Kurvendiskussion · Erklären & üben

Kurvendiskussion

Eine Kurvendiskussion verbindet einzelne Rechnungen zu einem begründeten Bild des Graphen. Wir untersuchen zunächst f(x)=x³−3x und üben danach an weiteren kleinen Polynomen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bereich, Achsenschnittpunkte und Symmetrie

Beginne mit dem Definitionsbereich. Polynome sind auf ganz R definiert. Berechne den y-Achsenabschnitt mit f(0) und die Nullstellen durch f(x)=0.

Prüfe Symmetrie durch Einsetzen von −x: f(−x)=f(x) bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse; f(−x)=−f(x) bedeutet Punktsymmetrie zum Ursprung.

So geht es am Beispiel

$\mathsf{f(x)=x^3-3x}$

$\mathsf{D=\mathbb R}$ — Polynom.

$\mathsf{f(0)=0}$ — y-Achsenabschnitt.

$\mathsf{x^3-3x=x(x^2-3)}$ — faktorisieren.

$\mathsf{x(x^2-3)=0}$ — Nullprodukt.

$\mathsf{x=0\ \textsf{oder}\ x^2=3}$ — Faktoren getrennt null setzen.

$\mathsf{x=0,\ -\sqrt3,\ \sqrt3}$ — Nullstellen.

$\mathsf{f(-x)=-x^3+3x=-f(x)}$ — ungerade Funktion.

Erklärung 02

Grenzverhalten und Ableitungen

Der führende Term x³ bestimmt bei großen Beträgen das Verhalten: nach rechts geht f gegen +∞, nach links gegen −∞. Dieses Polynom hat keine waagerechte oder schiefe Asymptote.

Notiere die Ableitungen einmal übersichtlich. Verwende f′ für Monotonie und Extremkandidaten, f″ für Krümmung und Wendekandidaten.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{f(x)=x^3-3x}$ dreimal ab.

$\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-3}$ — erste Ableitung.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x}$ — zweite Ableitung.

$\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(x)=6}$ — dritte Ableitung.

Erklärung 03

Extrema und Monotonie

Bei einer inneren differenzierbaren Extremstelle ist f′=0 notwendig. Bei unseren glatten Polynomen sichern f′=0 und f″>0 ein lokales Minimum, f″<0 ein lokales Maximum.

Bei f″=0 entscheidet dieser Test nicht. Prüfe dann etwa einen Vorzeichenwechsel von f′. Die Vorzeichenintervalle von f′ liefern zugleich die Monotonie.

So geht es am Beispiel

Untersuche die Extrema von $\mathsf{x^3-3x}$ .

$\mathsf{3x^2-3=0}$ — Kandidaten.

$\mathsf{x^2=1}$ — 3 addieren und durch 3 teilen.

$\mathsf{x=-1\ \textsf{oder}\ x=1}$ — lösen.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(-1)=-6<0}$ — Hochpunkt.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(1)=6>0}$ — Tiefpunkt.

$\mathsf{f(-1)=2}$ — Hochpunktwert.

$\mathsf{f(1)=-2}$ — Tiefpunktwert.

Erklärung 04

Wendepunkt, Krümmung und Tangente

Eine Wendestelle benötigt einen Krümmungswechsel. f″=0 allein genügt nicht. Hier wechselt 6x bei 0 von negativ zu positiv: links nach unten, rechts nach oben gekrümmt.

Für dreimal stetig differenzierbare Funktionen ist f″(a)=0 zusammen mit f‴(a)≠0 ein hinreichendes Wendekriterium. Die Tangentensteigung am Wendepunkt kommt aus f′, nicht aus f″.

$\mathsf{y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)}$

So geht es am Beispiel

Bestimme die Wendetangente von $\mathsf{f(x)=x^3-3x}$ .

$\mathsf{6x=0}$ — Wendekandidat.

$\mathsf{x=0}$ — lösen.

$\mathsf{f^{\prime\prime\prime}(0)=6\ne0}$ — Wendekriterium.

$\mathsf{f(0)=0}$ — Wendepunktwert.

$\mathsf{f^{\prime}(0)=-3}$ — Tangentensteigung.

$\mathsf{y=-3(x-0)+0}$ — Punkt-Steigungsform.

$\mathsf{y=-3x}$ — vereinfachen.

Erklärung 05

Graph und Wertebereich zusammenführen

Trage Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkt ein. Verbinde sie passend zu Monotonie, Krümmung und Grenzverhalten. Eine Zeichnung muss diese Ergebnisse gemeinsam zeigen.

Da f stetig ist und nach links beziehungsweise rechts unbegrenzt negative beziehungsweise positive Werte annimmt, ist der Wertebereich ganz R. Die beiden Extrema sind nur lokal.

Diese Untersuchung ist ein methodisches Beispiel, keine vollständige Abdeckung aller Inhalte einer Abiturvorbereitung.

Skalierter Kubikgraph mit charakteristischen Punkten und deren genauen Koordinaten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kurvendiskussion · GrundlagenBestimme Bereich und Achsenschnittpunkte von $\mathsf{g(x)=x^2-4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=\mathbb R}$ — Polynom.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(0)=-4}$ — y-Achse.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-4=0}$ — Nullstellen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=4}$ — 4 addieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-2\ \textsf{oder}\ x=2}$ — beide Wurzeln.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(0|−4), (−2|0), (2|0); Bereich R.
02
Aufgabe 2Kurvendiskussion · GrundlagenPrüfe $\mathsf{g(x)=x^4-2x^2}$ auf y-Achsen- und Ursprungssymmetrie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(-x)=(-x)^4-2(-x)^2}$ — einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(-x)=x^4-2x^2=g(x)}$ — gerade Potenzen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisy-Achsensymmetrisch, nicht ursprungssymmetrisch.
03
Aufgabe 3Kurvendiskussion · GrundlagenBestimme beide Grenzwerte im Unendlichen für $\mathsf{g(x)=-2x^4+x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der führende Term ist −2x⁴.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Auf beiden Seiten wächst x⁴ unbegrenzt; der negative Faktor bestimmt das Vorzeichen.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungBeide Grenzwerte sind −∞.
04
Aufgabe 4Kurvendiskussion · AnwendenBerechne die ersten drei Ableitungen von $\mathsf{g(x)=x^4-2x^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}=4x^3-4x}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime}=12x^2-4}$ — erneut ableiten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime\prime}=24x}$ — erneut ableiten.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{4x^3-4x;\ 12x^2-4;\ 24x}$
05
Aufgabe 5Kurvendiskussion · AnwendenUntersuche $\mathsf{g(x)=x^2-2x}$ auf Extrema und Monotonie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}=2x-2}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x-2=0}$ — Kandidat.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=1}$ — lösen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime}=2>0}$ — Minimum.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(1)=-1}$ — Punktwert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisT(1|−1); fallend für x<1, steigend für x>1.
06
Aufgabe 6Kurvendiskussion · AnwendenBestimme Wendepunkt und Wendetangente von $\mathsf{g(x)=x^3+2x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}=3x^2+2}$ — ableiten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime}=6x}$ — nochmals ableiten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{6x=0\Rightarrow x=0}$ — Kandidat.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  6x wechselt bei 0 von negativ zu positiv.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(0)=0}$ — Punkt.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}(0)=2}$ — Steigung.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2x}$ — Tangente.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisW(0|0), Tangente y=2x.
07
Aufgabe 7Kurvendiskussion · AnwendenWarum ist $\mathsf{g^{\prime\prime}(0)=0}$ für $\mathsf{g(x)=x^4}$ kein Beweis für einen Wendepunkt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{g^{\prime\prime}(x)=12x^2}$ — zweimal ableiten.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für x≠0 ist g″ positiv; es gibt keinen Vorzeichenwechsel.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungKein Wendepunkt bei 0.
08
Aufgabe 8Kurvendiskussion · VertiefenUntersuche zusammenhängend $\mathsf{g(x)=x^3-6x^2+9x}$ : Bereich, Nullstellen, Symmetrie zur y-Achse/zum Ursprung, Grenzverhalten, Extrema, Monotonie, Wendepunkt, Wendetangente, Krümmung und Wertebereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bereich, Achsen, Symmetrie, Grenzverhalten
Extrema und Monotonie
Wende, Tangente, Krümmung, Wertebereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g=x(x-3)^2}$ — faktorisieren; Nullstellen 0 und 3.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(-x)=-x^3-6x^2-9x}$ — weder g(x) noch −g(x).
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}=3x^2-12x+9}$ — ableiten.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}=3(x-1)(x-3)}$ — faktorisieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime}=6x-12}$ — zweite Ableitung.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime}(1)=-6}$ — Hochpunkt.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(1)=4}$ — Punktwert.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime}(3)=6}$ — Tiefpunkt.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(3)=0}$ — Punktwert.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{6x-12=0\Rightarrow x=2}$ — Wendestelle; Vorzeichenwechsel.
11. Schritt 11 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(2)=2}$ — Wendepunktwert.
12. Schritt 12 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}(2)=-3}$ — Tangentensteigung.
13. Schritt 13 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=-3(x-2)+2=-3x+8}$ — Wendetangente.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bereich, Achsen, Symmetrie, GrenzverhaltenD=R; Nullstellen 0 und 3; y-Achse (0|0); weder y-Achsen- noch Ursprungssymmetrie; links −∞, rechts +∞.
2. Extrema und MonotonieH(1|4), T(3|0); steigend vor 1 und nach 3, dazwischen fallend.
3. Wende, Tangente, Krümmung, WertebereichW(2|2); y=−3x+8; nach unten für x<2, nach oben für x>2; Wertebereich R.
09
Aufgabe 9Kurvendiskussion · VertiefenSkizziere die Funktion aus Aufgabe 8 in der Vorlage. Die Punkte (0|0), (1|4), (2|2), (3|0) sind gegeben. Kennzeichne H, T und W.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Vorzeichen von g′ liefern Anstieg, Abstieg und erneuten Anstieg.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei x=2 wechselt die Krümmung.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungH(1|4), T(3|0), W(2|2).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich verwende f für Punktwerte und f′ für Steigungen.
Ich begründe Extrem- und Wendekandidaten.
Mein Graph passt zu Vorzeichenintervallen und Grenzwerten.

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