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Kugeln · Erklären & üben

Kugel

Eine Kugel ist ein räumlicher Körper. Ihre Oberfläche besteht aus allen Punkten mit gleichem Abstand vom Mittelpunkt; der ausgefüllte Kugelkörper enthält zusätzlich alle inneren Punkte.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Mittelpunkt, Radius und Durchmesser

Der Radius r ist der Abstand von M zu jedem Oberflächenpunkt. Ein Durchmesser verläuft durch M und verbindet zwei gegenüberliegende Oberflächenpunkte. Punkte im Inneren haben Abstand kleiner als r, äußere Punkte Abstand größer als r. Eine Kugel besitzt keine Ecken oder geraden Kanten.

  1. Kugeloberfläche und gefüllten Kugelkörper unterscheiden.

d=2r\mathsf{d=2r}

Kugelansicht mit Mittelpunkt M, Radius MP und Durchmesser QP; Großkreis in der Ansicht elliptisch dargestellt.

So geht es am Beispiel

Eine Kugel hat Radius 5cm. Bestimme den Durchmesser.

d=2⋅5=10 cm\mathsf{d=2\cdot5=10\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

10 cm

Erklärung 02

Schnitt mit einer Ebene

Schneidet eine Ebene die Kugel, entsteht eine Kreisfläche. Durch M erhältst du den größten Schnitt, den Großkreis, mit Radius R. Bei Abstand a von M ist der Schnittradius ρ kleiner. Ein rechtwinkliges Dreieck aus a, ρ und R liefert Pythagoras. Bei a = R berührt die Ebene die Kugel in genau einem Punkt; bei a > R gibt es keinen Schnitt.

  1. Der Abstand a wird senkrecht zur Ebene gemessen.

ρ=R2−a2(0≤a≤R)\mathsf{\rho=\sqrt{R^2-a^2}\quad(0\le a\le R)}

Maßhaltiger Mittelschnitt mit Kugelradius 5, Abstand der Schnittebene 3 und Schnittradius 4.

So geht es am Beispiel

Kugelradius R = 5 cm; Abstand der Schnittebene a = 3 cm. Bestimme den Schnittradius.

ρ=52−32=16=4 cm\mathsf{\rho=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

4 cm

Erklärung 03

Oberfläche und Volumen

Die Oberfläche misst die äußere Fläche in Quadrateinheiten. Das Volumen beschreibt den Innenraum in Kubikeinheiten. Für beide Formeln verwendest du den Radius; ein Durchmesser wird vorher halbiert.

  1. O und V nicht allein anhand ihrer Zahlenwerte vergleichen.

O=4πr2,V=43πr3\mathsf{O=4\pi r^2,\quad V=\frac43\pi r^3}

So geht es am Beispiel

r = 3 cm. Berechne O und V exakt.

O=4π⋅9=36π cm2\mathsf{O=4\pi\cdot9=36\pi\,\mathsf{cm}^2}
V=43π⋅27=36π cm3\mathsf{V=\frac43\pi\cdot27=36\pi\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

Beide haben denselben Zahlenfaktor, aber unterschiedliche Einheiten und Bedeutung.

Erklärung 04

Kugel, Kreis und Kegel

Ein Kreis ist eine ebene Figur; die Kugel ist ein Körper. Der Kegel hat eine Kreisgrundfläche und eine Spitze, die Kugel hat keine ausgezeichnete Grundfläche und keine Spitze.

  1. Weiterlernen: Oberfläche Kugel, Volumen Kugel und Halbkugel.

Ein Kreisbild auf dem Papier kann eine Kugel darstellen, ist aber nicht selbst der räumliche Körper.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Kugel · AnwendenEine Kugel hat Durchmesser 18cm. Bestimme r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=18/2=9 cm\mathsf{r=18/2=9\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Radius9 cm
  2. Aufgabe 2Kugel · AnwendenEine Kugel hat Radius 4cm. Ein Punkt P ist 3cm vom Mittelpunkt entfernt. Wo liegt P?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      3cm ist kleiner als 4cm.

    Ergebnis

    1. PunktlageIm Inneren der Kugel
  3. Aufgabe 3Kugel · AnwendenEine Ebene schneidet die Kugel genau durch ihren Mittelpunkt. Wie heißt der Randkreis der Schnittfläche?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Schnitt hat den größtmöglichen Radius, gleich dem Kugelradius.

    Ergebnis

    1. BezeichnungGroßkreis
  4. Aufgabe 4Kugel · AnwendenKugelradius 13cm; Abstand der Schnittebene 5cm. Bestimme den Schnittradius.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ρ=132−52=144=12 cm\mathsf{\rho=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Schnittradius12 cm
  5. Aufgabe 5Kugel · AnwendenZeichne in der Kugelansicht den Radius von M nach P und beschrifte ihn mit r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Radius

    Vorbereitete Kugelansicht mit Mittelpunkt M und Randpunkt P; zu zeichnende Strecke fehlt.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Ein Radius verbindet den Mittelpunkt mit einem Oberflächenpunkt.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Verbinde M und P; diese Strecke bleibt vollständig in der Kugel.

    Ergebnis

    1. RadiusDie Strecke MP ist eingezeichnet und mit r beschriftet.
  6. Aufgabe 6Kugel · AnwendenWarum sind Kugel und Kreis nicht dieselbe geometrische Form?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ein Kreis liegt in einer Ebene.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Eine Kugel erstreckt sich in drei Raumrichtungen und hat Volumen.

    Ergebnis

    1. UnterschiedKreis: ebene Figur. Kugel: räumlicher Körper.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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