Laplace Experiment

Erklärung 01

Zuerst das Modell prüfen

1. 1

   Lege fest, was als einzelnes Ergebnis zählt.

2. 2

   Begründe die Gleichwahrscheinlichkeit im Modell.

$\mathsf{P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}}$

Erklärung 02

Geordnete Paare zählen

1. 1

   Trage den ersten Wurf in die Zeile und den zweiten in die Spalte ein.

2. 2

   Markiere genau die Paare, die das Ereignis erfüllen.

$\mathsf{|\Omega|=6\cdot6=36}$

Erklärung 03

Günstige Ergebnisse richtig auswählen

1. 1

   Zähle alle möglichen Zahlen einschließlich der Null.

2. 2

   Zähle nur die zum Ereignis gehörenden Zahlen.

$\mathsf{P(\mathsf{Rot})=\frac{18}{37}}$

1. 01
   Aufgabe 1Laplace Experiment · basisEin fairer Würfel wird einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Augenzahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Wahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die günstigen Zahlen sind 2, 4 und 6.

      $$\mathsf{P(E)=\frac36=\frac12}$$

   Ergebnis

   1. Wahrscheinlichkeit
      $\mathsf{P(E)=\frac12}$
2. 02
   Aufgabe 2Laplace Experiment · basisIn einem Beutel liegen acht äußerlich gleiche, gleich gut durchmischte Lose mit verschiedenen Zahlen 1 bis 8. Jedes Los ist gleich wahrscheinlich. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Günstige Zahlen

   Wahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Günstig sind 2, 3, 5 und 7; die 1 ist keine Primzahl.

      $$\mathsf{P(E)=\frac48=\frac12}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Günstige Zahlen
      $\mathsf{\{2,3,5,7\}}$
   2. Wahrscheinlichkeit
      $\mathsf{P(E)=\frac12}$
3. 03
   Aufgabe 3Laplace Experiment · sichernZwei unabhängige faire Würfel werden geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide dieselbe Augenzahl zeigen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Anzahl günstiger Paare

   Wahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Günstig sind die sechs Paare (1,1) bis (6,6).

      $$\mathsf{P(E)=\frac6{36}=\frac16}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Anzahl günstiger Paare
      6
   2. Wahrscheinlichkeit
      $\mathsf{P(E)=\frac16}$
4. 04
   Aufgabe 4Laplace Experiment · anwendenEin fairer Zahlengenerator liefert unabhängig zweimal eine Zahl von 1 bis 4. Ergänze alle geordneten Paare in der Vorlage und markiere die Paare mit Summe 5. Berechne die Wahrscheinlichkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Zeichnung

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Zeichnung

   Wahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Jede der vier ersten Zahlen kann mit jeder der vier zweiten kombiniert werden.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Günstig sind (1,4), (2,3), (3,2) und (4,1).

      $$\mathsf{P(E)=\frac4{16}=\frac14}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Zeichnung
      Siehe die exakt passende geschützte Musterzeichnung.
   2. Wahrscheinlichkeit
      $\mathsf{P(E)=\frac14}$
5. 05
   Aufgabe 5Laplace Experiment · vertiefenZwei faire, unabhängige Münzwürfe werden nur nach der Anzahl der Köpfe aufgezeichnet. Sind die Ergebnisse 0, 1 und 2 gleich wahrscheinlich? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Urteil
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die gleich wahrscheinlichen Folgen sind KK, KZ, ZK, ZZ.

   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      0 und 2 Köpfe entstehen jeweils durch eine Folge; 1 Kopf durch zwei Folgen.

      $$\mathsf{P(0)=\frac14,\quad P(1)=\frac12,\quad P(2)=\frac14}$$

   Ergebnis

   1. Urteil
      Nein. Der Raum der Kopfanzahlen ist kein Laplace-Raum; 1 Kopf ist doppelt so wahrscheinlich wie 0 oder 2 Köpfe.
6. 06
   Aufgabe 6Laplace Experiment · transferIm beschriebenen Roulette-Modell sind 37 Zahlen gleich wahrscheinlich und 18 rot. Jemand behauptet, Rot habe Wahrscheinlichkeit ein Halb, weil es Rot und Nicht-Rot gibt. Erkläre den Fehler und gib beide Wahrscheinlichkeiten an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Rot

   Nicht rot

   Fehler
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die beiden zusammengefassten Kategorien enthalten verschieden viele Zahlen.

      $$\mathsf{P(R)=\frac{18}{37}}$$

      $$\mathsf{P(\overline R)=\frac{19}{37}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Rot
      $\mathsf{\frac{18}{37}}$
   2. Nicht rot
      $\mathsf{\frac{19}{37}}$
   3. Fehler
      Zwei Kategorien sind nicht automatisch gleich wahrscheinlich; ihre Anzahlen unterscheiden sich.