Lineare Gleichungssysteme · Erklären & üben

Additionsverfahren

Du vervielfachst ganze Gleichungen und addierst sie so, dass eine Variable verschwindet. Danach bestimmst du die zweite Variable und prüfst das gefundene Paar.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine Variable beseitigen

Die Elimination nutzt entgegengesetzte Koeffizienten. Beim Addieren verschwindet zum Beispiel $\mathsf{3y+(-3y)}$ .

Multipliziere immer die ganze Gleichung einschließlich rechter Seite. Der Faktor muss ungleich 0 sein. Eine Gleichung darf durch ihre Summe mit einem Vielfachen der anderen ersetzt werden.

Addition der Gleichungen x+y=7 und x−y=1 ergibt 2x=8.

So geht es am Beispiel

Löse das System und prüfe beide Gleichungen. $\begin{aligned}\mathsf{\mathsf{I}:\;}&\mathsf{{}1x+1y=7}\\\mathsf{\mathsf{II}:\;}&\mathsf{{}1x-1y=1}\end{aligned}$

$\mathsf{-1x-1y=-7}$ — I vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.

$\mathsf{-1x+1y=-1}$ — II vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.

$\mathsf{-2x=-8}$ — die Gleichungen addieren; die y-Terme heben sich auf.

$\mathsf{x=4}$ — durch $\mathsf{-2}$ teilen.

$\mathsf{1\cdot(4)+(1)y=7}$ — x in I einsetzen.

$\mathsf{1y=3}$ — $\mathsf{4}$ auf beiden Seiten subtrahieren.

$\mathsf{y=3}$ — durch $\mathsf{1}$ teilen.

$\mathsf{1\cdot(4)+(1)\cdot(3)=7}$ — Probe in I.

$\mathsf{1\cdot(4)+(-1)\cdot(3)=1}$ — Probe in II.

Erklärung 02

Passende Faktoren und drei Variablen

Für Koeffizienten 4 und 6 ist 12 ein gemeinsames Vielfaches. Das kgV hält die Zahlen oft klein: Faktoren 3 und −2 machen $\mathsf{12y}$ und $\mathsf{-12y}$ .

Auch andere von 0 verschiedene Faktoren funktionieren. Entscheidend sind entgegengesetzte Koeffizienten. Bei drei Variablen beseitigst du schrittweise Variablen und setzt anschließend zurück ein.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\mathsf I:x+y+z=6}$ , $\mathsf{\mathsf{II}:x-y+z=2}$ , $\mathsf{\mathsf{III}:x+y-z=0}$ . Prüfe alle drei Gleichungen.

$\mathsf{2y=4}$ — II von I abziehen.

$\mathsf{y=2}$ — durch 2 teilen.

$\mathsf{2z=6}$ — III von I abziehen.

$\mathsf{z=3}$ — durch 2 teilen.

$\mathsf{x+2+3=6}$ — y und z in I einsetzen.

$\mathsf{x+5=6}$ — die Zahlen zusammenfassen.

$\mathsf{x=1}$ — 5 subtrahieren.

$\mathsf{1+2+3=6}$ — Probe in I.

$\mathsf{1-2+3=2}$ — Probe in II.

$\mathsf{1+2-3=0}$ — Probe in III.

Erklärung 03

Widerspruch oder Abhängigkeit

Nach der Elimination kann eine falsche Zahlengleichung oder eine Identität entstehen. Prüfe in beiden Fällen die verbleibenden Bedingungen.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{x+y=4}$ und $\mathsf{2x+2y=11}$ . Begründe die Anzahl der Lösungen.

$\mathsf{2x+2y=8}$ — die erste Gleichung mit 2 multiplizieren.

$\mathsf{0=3}$ — die verdoppelte erste Gleichung von der zweiten abziehen.

Der Widerspruch kann für kein Zahlenpaar wahr sein.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{x+y=4}$ und $\mathsf{2x+2y=8}$ . Beschreibe alle Lösungen.

$\mathsf{2x+2y=8}$ — die erste Gleichung mit 2 multiplizieren.

$\mathsf{0=0}$ — die beiden gleichen Gleichungen subtrahieren.

Es bleibt nur die Bedingung $\mathsf{x+y=4}$ .

$\mathsf{y=4-x}$ — x auf beiden Seiten subtrahieren.

Für jedes reelle x liefert diese Gleichung einen y-Wert.

Erklärung 04

Verfahren gezielt wählen

Das Verfahren ist günstig, wenn passende Koeffizienten schon vorliegen oder leicht entstehen. Eine bereits freigestellte Variable kann das Einsetzungsverfahren kürzer machen.

Das Gleichsetzungsverfahren vergleicht zwei Ausdrücke derselben Variable. Für viele Gleichungen führt das Gauß-Verfahren die Elimination geordnet fort.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Additionsverfahren · EinstiegLöse das System und prüfe beide Gleichungen. $\begin{aligned}\mathsf{\mathsf{I}:\;}&\mathsf{{}1x+1y=9}\\\mathsf{\mathsf{II}:\;}&\mathsf{{}1x-1y=3}\end{aligned}$ Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1x-1y=-9}$ — I vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1x+1y=-3}$ — II vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x=-12}$ — die Gleichungen addieren; die y-Terme heben sich auf.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=6}$ — durch $\mathsf{-2}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(6)+(1)y=9}$ — x in I einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1y=3}$ — $\mathsf{6}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3}$ — durch $\mathsf{1}$ teilen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(6)+(1)\cdot(3)=9}$ — Probe in I.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(6)+(-1)\cdot(3)=3}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=6}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=3}$
02
Aufgabe 2Additionsverfahren · EinstiegLöse das System und prüfe beide Gleichungen. $\begin{aligned}\mathsf{\mathsf{I}:\;}&\mathsf{{}2x+1y=8}\\\mathsf{\mathsf{II}:\;}&\mathsf{{}3x-1y=7}\end{aligned}$ Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x-1y=-8}$ — I vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-3x+1y=-7}$ — II vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-5x=-15}$ — die Gleichungen addieren; die y-Terme heben sich auf.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — durch $\mathsf{-5}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(3)+(1)y=8}$ — x in I einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1y=2}$ — $\mathsf{6}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2}$ — durch $\mathsf{1}$ teilen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(3)+(1)\cdot(2)=8}$ — Probe in I.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot(3)+(-1)\cdot(2)=7}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=3}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=2}$
03
Aufgabe 3Additionsverfahren · StandardLöse das System und prüfe beide Gleichungen. $\begin{aligned}\mathsf{\mathsf{I}:\;}&\mathsf{{}2x+3y=12}\\\mathsf{\mathsf{II}:\;}&\mathsf{{}3x-2y=5}\end{aligned}$ Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-4x-6y=-24}$ — I vollständig mit $\mathsf{-2}$ multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-9x+6y=-15}$ — II vollständig mit $\mathsf{-3}$ multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-13x=-39}$ — die Gleichungen addieren; die y-Terme heben sich auf.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — durch $\mathsf{-13}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(3)+(3)y=12}$ — x in I einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3y=6}$ — $\mathsf{6}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2}$ — durch $\mathsf{3}$ teilen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(3)+(3)\cdot(2)=12}$ — Probe in I.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot(3)+(-2)\cdot(2)=5}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=3}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=2}$
04
Aufgabe 4Additionsverfahren · StandardLöse das System und prüfe beide Gleichungen. $\begin{aligned}\mathsf{\mathsf{I}:\;}&\mathsf{{}3x+4y=14}\\\mathsf{\mathsf{II}:\;}&\mathsf{{}5x+6y=22}\end{aligned}$ Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{9x+12y=42}$ — I vollständig mit $\mathsf{3}$ multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-10x-12y=-44}$ — II vollständig mit $\mathsf{-2}$ multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1x=-2}$ — die Gleichungen addieren; die y-Terme heben sich auf.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — durch $\mathsf{-1}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot(2)+(4)y=14}$ — x in I einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4y=8}$ — $\mathsf{6}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2}$ — durch $\mathsf{4}$ teilen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot(2)+(4)\cdot(2)=14}$ — Probe in I.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5\cdot(2)+(6)\cdot(2)=22}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=2}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=2}$
05
Aufgabe 5Additionsverfahren · StandardLöse das System und prüfe beide Gleichungen. $\begin{aligned}\mathsf{\mathsf{I}:\;}&\mathsf{{}2x-3y=-7}\\\mathsf{\mathsf{II}:\;}&\mathsf{{}4x+3y=13}\end{aligned}$ Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x-3y=-7}$ — I vollständig mit $\mathsf{1}$ multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4x+3y=13}$ — II vollständig mit $\mathsf{1}$ multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{6x=6}$ — die Gleichungen addieren; die y-Terme heben sich auf.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=1}$ — durch $\mathsf{6}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(1)+(-3)y=-7}$ — x in I einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-3y=-9}$ — $\mathsf{2}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3}$ — durch $\mathsf{-3}$ teilen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(1)+(-3)\cdot(3)=-7}$ — Probe in I.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4\cdot(1)+(3)\cdot(3)=13}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=1}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=3}$
06
Aufgabe 6Additionsverfahren · StandardLöse das System und prüfe beide Gleichungen. $\begin{aligned}\mathsf{\mathsf{I}:\;}&\mathsf{{}2x+1y=2}\\\mathsf{\mathsf{II}:\;}&\mathsf{{}1x-2y=-4}\end{aligned}$ Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-4x-2y=-4}$ — I vollständig mit $\mathsf{-2}$ multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1x+2y=4}$ — II vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-5x=0}$ — die Gleichungen addieren; die y-Terme heben sich auf.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ — durch $\mathsf{-5}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(0)+(1)y=2}$ — x in I einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1y=2}$ — $\mathsf{0}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2}$ — durch $\mathsf{1}$ teilen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(0)+(1)\cdot(2)=2}$ — Probe in I.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(0)+(-2)\cdot(2)=-4}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=0}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=2}$
07
Aufgabe 7Additionsverfahren · StandardUntersuche $\mathsf{x+y=4}$ und $\mathsf{2x+2y=11}$ . Begründe die Anzahl der Lösungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+2y=8}$ — die erste Gleichung mit 2 multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=3}$ — die verdoppelte erste Gleichung von der zweiten abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Der Widerspruch kann für kein Zahlenpaar wahr sein.
Ergebnis
1. Anzahl und Begründung $\mathsf{L=\varnothing}$ . Die Gleichungen widersprechen sich.
08
Aufgabe 8Additionsverfahren · VertiefungUntersuche $\mathsf{x+y=4}$ und $\mathsf{2x+2y=8}$ . Beschreibe alle Lösungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösungsmenge mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+2y=8}$ — die erste Gleichung mit 2 multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=0}$ — die beiden gleichen Gleichungen subtrahieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Es bleibt nur die Bedingung $\mathsf{x+y=4}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=4-x}$ — x auf beiden Seiten subtrahieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Für jedes reelle x liefert diese Gleichung einen y-Wert.
Ergebnis
1. Lösungsmenge mit Begründung $\mathsf{L=\{(t\mid 4-t):t\in\mathbb R\}}$
09
Aufgabe 9Additionsverfahren · VertiefungBei $\mathsf{2x+3y=7}$ multipliziert jemand mit 2 und schreibt $\mathsf{4x+6y=7}$ . a) Erkläre den Fehler. b) Löse das ursprüngliche System zusammen mit $\mathsf{4x-6y=2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Fehlererklärung
b) x-Wert mit Rechnung
b) y-Wert und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die rechte Seite wurde nicht mit 2 multipliziert. Richtig ist $\mathsf{4x+6y=14}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-4x-6y=-14}$ — I vollständig mit $\mathsf{-2}$ multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-4x+6y=-2}$ — II vollständig mit $\mathsf{-1}$ multiplizieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-8x=-16}$ — die Gleichungen addieren; die y-Terme heben sich auf.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — durch $\mathsf{-8}$ teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(2)+(3)y=7}$ — x in I einsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3y=3}$ — $\mathsf{4}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=1}$ — durch $\mathsf{3}$ teilen.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(2)+(3)\cdot(1)=7}$ — Probe in I.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4\cdot(2)+(-6)\cdot(1)=2}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) FehlererklärungAuch die rechte Seite wird multipliziert: $\mathsf{2\cdot7=14}$ .
2. b) x-Wert mit Rechnung $\mathsf{x=2}$
3. b) y-Wert und Probe $\mathsf{y=1}$
10
Aufgabe 10Additionsverfahren · VertiefungLöse $\mathsf{\mathsf I:x+y+z=6}$ , $\mathsf{\mathsf{II}:x-y+z=2}$ , $\mathsf{\mathsf{III}:x+y-z=0}$ . Prüfe alle drei Gleichungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechnung
y-Wert mit Rechnung
z-Wert und Proben
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2y=4}$ — II von I abziehen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2}$ — durch 2 teilen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2z=6}$ — III von I abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=3}$ — durch 2 teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+2+3=6}$ — y und z in I einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+5=6}$ — die Zahlen zusammenfassen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=1}$ — 5 subtrahieren.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1+2+3=6}$ — Probe in I.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1-2+3=2}$ — Probe in II.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1+2-3=0}$ — Probe in III.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechnung $\mathsf{x=1}$
2. y-Wert mit Rechnung $\mathsf{y=2}$
3. z-Wert und Proben $\mathsf{z=3}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erfülle mit einer Lösung alle ursprünglichen Gleichungen.
Ich erkläre jeden Umformungsschritt und setze zurück ein.
Ich unterscheide eine, keine und unendlich viele Lösungen.

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