Berechnen von Wahrscheinlichkeiten · Erklären & üben

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Eine Bedingung verändert die Bezugsgruppe. Für „A unter der Bedingung B“ zählst du nur die Fälle, in denen B eingetreten ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Bedingung legt den Nenner fest

$\mathsf{P(A\mid B)}$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit von A, wenn B bekannt ist. Die Bedingung steht rechts vom Strich. Die Formel setzt voraus, dass B eine positive Wahrscheinlichkeit hat.

Bestimme die durch B eingeschränkte Bezugsgruppe.
Zähle darin die Fälle, die zusätzlich A erfüllen.

$\mathsf{P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0}$

Eingeschränkte Bezugsgruppe B mit 10 Treffern unter 16 Personen.

So geht es am Beispiel

Unter 40 Personen fahren 16 mit dem Bus (B); 10 dieser Busfahrenden haben ein Abo (A). Berechne den Abo-Anteil unter den Busfahrenden.

Die Bedingung B schränkt auf 16 Personen ein.

\mathsf{P(A\mid B)=\frac{10}{16}=\frac58=62{,}5\,\%}

Erklärung 02

Die Richtung beachten

Eine Vierfeldertafel erfasst A und nicht A sowie B und nicht B. Für eine bedingte Wahrscheinlichkeit teilst du eine innere Zelle durch die passende Randzahl. Beim Vertauschen der Bedingung ändert sich gewöhnlich der Nenner.

Lies die Schnittmenge aus der gemeinsamen Zelle.
Wähle die Randzahl der ausdrücklich genannten Bedingung.

$\mathsf{P(A\mid B)\ne P(B\mid A)\quad\textsf{im Allgemeinen}}$

Vierfeldertafel mit allen Anzahlen und Randsummen, Gesamtzahl 40.

So geht es am Beispiel

Eine Tafel zählt 10 Personen mit A und B, 6 nur mit B, 14 nur mit A und 10 mit keinem Merkmal. Berechne B unter der Bedingung A.

Insgesamt erfüllen 10 plus 14 Personen A.

\mathsf{H(A)=10+14=24}

Davon erfüllen 10 zusätzlich B.

\mathsf{P(B\mid A)=\frac{10}{24}=\frac5{12}}

Erklärung 03

Bedingte Zweige und Pfade

Im Baum gilt die zweite Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung des vorherigen Zweigs. Entlang eines Pfads wird multipliziert. Die beiden Gegenereigniszweige am selben Knoten ergänzen sich zu eins. Wenn die Bedingung die Wahrscheinlichkeit unverändert lässt, sind die beiden Ereignisse unabhängig.

Schreibe an den zweiten Zweig die zum ersten passende Bedingung.
Multipliziere die Zweige des gesuchten Pfads.

$\mathsf{P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)}$

Baum zur gleichen Tafel: B 0,4; A unter B 0,625; A unter nicht B 7/12.

So geht es am Beispiel

Es gilt $\mathsf{P(B)=0{,}4}$ und $\mathsf{P(A\mid B)=0{,}625}$ . Berechne die Schnittwahrscheinlichkeit.

Die Bedingung hat positive Wahrscheinlichkeit.

\mathsf{P(A\cap B)=0{,}4\cdot0{,}625=0{,}25}

Der Gegenereigniszweig innerhalb von B ergänzt den Anteil zu eins.

\mathsf{P(\overline A\mid B)=1-0{,}625=0{,}375}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Bedingte Wahrscheinlichkeit · basisVon 30 Mitgliedern spielen 12 Schach (S). Von diesen 12 sind 9 auch im Laufteam (L). Bestimme den Laufteam-Anteil unter den Schachspielenden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Bedingung S beschränkt den Nenner auf 12.
  $\mathsf{P(L\mid S)=\frac9{12}=\frac34}$
Ergebnis
1. Bedingte Wahrscheinlichkeit $\mathsf{P(L\mid S)=\frac34=75\,\%}$
02
Aufgabe 2Bedingte Wahrscheinlichkeit · basisGegeben sind $\mathsf{P(A\cap B)=0{,}18}$ und $\mathsf{P(B)=0{,}3}$ . Berechne $\mathsf{P(A\mid B)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nenner ist positiv.
  $\mathsf{P(A\mid B)=\frac{0{,}18}{0{,}3}=0{,}6}$
Ergebnis
1. Bedingte Wahrscheinlichkeit $\mathsf{P(A\mid B)=0{,}6}$
03
Aufgabe 3Bedingte Wahrscheinlichkeit · sichernEine Gruppe umfasst 50 Personen: 15 erfüllen A und B, 5 nur B, 10 nur A und 20 keines der Merkmale. Berechne A unter B und B unter A.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
A unter B
B unter A
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Bedingung B umfasst 15 plus 5 Personen.
  $\mathsf{P(A\mid B)=\frac{15}{20}=0{,}75}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Bedingung A umfasst 15 plus 10 Personen.
  $\mathsf{P(B\mid A)=\frac{15}{25}=0{,}6}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. A unter B $\mathsf{0{,}75}$
2. B unter A $\mathsf{0{,}6}$
04
Aufgabe 4Bedingte Wahrscheinlichkeit · anwendenErgänze im Baum die Wahrscheinlichkeiten: B hat Anteil 0,3; innerhalb von B beträgt der Anteil von A 0,8, außerhalb von B 0,2. Trage auch alle Gegenwahrscheinlichkeiten ein. Berechne den Pfad B und A.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung
Pfadwahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Gegenwahrscheinlichkeit des ersten Zweigs ist 0,7.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Unter B ergänzen sich 0,8 und 0,2; unter nicht B ergänzen sich 0,2 und 0,8 zu eins.
  $\mathsf{P(B\cap A)=0{,}3\cdot0{,}8=0{,}24}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. ZeichnungSiehe die exakt passende geschützte Musterzeichnung.
2. Pfadwahrscheinlichkeit $\mathsf{P(B\cap A)=0{,}24}$
05
Aufgabe 5Bedingte Wahrscheinlichkeit · vertiefenEs gilt $\mathsf{P(B)=0{,}5}$ und $\mathsf{P(A\mid B)=0{,}7}$ . Berechne $\mathsf{P(A\cap B)}$ und $\mathsf{P(\overline A\mid B)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schnittwahrscheinlichkeit
Gegenereignis unter B
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
  $\mathsf{P(A\cap B)=0{,}5\cdot0{,}7=0{,}35}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Ergänze innerhalb derselben Bedingung zu eins.
  $\mathsf{P(\overline A\mid B)=1-0{,}7=0{,}3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Schnittwahrscheinlichkeit $\mathsf{0{,}35}$
2. Gegenereignis unter B $\mathsf{0{,}3}$
06
Aufgabe 6Bedingte Wahrscheinlichkeit · transferEs gilt $\mathsf{P(A)=0{,}4}$ und $\mathsf{P(A\mid B)=0{,}4}$ bei $\mathsf{P(B)>0}$ . Sind A und B unabhängig? Erkläre außerdem, warum die Quotientenformel bei $\mathsf{P(B)=0}$ nicht benutzt werden darf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Unabhängigkeit
Grenze der Formel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei positiver Bedingungswahrscheinlichkeit ist die unveränderte Wahrscheinlichkeit das Unabhängigkeitskriterium.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei Wahrscheinlichkeit null würde der Quotient durch null teilen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UnabhängigkeitJa. Die Bedingung B verändert die Wahrscheinlichkeit von A nicht.
2. Grenze der FormelBei $\mathsf{P(B)=0}$ ist dieser Quotient nicht definiert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle die richtige Bezugsgruppe einer bedingten Wahrscheinlichkeit.
Ich berechne bedingte Wahrscheinlichkeiten aus Anzahlen und aus Wahrscheinlichkeiten.
Ich unterscheide die beiden Richtungen einer Bedingung.

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