Wurzeln · Erklären & üben

Wurzelgesetze

Wurzelgesetze gelten nur in ihrem Definitionsbereich. Du unterscheidest Summen, Produkte, Quotienten und das Zusammenspiel von Wurzeln und Potenzen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche Wurzel ist gemeint?

Für gerades n ist die reelle n-te Wurzel nur bei nichtnegativem Radikanden definiert und selbst nichtnegativ. Für ungerades n ist die reelle n-te Wurzel jeder reellen Zahl eindeutig definiert, auch einer negativen. Wir betrachten ganze Wurzelordnungen $\mathsf{n\ge2}$ . Das Quadratwurzelsymbol bezeichnet einen Wert und nicht zwei Vorzeichen.

Lies die Wurzelordnung.
Prüfe das Vorzeichen des Radikanden.
Unterscheide Wurzelwert und Lösungen einer Potenzgleichung.

$\mathsf{\sqrt9=3}$ , während die Gleichung $\mathsf{x^2=9}$ die zwei Lösungen $\mathsf{x=3}$ und $\mathsf{x=-3}$ besitzt.

Die Quadratwurzel aus fünfundzwanzig ist fünf. Die Gleichung x Quadrat gleich fünfundzwanzig hat die beiden Lösungen fünf und minus fünf.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt{25}}$ und löse davon getrennt $\mathsf{x^2=25}$ .

Die nichtnegative Quadratwurzel ist $\mathsf{\sqrt{25}=5}$ .

Für die Gleichung passt $\mathsf{5^2=25}$ .

Auch $\mathsf{(-5)^2=25}$ erfüllt die Gleichung.

Erklärung 02

Addieren und Subtrahieren

Fasse bei Summen und Differenzen nur gleiche vereinfachte Wurzelteile über ihre Koeffizienten zusammen. Unterschiedliche definierte Wurzeln können als exakte Summe stehen bleiben. Eine Wurzel verteilt sich nicht allgemein über Plus oder Minus.

Vereinfache die Radikanden mit Quadratfaktoren.
Verrechne die Koeffizienten gleicher Wurzelteile.

$\mathsf{c\sqrt a\pm d\sqrt a=(c\pm d)\sqrt a}$ für $\mathsf{a\ge0}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt{32}+\sqrt8-\sqrt2}$ .

Ziehe teilweise: $\mathsf{\sqrt{32}=4\sqrt2}$ .

Ziehe teilweise: $\mathsf{\sqrt8=2\sqrt2}$ .

Addiere die ersten Koeffizienten: $\mathsf{4+2=6}$ .

Subtrahiere den letzten Koeffizienten: $\mathsf{6-1=5}$ .

Erklärung 03

Produkte und Quotienten

Bei gleicher Wurzelordnung kannst du Radikanden multiplizieren oder dividieren. Für gerade Ordnung müssen die Faktorenradikanden nichtnegativ sein, beim Quotienten muss der Nennerradikand positiv sein. Bei ungerader Ordnung dürfen Radikanden negativ sein; ein Nennerradikand darf trotzdem nicht null sein.

Vergleiche die Wurzelordnungen.
Prüfe Radikanden und Nenner.
Verbinde die Radikanden mit derselben Operation.

$\mathsf{\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}}$ für $\mathsf{a,b\ge0}$ ; $\mathsf{\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}}$ für $\mathsf{a\ge0}$ , $\mathsf{b>0}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt{10}\cdot\sqrt{40}}$ .

Verbinde zu $\mathsf{\sqrt{10\cdot40}}$ .

Der Radikand ist $\mathsf{10\cdot40=400}$ .

Ziehe $\mathsf{\sqrt{400}=20}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{\sqrt[3]{-54}}{\sqrt[3]2}}$ .

Der Nenner ist ungleich null.

Verbinde zum Quotienten $\mathsf{\sqrt[3]{-54:2}}$ .

Der Radikand ist $\mathsf{-54:2=-27}$ .

Die Kubikwurzel ist $\mathsf{\sqrt[3]{-27}=-3}$ .

Erklärung 04

Potenzen und Beträge

Quadrieren hebt eine nichtnegative Quadratwurzel auf. In umgekehrter Reihenfolge liefert die Wurzel aus einem Quadrat jedoch den Betrag. Für gerade Wurzelordnung gilt allgemein $\mathsf{\sqrt[n]{x^n}=|x|}$ . Für ungerade Ordnung ist das Ergebnis x. Beim teilweisen Ziehen eines Variablenquadrats ist deshalb gegebenenfalls der Betrag nötig.

Unterscheide die Reihenfolge von Wurzel und Potenz.
Benutze bei gerader Wurzel aus einer geraden Potenz den Betrag.
Erhalte alle Definitionsbedingungen.

$\mathsf{(\sqrt a)^2=a}$ für $\mathsf{a\ge0}$ , aber $\mathsf{\sqrt{x^2}=|x|}$ für reelles x.

Wurzel neun x Quadrat ist drei Betrag x. Für x gleich minus zwei entsteht ein Quadrat mit Fläche sechsunddreißig und positiver Seitenlänge sechs.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt{9x^2}}$ .

Zerlege in $\mathsf{\sqrt9\cdot\sqrt{x^2}}$ .

Die erste Wurzel ist $\mathsf{\sqrt9=3}$ .

Die zweite Wurzel ist $\mathsf{|x|}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(\sqrt7)^4}$ .

Schreibe $\mathsf{((\sqrt7)^2)^2}$ .

Das innere Quadrat ergibt 7.

Das äußere Quadrat ist $\mathsf{7^2=49}$ .

Erklärung 05

Verschachtelte Wurzeln und Potenzdarstellung

Für nichtnegative a und ganze Wurzelordnungen m,n ab 2 gilt $\mathsf{\sqrt[m]{\sqrt[n]a}=\sqrt[mn]a}$ . Für positive a kannst du Wurzeln als Bruchpotenzen schreiben: $\mathsf{\sqrt[n]a=a^{1/n}}$ . Die allgemeine Verwendung rationaler Potenzregeln beschränken wir auf positive Basen. Negative ungerade Wurzeln werden hier direkt über ihre eindeutige reelle Bedeutung berechnet. Wurzeln und Potenzen vertieft die Verbindung.

Prüfe den Radikandenbereich jeder Wurzel.
Arbeite von innen nach außen oder bilde die gemeinsame Ordnung.
Verwende positive Basen für allgemeine Bruchpotenzregeln.

Bei verschachtelten Wurzeln werden unter den genannten Bedingungen die Wurzelordnungen multipliziert.

Von vierundsechzig führt die dritte Wurzel zu vier und die Quadratwurzel zu zwei. Die gemeinsame sechste Wurzel aus vierundsechzig ergibt ebenfalls zwei.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt{\sqrt[3]{64}}}$ .

Innen ist $\mathsf{\sqrt[3]{64}=4}$ .

Außen ist $\mathsf{\sqrt4=2}$ .

Die gemeinsame Wurzelordnung ist $\mathsf{2\cdot3=6}$ .

Die sechste Wurzel aus 64 ist ebenfalls 2.

So geht es am Beispiel

Schreibe $\mathsf{\sqrt[4]{a^3}}$ für $\mathsf{a>0}$ als Potenz.

Die vierte Wurzel entspricht dem Exponenten $\mathsf{\frac14}$ .

Es entsteht $\mathsf{(a^3)^{1/4}}$ .

Multipliziere die Exponenten: $\mathsf{3\cdot\frac14=\frac34}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wurzelgesetze · 1Berechne $\mathsf{\sqrt{36}}$ und gib getrennt die beiden reellen Lösungen von $\mathsf{x^2=36}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wurzelwert
Positive Gleichungslösung
Negative Gleichungslösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Quadratwurzel ist $\mathsf{\sqrt{36}=6}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die positive Lösung erfüllt $\mathsf{6^2=36}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die negative Lösung erfüllt $\mathsf{(-6)^2=36}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wurzelwert6
2. Positive Gleichungslösung $\mathsf{x=6}$
3. Negative Gleichungslösung $\mathsf{x=-6}$
02
Aufgabe 2Wurzelgesetze · 2Vereinfache $\mathsf{\sqrt{48}+\sqrt{12}-\sqrt3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ziehe $\mathsf{\sqrt{48}=4\sqrt3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ziehe $\mathsf{\sqrt{12}=2\sqrt3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Verrechne die Koeffizienten: $\mathsf{4+2-1=5}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{5\sqrt3}$
03
Aufgabe 3Wurzelgesetze · 1Berechne $\mathsf{\sqrt{15}\cdot\sqrt{60}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verbinde zu $\mathsf{\sqrt{15\cdot60}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Radikand ist $\mathsf{15\cdot60=900}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ziehe $\mathsf{\sqrt{900}=30}$ .
Ergebnis
1. Produkt30
04
Aufgabe 4Wurzelgesetze · 1Berechne $\mathsf{\frac{\sqrt{147}}{\sqrt3}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verbinde zu $\mathsf{\sqrt{147:3}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Radikand ist $\mathsf{147:3=49}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ziehe $\mathsf{\sqrt{49}=7}$ .
Ergebnis
1. Quotient7
05
Aufgabe 5Wurzelgesetze · 2Vereinfache $\mathsf{\sqrt{16t^2}}$ und berechne den Wert für $\mathsf{t=-3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Allgemeiner Term
Wert bei t gleich minus drei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege $\mathsf{\sqrt{16}\cdot\sqrt{t^2}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der erste Faktor ist 4.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der zweite Faktor ist $\mathsf{|t|}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Bei minus drei gilt $\mathsf{|-3|=3}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{4\cdot3=12}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Allgemeiner Term $\mathsf{4|t|}$
2. Wert bei t gleich minus drei12
06
Aufgabe 6Wurzelgesetze · 2Berechne $\mathsf{(\sqrt5)^6}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Schreibe $\mathsf{((\sqrt5)^2)^3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das innere Quadrat ergibt 5.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Berechne $\mathsf{5^3=125}$ .
Ergebnis
1. Wert125
07
Aufgabe 7Wurzelgesetze · 2Berechne $\mathsf{\sqrt{\sqrt[3]{729}}}$ und nenne die gemeinsame Wurzelordnung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Gemeinsame Wurzelordnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Innen ergibt $\mathsf{\sqrt[3]{729}=9}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Außen ergibt $\mathsf{\sqrt9=3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die gemeinsame Ordnung ist $\mathsf{2\cdot3=6}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert3
2. Gemeinsame Wurzelordnung6
08
Aufgabe 8Wurzelgesetze · 3Schreibe $\mathsf{\sqrt[5]{a^2}}$ für $\mathsf{a>0}$ als Potenz. Berechne den Wert für $\mathsf{a=32}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Potenzdarstellung
Wert bei a gleich 32
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Potenzdarstellung ist $\mathsf{a^{2/5}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die fünfte Wurzel aus 32 ist 2.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Quadriere $\mathsf{2^2=4}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Potenzdarstellung $\mathsf{a^{2/5}}$
2. Wert bei a gleich 324
09
Aufgabe 9Wurzelgesetze · 3Ist $\mathsf{\frac{\sqrt x}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{\frac{x}{x-1}}}$ für jedes reelle x erlaubt? Gib den zulässigen Bereich der linken Seite und eine Begründung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Für jedes reelle x erlaubt?
Zulässiger Bereich
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Zählerradikand verlangt $\mathsf{x\ge0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nennerradikand muss positiv sein: $\mathsf{x-1>0}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Daraus folgt $\mathsf{x>1}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Diese Bedingung erfüllt auch die Zählerbedingung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Für jedes reelle x erlaubt?Nein
2. Zulässiger Bereich $\mathsf{D=\{x\in\mathbb R\mid x>1\}}$
3. BegründungDie Wurzel im Nenner muss reell und ungleich null sein. Daher ist x größer als 1 erforderlich.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Wurzelwert und Gleichungslösungen.
Ich prüfe gerade und ungerade Wurzelordnungen.
Ich beachte den Betrag bei Wurzeln aus Variablenquadraten.
Ich multipliziere bei verschachtelten Wurzeln die Ordnungen nur im passenden Bereich.

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