Lineare Gleichungssysteme · Erklären & üben

Lineare Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem verbindet mehrere lineare Gleichungen. Gesucht sind Werte, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Hier rechnen wir mit reellen Zahlen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gemeinsam erfüllen

Eine Lösung ist bei zwei Variablen ein geordnetes Paar $\mathsf{(x\mid y)}$ . Die Reihenfolge zählt. Beide Werte werden in jede Gleichung eingesetzt.

Linear bedeutet: Die Variablen stehen nur in erster Potenz. Produkte wie $\mathsf{xy}$ oder Quadrate wie $\mathsf{x^2}$ gehören nicht zu einem linearen System.

Für $\mathsf{x+y=5}$ und $\mathsf{x-y=1}$ ist $\mathsf{(3\mid2)}$ eine Lösung: $\mathsf{3+2=5}$ und $\mathsf{3-2=1}$ . Eine einzelne erfüllte Gleichung reicht nicht.

Erklärung 02

Drei rechnerische Wege

Beim Additionsverfahren werden ganze Gleichungen so vervielfacht, dass eine Variable beim Addieren verschwindet.

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Variable freigestellt und ihr gesamter Ausdruck in die andere Gleichung eingesetzt.

Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Ausdrücke für dieselbe Variable gleichgesetzt. Danach wird zurückeingesetzt.

So geht es am Beispiel

Löse das System und prüfe beide Gleichungen. $\begin{aligned}\mathsf{\mathsf{I}:\;}&\mathsf{{}1x+1y=7}\\\mathsf{\mathsf{II}:\;}&\mathsf{{}1x-1y=1}\end{aligned}$

$\mathsf{-1x-1y=-7}$ — I vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.

$\mathsf{-1x+1y=-1}$ — II vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.

$\mathsf{-2x=-8}$ — die Gleichungen addieren; die y-Terme heben sich auf.

$\mathsf{x=4}$ — durch $\mathsf{-2}$ teilen.

$\mathsf{1\cdot(4)+(1)y=7}$ — x in I einsetzen.

$\mathsf{1y=3}$ — $\mathsf{4}$ auf beiden Seiten subtrahieren.

$\mathsf{y=3}$ — durch $\mathsf{1}$ teilen.

$\mathsf{1\cdot(4)+(1)\cdot(3)=7}$ — Probe in I.

$\mathsf{1\cdot(4)+(-1)\cdot(3)=1}$ — Probe in II.

So geht es am Beispiel

Löse und prüfe: $\mathsf{\mathsf{I}: y=2x+(1)}$ , $\mathsf{\mathsf{II}: 1x+1y=10}$ .

$\mathsf{1x+(1)(2x+(1))=10}$ — den gesamten y-Term in II ersetzen.

$\mathsf{1x+(2)x+(1)=10}$ — die Klammer ausmultiplizieren.

$\mathsf{3x+(1)=10}$ — x-Terme zusammenfassen.

$\mathsf{3x=9}$ — $\mathsf{1}$ auf beiden Seiten subtrahieren.

$\mathsf{x=3}$ — durch $\mathsf{3}$ teilen.

$\mathsf{y=2\cdot(3)+(1)=7}$ — in I zurückeinsetzen.

$\mathsf{7=2\cdot(3)+(1)}$ — Probe in I.

$\mathsf{1\cdot(3)+(1)\cdot(7)=10}$ — Probe in II.

So geht es am Beispiel

Löse durch Gleichsetzen: $\mathsf{y=3x-1}$ und $\mathsf{y=x+5}$ .

$\mathsf{3x-1=x+5}$ — die Ausdrücke für y gleichsetzen.

$\mathsf{2x-1=5}$ — x subtrahieren.

$\mathsf{2x=6}$ — 1 addieren.

$\mathsf{x=3}$ — durch 2 teilen.

$\mathsf{y=3+5=8}$ — zurückeinsetzen.

$\mathsf{8=3\cdot3-1}$ — Probe in I.

$\mathsf{8=3+5}$ — Probe in II.

Erklärung 03

Eine, keine oder unendlich viele Lösungen

Zwei Geraden mit verschiedenen Steigungen haben genau einen Schnittpunkt. Das zugehörige Paar löst das System.

Parallele, verschiedene Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt. Rechnerisch entsteht ein Widerspruch, etwa $\mathsf{0=3}$ .

Identische Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte. Rechnerisch fällt eine Gleichung weg. $\mathsf{0=0}$ allein bedeutet nicht, dass jedes Paar erlaubt ist: Die verbleibende Gleichung gilt weiter.

Schematische Geraden: ein Schnittpunkt, parallele verschiedene Geraden und deckungsgleiche Geraden.

Erklärung 04

Grafisch lösen und kontrollieren

Stelle jede Gleichung nach y um. Bestimme je Gerade zwei Punkte, zeichne die Geraden und lies ihren Schnittpunkt ab.

Für $\mathsf{y=x+1}$ eignen sich $\mathsf{(0\mid1)}$ und $\mathsf{(2\mid3)}$ . Für $\mathsf{y=-x+5}$ eignen sich $\mathsf{(0\mid5)}$ und $\mathsf{(2\mid3)}$ .

Die Zeichnung liefert $\mathsf{(2\mid3)}$ . Eine Probe in beiden Gleichungen kontrolliert das Ablesen. Bei nicht ganzzahligen Schnittpunkten ist die Zeichnung oft nur näherungsweise.

Koordinatensystem mit y=x+1 und y=−x+5; beide schneiden sich bei S(2|3).

So geht es am Beispiel

Bestimme den Schnittpunkt von $\mathsf{y=x+1}$ und $\mathsf{y=-x+5}$ . Kontrolliere ihn in beiden Gleichungen.

$\mathsf{x+1=-x+5}$ — im Schnittpunkt sind die y-Werte gleich.

$\mathsf{2x+1=5}$ — x auf beiden Seiten addieren.

$\mathsf{2x=4}$ — 1 subtrahieren.

$\mathsf{x=2}$ — durch 2 teilen.

$\mathsf{y=2+1=3}$ — zurückeinsetzen.

$\mathsf{3=2+1}$ — Probe auf der ersten Geraden.

$\mathsf{3=-2+5}$ — Probe auf der zweiten Geraden.

Erklärung 05

Mehr Gleichungen und Variablen

Die Anzahl der Gleichungen allein garantiert keine eindeutige Lösung. Entscheidend sind unabhängige Bedingungen und ihre Vereinbarkeit.

Weniger Gleichungen: $\mathsf{x+y=4}$ lässt in zwei Variablen einen freien Wert. Mit drei Variablen lässt $\mathsf{x+y+z=4}$ sogar zwei frei wählbare Werte.

Gleich viele Gleichungen: $\mathsf{x+y=4}$ und $\mathsf{2x+2y=8}$ sind abhängig und liefern unendlich viele Paare.

Mehr Gleichungen: Zu $\mathsf{x=1}$ und $\mathsf{y=2}$ passt $\mathsf{x+y=3}$ als zusätzliche Bedingung. $\mathsf{x+y=4}$ würde dagegen einen Widerspruch erzeugen.

Drei Variablen führen zu geordneten Tripeln $\mathsf{(x\mid y\mid z)}$ . Das Gauß-Verfahren systematisiert die Elimination für größere Systeme; es wird im eigenen Thema behandelt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Lineare Gleichungssysteme · EinstiegPrüfe das Paar $\mathsf{(2\mid3)}$ für $\mathsf{x+y=5}$ und $\mathsf{2x-y=1}$ . Notiere beide Proben und das gemeinsame Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Probe
Zweite Probe
Gemeinsames Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2+3=5}$ — erste Gleichung erfüllt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot2-3=1}$ — zweite Gleichung erfüllt.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Gleichungen sind wahr.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Probe $\mathsf{2+3=5}$
2. Zweite Probe $\mathsf{2\cdot2-3=1}$
3. Gemeinsames UrteilDas Paar ist eine Lösung.
02
Aufgabe 2Lineare Gleichungssysteme · EinstiegLöse das System und prüfe beide Gleichungen. $\begin{aligned}\mathsf{\mathsf{I}:\;}&\mathsf{{}1x+1y=8}\\\mathsf{\mathsf{II}:\;}&\mathsf{{}1x-1y=2}\end{aligned}$ Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1x-1y=-8}$ — I vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1x+1y=-2}$ — II vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x=-10}$ — die Gleichungen addieren; die y-Terme heben sich auf.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=5}$ — durch $\mathsf{-2}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(5)+(1)y=8}$ — x in I einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1y=3}$ — $\mathsf{5}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3}$ — durch $\mathsf{1}$ teilen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(5)+(1)\cdot(3)=8}$ — Probe in I.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(5)+(-1)\cdot(3)=2}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=5}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=3}$
03
Aufgabe 3Lineare Gleichungssysteme · StandardLöse und prüfe: $\mathsf{\mathsf{I}: y=2x+(-1)}$ , $\mathsf{\mathsf{II}: 1x+1y=8}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1x+(1)(2x+(-1))=8}$ — den gesamten y-Term in II ersetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1x+(2)x+(-1)=8}$ — die Klammer ausmultiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(-1)=8}$ — x-Terme zusammenfassen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x=9}$ — $\mathsf{-1}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — durch $\mathsf{3}$ teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2\cdot(3)+(-1)=5}$ — in I zurückeinsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5=2\cdot(3)+(-1)}$ — Probe in I.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(3)+(1)\cdot(5)=8}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=3}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=5}$
04
Aufgabe 4Lineare Gleichungssysteme · StandardBestimme den Schnittpunkt von $\mathsf{y=x-1}$ und $\mathsf{y=-x+7}$ . Prüfe ihn in beiden Gleichungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schnittpunkt mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-1=-x+7}$ — y-Ausdrücke gleichsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x-1=7}$ — x addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x=8}$ — 1 addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=4}$ — durch 2 teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=4-1=3}$ — zurückeinsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3=4-1}$ — Probe in I.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3=-4+7}$ — Probe in II.
Ergebnis
1. Schnittpunkt mit Rechnung $\mathsf{S(4\mid3)}$
05
Aufgabe 5Lineare Gleichungssysteme · StandardUntersuche $\mathsf{x+y=4}$ und $\mathsf{2x+2y=11}$ . Begründe die Anzahl der Lösungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+2y=8}$ — die erste Gleichung mit 2 multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=3}$ — die verdoppelte erste Gleichung von der zweiten abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Der Widerspruch kann für kein Zahlenpaar wahr sein.
Ergebnis
1. Anzahl und Begründung $\mathsf{L=\varnothing}$ . Die Gleichungen widersprechen sich.
06
Aufgabe 6Lineare Gleichungssysteme · StandardUntersuche $\mathsf{x+y=4}$ und $\mathsf{2x+2y=8}$ . Beschreibe alle Lösungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösungsmenge mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+2y=8}$ — die erste Gleichung mit 2 multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=0}$ — die beiden gleichen Gleichungen subtrahieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Es bleibt nur die Bedingung $\mathsf{x+y=4}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=4-x}$ — x auf beiden Seiten subtrahieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Für jedes reelle x liefert diese Gleichung einen y-Wert.
Ergebnis
1. Lösungsmenge mit Begründung $\mathsf{L=\{(t\mid 4-t):t\in\mathbb R\}}$
07
Aufgabe 7Lineare Gleichungssysteme · StandardZwei Geraden haben die Gleichungen $\mathsf{y=2x+1}$ und $\mathsf{y=2x-3}$ . Wie viele gemeinsame Lösungen gibt es? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Steigungen sind 2, die y-Achsenabschnitte verschieden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Geraden sind parallel und verschieden.
Ergebnis
1. Anzahl mit BegründungKeine gemeinsame Lösung; verschiedene parallele Geraden.
08
Aufgabe 8Lineare Gleichungssysteme · VertiefungBeurteile: „Zwei Gleichungen mit zwei Variablen haben immer genau eine Lösung.“ Gib ein Gegenbeispiel und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Gegenbeispiel und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Aussage übersieht abhängige und widersprüchliche Gleichungen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+y=4}$ und $\mathsf{2x+2y=8}$ beschreiben dieselbe Gerade.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilDie Aussage ist falsch.
2. Gegenbeispiel und Begründung $\mathsf{x+y=4}$ , $\mathsf{2x+2y=8}$ : unendlich viele gemeinsame Paare.
09
Aufgabe 9Lineare Gleichungssysteme · VertiefungUntersuche getrennt: a) $\mathsf{x=1}$ , $\mathsf{y=2}$ , $\mathsf{x+y=3}$ ; b) $\mathsf{x=1}$ , $\mathsf{y=2}$ , $\mathsf{x+y=4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Lösungsmenge
b) Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die ersten beiden Gleichungen legen jeweils $\mathsf{(1\mid2)}$ fest.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1+2=3}$ — im System a stimmt die Zusatzgleichung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1+2\ne4}$ — im System b widerspricht die Zusatzgleichung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Lösungsmenge $\mathsf{L=\{(1\mid2)\}}$
2. b) Lösungsmenge $\mathsf{L=\varnothing}$
10
Aufgabe 10Lineare Gleichungssysteme · VertiefungPrüfe $\mathsf{(1\mid2\mid3)}$ in $\mathsf{x+y+z=6}$ , $\mathsf{x-y+z=2}$ und $\mathsf{x+y-z=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Probe in I
Probe in II
Probe in III
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1+2+3=6}$ — I stimmt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1-2+3=2}$ — II stimmt.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1+2-3=0}$ — III stimmt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Probe in I $\mathsf{1+2+3=6}$
2. Probe in II $\mathsf{1-2+3=2}$
3. Probe in III $\mathsf{1+2-3=0}$
4. UrteilDas Tripel ist eine gemeinsame Lösung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erfülle mit einer Lösung alle ursprünglichen Gleichungen.
Ich erkläre jeden Umformungsschritt und setze zurück ein.
Ich unterscheide eine, keine und unendlich viele Lösungen.

AT Academy · Version 2026-10-21