=-5}$ ein.

Die dritte Wurzel kehrt die dritte Potenz für alle reellen x um.

Der allgemeine Wert ist x.

Bei minus fünf ist der Wert −5.

Erklärung 03

Mit Wurzelgesetzen rechnen

Kubikwurzeln können für alle reellen Radikanden multipliziert werden, indem die Radikanden multipliziert werden. Beim Quotienten muss der Nennerradikand ungleich null sein. Kubikfaktoren lassen sich teilweise aus der Wurzel ziehen, auch negative. Bei positiven Radikanden ist zusätzlich die Darstellung als Potenz mit Exponent ein Drittel möglich.

Zerlege in einen Kubikfaktor und den Rest.
Nutze Produkte oder Quotienten gleicher Wurzelordnung.
Prüfe einen Nenner auf null.

$\mathsf{\sqrt[3]a\sqrt[3]b=\sqrt[3]{ab}}$ und $\mathsf{\frac{\sqrt[3]a}{\sqrt[3]b}=\sqrt[3]{\frac ab}}$ für $\mathsf{b\ne0}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt[3]{54}}$ .

Zerlege den Radikanden: $\mathsf{54=27\cdot2}$ .

Verwende $\mathsf{\sqrt[3]{27\cdot2}=\sqrt[3]{27}\sqrt[3]2}$ .

Der herausgezogene Kubikfaktor liefert 3.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{\sqrt[3]{-128}}{\sqrt[3]2}}$ .

Der Nennerradikand 2 ist ungleich null.

Verbinde zu $\mathsf{\sqrt[3]{-128:2}}$ .

Der Radikand ist $\mathsf{-128:2=-64}$ .

Dessen Kubikwurzel ist −4.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt[3]{0{,}008}}$ .

Prüfe die Zahl 0,2.

Das Quadrat ist $\mathsf{0{,}2\cdot0{,}2=0{,}04}$ .

Das dritte Produkt ist $\mathsf{0{,}04\cdot0{,}2=0{,}008}$ .

Erklärung 04

Würfelvolumen und positive Kantenlänge

Für einen geometrischen Würfel mit positiver Kantenlänge s gilt $\mathsf{V=s^3}$ . Aus einem positiven Volumen erhältst du $\mathsf{s=\sqrt[3]V}$ . Die Einheit wechselt dabei von Kubikeinheiten zu Längeneinheiten. Eine negative algebraische Kubikwurzel ist erlaubt, beschreibt aber keine negative physische Kantenlänge eines Würfels.

Prüfe, dass das geometrische Volumen positiv ist.
Ziehe die Kubikwurzel.
Gib eine positive Kantenlänge mit Längeneinheit an.

Für einen echten Würfel gelten $\mathsf{V>0}$ und $\mathsf{s>0}$ .

Isometrischer Würfel mit drei beschrifteten gleich langen Kanten von vier Zentimetern. Das Volumen beträgt vierundsechzig Kubikzentimeter. Die Kante ist positiv.

So geht es am Beispiel

Ein Würfel hat das Volumen $\mathsf{64\,\mathsf{cm}^3}$ . Bestimme seine Kantenlänge.

Gesucht ist die positive Zahl mit der dritten Potenz 64.

Da $\mathsf{4^3=64}$ gilt, ist der Zahlenwert 4.

Die Kubikwurzel aus Kubikzentimetern führt zu Zentimetern.

So geht es am Beispiel

Warum beschreibt $\mathsf{\sqrt[3]{-8}=-2}$ keinen Würfel mit negativer Kantenlänge?

Die algebraische Aussage ist richtig, weil $\mathsf{(-2)^3=-8}$ .

Ein geometrischer Würfel hat positive Kantenlänge und positives Volumen.

Erklärung 05

Nicht jede Kubikwurzel ist eine ganze Zahl

Eine Kubikwurzel kann exakt als Wurzel stehen bleiben. Mit benachbarten Kubikzahlen kannst du ihren Wert einschließen. Die dritte Potenz wächst auf den reellen Zahlen streng mit ihrem Argument. Ein Dezimalwert nach Rundung wird als Näherung und nicht als exakte Gleichheit angegeben.

Suche die nächstkleinere und nächstgrößere Kubikzahl.
Übertrage ihre Basen als Grenzen.
Unterscheide exakten Wurzelausdruck und Näherung.

Für $\mathsf{u^3<a<v^3}$ folgt $\mathsf{u<\sqrt[3]a<v}$ .

Acht liegt unter zwanzig und siebenundzwanzig darüber. Die Kubikwurzel aus zwanzig liegt daher streng zwischen zwei und drei.

So geht es am Beispiel

Zwischen welchen benachbarten ganzen Zahlen liegt $\mathsf{\sqrt[3]{20}}$ ?

Die kleinere Kubikzahl ist $\mathsf{2^3=8}$ .

Die größere Kubikzahl ist $\mathsf{3^3=27}$ .

Der Radikand erfüllt $\mathsf{8<20<27}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kubikwurzel · 1Berechne $\mathsf{\sqrt[3]{125}}$ und notiere die Potenzprobe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kubikwurzel
Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die passende Zahl ist 5.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Probe ergibt $\mathsf{5^3=125}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kubikwurzel5
2. Probe $\mathsf{5^3=125}$
02
Aufgabe 2Kubikwurzel · 1Berechne $\mathsf{\sqrt[3]{-216}}$ und notiere die Probe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kubikwurzel
Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die passende Zahl ist minus sechs.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Probe ergibt $\mathsf{(-6)^3=-216}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kubikwurzel−6
2. Probe $\mathsf{(-6)^3=-216}$
03
Aufgabe 3Kubikwurzel · 1Berechne $\mathsf{\sqrt[3]0}$ und $\mathsf{\sqrt[3]{-1}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kubikwurzel aus null
Kubikwurzel aus minus eins
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Null erfüllt $\mathsf{0^3=0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Minus eins erfüllt $\mathsf{(-1)^3=-1}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kubikwurzel aus null0
2. Kubikwurzel aus minus eins−1
04
Aufgabe 4Kubikwurzel · 2Vereinfache $\mathsf{\sqrt[3]{81}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege $\mathsf{81=27\cdot3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ziehe den Kubikfaktor: $\mathsf{\sqrt[3]{27}=3}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{3\sqrt[3]3}$
05
Aufgabe 5Kubikwurzel · 2Berechne $\mathsf{\sqrt[3]{-4}\cdot\sqrt[3]{16}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verbinde zum Produkt $\mathsf{\sqrt[3]{(-4)\cdot16}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Radikand ist $\mathsf{(-4)\cdot16=-64}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Kubikwurzel ist −4.
Ergebnis
1. Produkt−4
06
Aufgabe 6Kubikwurzel · 2Berechne $\mathsf{\frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verbinde zu $\mathsf{\sqrt[3]{250:2}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Radikand ist $\mathsf{250:2=125}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Kubikwurzel ist 5.
Ergebnis
1. Quotient5
07
Aufgabe 7Kubikwurzel · 2Ein Würfel hat $\mathsf{216\,\mathsf{cm}^3}$ Volumen. Berechne seine Kantenlänge mit Einheit. Darf die Kantenlänge hier negativ sein? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kantenlänge
Negative Kantenlänge erlaubt?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der positive Zahlenwert erfüllt $\mathsf{6^3=216}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die passende Längeneinheit ist Zentimeter.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Eine physische Kantenlänge ist positiv.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kantenlänge6 cm
2. Negative Kantenlänge erlaubt?Nein
3. BegründungDie Kante ist eine geometrische Länge und deshalb in diesem Modell positiv.
08
Aufgabe 8Kubikwurzel · 3Vereinfache $\mathsf{\sqrt[3]{t^3}}$ für reelles t. Gib den Wert für $\mathsf{t=-7}$ an und entscheide, ob der allgemeine Ausdruck $\mathsf{|t|}$ wäre.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Allgemeiner Term
Wert bei t gleich minus sieben
Allgemein gleich dem Betrag?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Kubikwurzel kehrt die dritte Potenz auf allen reellen Zahlen um.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Ergebnis ist t.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei minus sieben ist es −7.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Ein Betrag würde dort fälschlich +7 ergeben.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Allgemeiner Term $\mathsf{t}$
2. Wert bei t gleich minus sieben−7
3. Allgemein gleich dem Betrag?Nein
09
Aufgabe 9Kubikwurzel · 2Zwischen welchen benachbarten ganzen Zahlen liegt $\mathsf{\sqrt[3]{50}}$ ? Gib beide Grenzen und die zugehörigen Kubikzahlen getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Untere ganze Grenze
Obere ganze Grenze
Untere Kubikzahl
Obere Kubikzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die kleinere Kubikzahl ist $\mathsf{3^3=27}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die größere Kubikzahl ist $\mathsf{4^3=64}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{27<50<64}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Untere ganze Grenze3
2. Obere ganze Grenze4
3. Untere Kubikzahl27
4. Obere Kubikzahl64

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne die Kubikwurzel als Umkehrung der dritten Potenz.
Ich kann negative reelle Kubikwurzeln berechnen.
Ich beachte einen von null verschiedenen Nenner.
Ich trenne algebraische Werte von positiven geometrischen Kanten.
Ich kann Wurzelwerte durch benachbarte Kubikzahlen einschließen.

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