Kurvendiskussion · Erklären & üben

Kurvendiskussion mit e-Funktionen

Bei einer e-Funktion hilft eine feste Beobachtung: e hoch x ist immer positiv. In Produkten bestimmen deshalb die übrigen Faktoren oft Nullstellen und Vorzeichen. Wir untersuchen f(x)=x·e hoch x.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bereich, Nullstelle und Grenzverhalten

Für f(x)=x·e hoch x ist der Definitionsbereich ganz R. Wegen e hoch x>0 kann das Produkt nur durch den Faktor x null werden. Der y-Achsenabschnitt ist ebenfalls (0|0).

f(−x)=−x·e hoch −x ist weder f(x) noch −f(x). Es liegt weder y-Achsen- noch Ursprungssymmetrie vor.

Für x gegen +∞ wächst x·e hoch x gegen +∞. Für x gegen −∞ nähert sich der Term 0 von unten. Die Exponentialfunktion schlägt dabei den linearen Faktor: Mit t=−x wird der Term −t/e hoch t.

Die Gerade y=0 ist daher eine waagerechte Asymptote für x gegen −∞, nicht für x gegen +∞.

Erklärung 02

Ableitungen übersichtlich faktorisieren

Wende die Produktregel an und klammere anschließend e hoch x aus. So bleiben die Vorzeichen einfach ablesbar.

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{f(x)=xe^x}$ dreimal ab.

$\mathsf{f^{\prime}=1\cdot e^x+xe^x}$ — Produktregel.

$\mathsf{f^{\prime}=e^x(x+1)}$ — ausklammern.

$\mathsf{f^{\prime\prime}=e^x(x+1)+e^x}$ — erneut Produktregel.

$\mathsf{f^{\prime\prime}=e^x(x+2)}$ — zusammenfassen.

$\mathsf{f^{\prime\prime\prime}=e^x(x+2)+e^x}$ — erneut ableiten.

$\mathsf{f^{\prime\prime\prime}=e^x(x+3)}$ — zusammenfassen.

Erklärung 03

Extrema und Monotonie

Bei den hier glatten Funktionen liefert f′=0 die inneren Kandidaten. Da e hoch x positiv ist, genügt x+1=0.

Links von −1 ist f′ negativ, rechts positiv. Es liegt ein Tiefpunkt vor. Zusammen mit dem Grenzverhalten ist dieser sogar global.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Tiefpunkt.

$\mathsf{e^x(x+1)=0}$ — Kandidat.

$\mathsf{x+1=0}$ — durch positiven Faktor teilen.

$\mathsf{x=-1}$ — lösen.

$\mathsf{f^{\prime\prime}(-1)=e^{-1}>0}$ — Minimumtest.

$\mathsf{f(-1)=-e^{-1}}$ — Funktionswert.

Erklärung 04

Wende, Tangente und Wertebereich

In f″=e hoch x·(x+2) entscheidet x+2 über die Krümmung. Bei −2 wechselt das Vorzeichen von negativ zu positiv; dort liegt ein Wendepunkt.

Die Funktion hat das globale Minimum −1/e und wächst nach rechts unbegrenzt. Ihr Wertebereich ist daher [−1/e,∞).

Skalierter Graph x mal e hoch x mit exakten Punktkoordinaten und linksseitiger Asymptote.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Wendetangente.

$\mathsf{x+2=0\Rightarrow x=-2}$ — Wendestelle.

$\mathsf{f(-2)=-2e^{-2}}$ — Punktwert.

$\mathsf{f^{\prime}(-2)=-e^{-2}}$ — Steigung.

$\mathsf{y=-e^{-2}(x+2)-2e^{-2}}$ — Tangentengleichung.

$\mathsf{y=-e^{-2}(x+4)}$ — zusammenfassen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kurvendiskussion mit e-Funktionen · GrundlagenBestimme Bereich und Achsenschnittpunkte von $\mathsf{g(x)=(x-2)e^x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=\mathbb R}$ — beide Faktoren definiert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{e^x>0}$ — nie null.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-2=0\Rightarrow x=2}$ — Nullstelle.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(0)=-2}$ — y-Achse.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis(2|0) und (0|−2); Bereich R.
02
Aufgabe 2Kurvendiskussion mit e-Funktionen · GrundlagenLeite $\mathsf{g(x)=(x-2)e^x}$ dreimal ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}=e^x+(x-2)e^x=e^x(x-1)}$ — Produktregel.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime}=e^x(x-1)+e^x=xe^x}$ — Produktregel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime\prime\prime}=e^x+xe^x=e^x(x+1)}$ — Produktregel.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{e^x(x-1),\ xe^x,\ e^x(x+1)}$
03
Aufgabe 3Kurvendiskussion mit e-Funktionen · GrundlagenBestimme beide Grenzwerte von $\mathsf{g(x)=(x-2)e^x}$ für x gegen ±∞ und die waagerechte Asymptote.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nach rechts wachsen beide Faktoren positiv unbegrenzt.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nach links geht das Produkt eines linearen Terms mit e hoch x gegen 0; der lineare Term ist dort negativ.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungLinks 0 von unten, rechts +∞; y=0 nur links waagerechte Asymptote.
04
Aufgabe 4Kurvendiskussion mit e-Funktionen · AnwendenUntersuche $\mathsf{g(x)=(x-2)e^x}$ auf Extremum und Monotonie. Nutze g′=e hoch x·(x−1).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-1=0\Rightarrow x=1}$ — Exponentialfaktor nie null.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Vor 1 ist g′ negativ, danach positiv.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(1)=-e}$ — Punktwert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGlobaler Tiefpunkt T(1|−e); fallend vor 1, steigend nach 1.
05
Aufgabe 5Kurvendiskussion mit e-Funktionen · AnwendenBestimme Wendepunkt und Wendetangente von $\mathsf{g(x)=(x-2)e^x}$ . Nutze g″=x·e hoch x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ — einziger Kandidat.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  g″ wechselt dort von negativ zu positiv.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(0)=-2}$ — Punktwert.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g^{\prime}(0)=-1}$ — Steigung.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=-x-2}$ — Tangente.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisW(0|−2), Tangente y=−x−2.
06
Aufgabe 6Kurvendiskussion mit e-Funktionen · AnwendenJemand löst $\mathsf{e^x(x+3)=0}$ mit „e hoch x=0 oder x=−3“. Welche Lösungen sind tatsächlich möglich?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{e^x>0}$ für alle reellen x.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{x+3=0}$ ist der einzige mögliche Nullfaktor.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{x=-3}$ — lösen.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungNur x=−3; die e-Funktion besitzt keine reelle Nullstelle.
07
Aufgabe 7Kurvendiskussion mit e-Funktionen · AnwendenBestimme den Wertebereich von $\mathsf{g(x)=(x-2)e^x}$ . Begründe mit Minimum und Grenzverhalten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der globale Tiefpunkt hat den Wert −e.
2. Schritt 2 · Erklärung
  g ist stetig und wächst nach rechts unbegrenzt.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Damit werden alle Werte ab −e erreicht.
Ergebnis
1. Antwort und Begründung $\mathsf{[-e,\infty)}$
08
Aufgabe 8Kurvendiskussion mit e-Funktionen · VertiefenUntersuche zusammenhängend $\mathsf{h(x)=xe^{-x}}$ : Bereich, Achsen, Symmetrie zur y-Achse/zum Ursprung, Grenzwerte, Ableitungen, Extrema, Monotonie, Wende, Tangente, Krümmung und Wertebereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bereich, Achsen, Symmetrie und Grenzwerte
Ableitungen, Extremum und Monotonie
Wende, Tangente, Krümmung und Wertebereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=\mathbb R}$ ; Nullstelle und y-Achse bei 0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h(-x)=-xe^x}$ — weder h(x) noch −h(x).
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^{\prime}=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)}$ — Produkt- und Kettenregel.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^{\prime\prime}=-e^{-x}(1-x)-e^{-x}=e^{-x}(x-2)}$ — erneut ableiten.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^{\prime\prime\prime}=-e^{-x}(x-2)+e^{-x}=e^{-x}(3-x)}$ — erneut ableiten.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1-x=0\Rightarrow x=1}$ — Extremstelle.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^{\prime\prime}(1)=-e^{-1}<0}$ — Maximum.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h(1)=e^{-1}}$ — Wert.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-2=0\Rightarrow x=2}$ — Wendestelle mit Vorzeichenwechsel.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h(2)=2e^{-2}}$ — Punktwert.
11. Schritt 11 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h^{\prime}(2)=-e^{-2}}$ — Steigung.
12. Schritt 12 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=-e^{-2}(x-2)+2e^{-2}=e^{-2}(4-x)}$ — Tangente.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bereich, Achsen, Symmetrie und GrenzwerteD=R; (0|0); weder y-Achsen- noch Ursprungssymmetrie; links −∞, rechts 0 von oben.
2. Ableitungen, Extremum und Monotonieh′=e^(−x)(1−x), h″=e^(−x)(x−2), h‴=e^(−x)(3−x); H(1|1/e); steigend vor 1, fallend nach 1.
3. Wende, Tangente, Krümmung und WertebereichW(2|2/e²); y=(4−x)/e²; nach unten vor 2, nach oben nach 2; (−∞,1/e].
09
Aufgabe 9Kurvendiskussion mit e-Funktionen · VertiefenZeichne h(x)=x·e hoch −x aus Aufgabe 8 in die Vorlage mit den gegebenen Punkten (0|0), (1|1/e) und (2|2/e²). Kennzeichne H, W und die rechte waagerechte Asymptote.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Graph steigt bis x=1 und fällt danach.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei x=2 wechselt die Krümmung; nach rechts nähert er sich y=0 von oben.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungH(1|1/e), W(2|2/e²), Asymptote y=0 rechts.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich verwende f für Punktwerte und f′ für Steigungen.
Ich begründe Extrem- und Wendekandidaten.
Mein Graph passt zu Vorzeichenintervallen und Grenzwerten.

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