Eigenschaften von Funktionen · Erklären & üben

Lineare Interpolation

Lineare Interpolation schätzt einen Wert zwischen zwei bekannten Stützpunkten durch eine Gerade. Sie ist ein Modell zwischen den Messwerten, keine Garantie für den tatsächlichen Verlauf.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei Stützpunkte bestimmen eine Gerade

Gegeben seien (x₀|y₀) und (x₁|y₁) mit x₀<x₁. Für einen Zwischenwert x im Intervall berechnest du erst die Steigung und dann den Anteil des Wegs vom ersten Punkt.

Der Nenner x₁−x₀ muss ungleich null sein. Zwei verschiedene y-Werte bei gleichem x bestimmen keine Interpolationsfunktion y(x).

$\mathsf{y=y_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}(y_1-y_0)}$

Beschriftetes Temperatur-Zeit-Diagramm mit beiden Stützpunkten, Verbindungsgerade und interpoliertem Punkt bei 4 Minuten.

So geht es am Beispiel

Bei t=0 min beträgt die Temperatur 20 °C, bei t=10 min 30 °C. Schätze den Wert bei t=4 min.

$\mathsf{m=(30-20)/(10-0)=1}$ — °C pro Minute.

$\mathsf{T(4)=20+1\cdot(4-0)}$ — Startwert plus Änderung.

$\mathsf{T(4)=24}$ — ausrechnen.

Erklärung 02

Gewichte und Einheiten

Der Anteil λ=(x−x₀)/(x₁−x₀) liegt bei Interpolation zwischen 0 und 1. Das Ergebnis ist (1−λ)y₀+λy₁.

Bei fallenden Messwerten ist die Steigung negativ. Die Einheit der Steigung lautet y-Einheit pro x-Einheit; das Ergebnis hat die Einheit der y-Werte.

So geht es am Beispiel

Ein Füllstand ist nach 2 min 80 cm und nach 6 min 60 cm. Interpoliere bei 3 min.

$\mathsf{\lambda=(3-2)/(6-2)=1/4}$ — Anteil.

$\mathsf{y=80+\frac14(60-80)}$ — Differenz verwenden.

$\mathsf{y=80-5}$ — Änderung.

$\mathsf{y=75}$ — Ergebnis.

Erklärung 03

Interpolation und Extrapolation trennen

Liegt x zwischen den Stützstellen, heißt die Schätzung Interpolation. Außerhalb heißt sie Extrapolation; dann ist λ<0 oder λ>1.

Außerhalb des Messbereichs ist eine Fortsetzung oft unsicherer. Auch innerhalb muss ein nichtlinearer tatsächlicher Verlauf nicht mit der Verbindungsgeraden übereinstimmen.

Eine lokale Linearisierung verwendet eine Tangente und eine Ableitung an einer Stelle. Lineare Interpolation verwendet dagegen zwei Stützpunkte.

Erklärung 04

Mehrere Messpunkte: passendes Teilintervall

Bei einer Tabelle mit mehreren Stützpunkten nimmst du die beiden unmittelbar benachbarten Punkte, zwischen denen der gesuchte x-Wert liegt. So entsteht eine stückweise lineare Schätzung.

An den Stützstellen trifft das Modell die vorgegebenen Werte. Die Steigung darf sich beim Übergang zum nächsten Teilintervall ändern.

So geht es am Beispiel

Messwerte: (0|10), (2|14), (5|20). Schätze y bei x=3.

$\mathsf{2<3<5}$ — richtige Nachbarn wählen.

$\mathsf{m=(20-14)/(5-2)=2}$ — Steigung.

$\mathsf{y(3)=14+2(3-2)}$ — von x=2 starten.

$\mathsf{y(3)=16}$ — Ergebnis.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Lineare Interpolation · GrundlagenInterpoliere zwischen (2|6) und (6|14) bei x=3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=(14-6)/(6-2)=2}$ — Steigung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=6+2(3-2)=8}$ — Zwischenwert.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis8.
02
Aufgabe 2Lineare Interpolation · GrundlagenInterpoliere zwischen (0|10) und (8|2) bei x=6.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=(2-10)/8=-1}$ — Steigung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=10-6=4}$ — einsetzen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis4.
03
Aufgabe 3Lineare Interpolation · GrundlagenMesspunkte: (1 s|3 m) und (5 s|11 m). Schätze den Ort bei 2 s und nenne die Einheit der Steigung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=(11-3)/(5-1)=2}$ — m/s.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s(2)=3+2(2-1)=5}$ — Meter.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis5 m; Steigung 2 m/s.
04
Aufgabe 4Lineare Interpolation · AnwendenWelche Art der Schätzung liegt bei Stützstellen 2 und 7 für x=4 und x=9 vor?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  4 liegt zwischen 2 und 7.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  9 liegt außerhalb des Stützintervalls.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisx=4: Interpolation; x=9: Extrapolation.
05
Aufgabe 5Lineare Interpolation · AnwendenBerechne die lineare Extrapolation zwischen (2|5) und (4|9) bei x=6. Kennzeichne sie ausdrücklich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=(9-5)/(4-2)=2}$ — Steigung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y(6)=5+2(6-2)=13}$ — Fortsetzung.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisExtrapolierter Wert 13; außerhalb des Stützbereichs.
06
Aufgabe 6Lineare Interpolation · AnwendenTabelle: (0|0), (2|4), (4|16). Interpoliere stückweise linear bei x=3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Benachbarte Stützpunkte sind (2|4) und (4|16).
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{m=(16-4)/(4-2)=6}$ — Steigung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y(3)=4+6(3-2)=10}$ — Schätzung.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis10; bei tatsächlichem y=x² wäre der Wert 9, das Modell ist nicht exakt.
07
Aufgabe 7Lineare Interpolation · AnwendenWarum sind (3|5) und (3|8) keine geeigneten Stützpunkte für eine lineare Interpolation y(x)?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1-x_0=3-3=0}$ — Nenner.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Funktion y(x) kann derselben Eingabe nicht beide verschiedenen Werte zuordnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisKeine eindeutige Interpolationsfunktion.
08
Aufgabe 8Lineare Interpolation · VertiefenBerechne λ für x=3 zwischen x₀=1 und x₁=9. Bestimme damit y bei y₀=12 und y₁=20.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lambda=(3-1)/(9-1)=1/4}$ — Anteil.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=12+\frac14(20-12)}$ — Änderung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=14}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisλ=1/4, y=14.
09
Aufgabe 9Lineare Interpolation · VertiefenVerbinde die gegebenen Temperaturmesspunkte A und B. Markiere den interpolierten Wert bei 4 min und zeichne Ablesehilfen zu beiden Achsen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{m=(30-20)/10=1}$ — °C/min.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{T(4)=20+4=24}$ — °C.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungP(4 min|24 °C).

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beachte Definitionsbereich und Grenzwertrichtung.
Ich trenne exakte Aussagen und Modellschätzungen.
Ich beschrifte Punkte, Achsen und Einheiten.

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