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Kugeln · Erklären & üben

Oberfläche Kugel

Die Kugeloberfläche ist viermal so groß wie die Fläche eines Großkreises mit demselben Radius. Für Materialbedarf ist diese äußere Fläche entscheidend, nicht das Kugelvolumen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vier Großkreisflächen

Die Formel beschreibt die gesamte gekrümmte Oberfläche. Die vierfache Großkreisfläche ist eine Flächengleichheit, kein Netz aus vier Kreisen: Eine Kugel lässt sich nicht verzerrungsfrei in solche ebenen Teile abwickeln.

  1. Radius oder Durchmesser vor dem Einsetzen erkennen.

O=4πr2=πd2\mathsf{O=4\pi r^2=\pi d^2}

Kugel mit Radius MP; die elliptische Linie stellt einen Großkreis dar.
Ebener Großkreis mit Radius und Durchmesser; Vergleich der Kreisfläche mit der Kugeloberfläche, kein Kugelnetz.

Erklärung 02

Radius oder Durchmesser gegeben

Bei bekanntem r quadrierst du r und multiplizierst mit 4π. Bei bekanntem d kannst du direkt πd² verwenden; das entspricht dem vorherigen Halbieren.

  1. Erst am Ende runden.

Die Ergebnisgröße ist eine Fläche.

So geht es am Beispiel

r = 4 cm. Berechne O.

O=4π⋅16=64π cm2≈201,06 cm2\mathsf{O=4\pi\cdot16=64\pi\,\mathsf{cm}^2\approx201{,}06\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Etwa 201,06cm²

So geht es am Beispiel

d = 10 cm. Berechne O.

O=π⋅102=100π cm2≈314,16 cm2\mathsf{O=\pi\cdot10^2=100\pi\,\mathsf{cm}^2\approx314{,}16\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Etwa 314,16cm²

Erklärung 03

Material- oder Anstrichbedarf

Verwende den Außenradius, wenn die äußere Oberfläche beschichtet wird. Ein Verbrauch pro Quadratmeter wird mit der Fläche in m² multipliziert. Verluste oder mehrere Anstriche zählen nur dann zusätzlich, wenn sie angegeben sind.

  1. Längen vor der Rechnung in Meter umrechnen.

Fläche und Verbrauchseinheit müssen zusammenpassen.

So geht es am Beispiel

Eine Kugel mit Außenradius 0,5m wird einmal gestrichen. Der Verbrauch beträgt 0,2Liter je m². Berechne den theoretischen Bedarf.

O=4π⋅0,52=π m2\mathsf{O=4\pi\cdot0{,}5^2=\pi\,\mathsf m^2}
B=0,2π l≈0,63 l\mathsf{B=0{,}2\pi\,\mathsf l\approx0{,}63\,\mathsf l}

Ergebnis

Etwa 0,63Liter ohne Zuschläge

Erklärung 04

Radius und Durchmesser aus O

Teile O für den Radius durch 4π und ziehe die positive Quadratwurzel. Für d kannst du direkt durchπ teilen und die Wurzel ziehen.

  1. Eine Flächeneinheit wird durch die Wurzel zur Längeneinheit.

r=O4π,d=Oπ\mathsf{r=\sqrt{\frac O{4\pi}},\quad d=\sqrt{\frac O\pi}}

So geht es am Beispiel

O=144π cm2\mathsf{O=144\pi\,\mathsf{cm}^2}. Bestimme r und d.

r=144/4=6 cm\mathsf{r=\sqrt{144/4}=6\,\mathsf{cm}}
d=12 cm\mathsf{d=12\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Radius 6cm; Durchmesser 12cm

Erklärung 05

Weiter zum Kugelvolumen

Die Oberfläche wächst mit dem Quadrat des Radius; das Volumen wächst mit seiner dritten Potenz. Eine Verdopplung des Radius vervierfacht O, verachtfacht aber V.

  1. Weiterlernen: Volumen Kugel für Rauminhalt und Kapazität.

Flächeneinheiten und Volumeneinheiten sind nicht austauschbar.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Oberfläche Kugel · Anwendenr = 6 cm. Berechne O exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      O=4π⋅36=144π cm2\mathsf{O=4\pi\cdot36=144\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche144π cm2\mathsf{144\pi\,\mathsf{cm}^2}
  2. Aufgabe 2Oberfläche Kugel · Anwendend = 14 cm. Berechne O exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      O=π⋅142=196π cm2\mathsf{O=\pi\cdot14^2=196\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche196π cm2\mathsf{196\pi\,\mathsf{cm}^2}
  3. Aufgabe 3Oberfläche Kugel · AnwendenEine Kugel mit Außendurchmesser 2m wird einmal gestrichen. Verbrauch 0,15Liter pro m²; keine Verluste. Berechne den Bedarf auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      O=π⋅22=4π m2\mathsf{O=\pi\cdot2^2=4\pi\,\mathsf m^2}
      B=0,15⋅4π=0,6π l≈1,88 l\mathsf{B=0{,}15\cdot4\pi=0{,}6\pi\,\mathsf l\approx1{,}88\,\mathsf l}

    Ergebnis

    1. FarbbedarfEtwa 1,88Liter
  4. Aufgabe 4Oberfläche Kugel · AnwendenO=100π cm2\mathsf{O=100\pi\,\mathsf{cm}^2}. Berechne r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=100/4=5 cm\mathsf{r=\sqrt{100/4}=5\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Radius5 cm
  5. Aufgabe 5Oberfläche Kugel · AnwendenO=81π cm2\mathsf{O=81\pi\,\mathsf{cm}^2}. Berechne d.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=81=9 cm\mathsf{d=\sqrt{81}=9\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Durchmesser9 cm
  6. Aufgabe 6Oberfläche Kugel · AnwendenZeichne durch M den Durchmesser, der den Punkt P enthält. Beschrifte den gegenüberliegenden Randpunkt mit Q. Die Vorlage zeigt einen Mittelschnitt beziehungsweise Großkreis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Durchmesser

    Vorbereitete Großkreisfläche mit Mittelpunkt M und Randpunkt P; zu zeichnende Strecke fehlt.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Verbinde P mit M und verlängere die Gerade bis zum anderen Rand.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der neue Punkt Q liegt gegenüber von P; M halbiert QP.

    Ergebnis

    1. DurchmesserQP verläuft durch M; MP ist die Hälfte von QP.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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