Eigenschaften von Funktionen · Erklären & üben

Asymptote

Eine Asymptote beschreibt das Verhalten eines Graphen bei einer Annäherung. Sie ist keine allgemeine Grenze, die ein Graph niemals schneiden dürfte.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Senkrechte Asymptote und Polstelle

Wenn f(x) bei Annäherung an a von mindestens einer Seite gegen +∞ oder −∞ geht, heißt x=a senkrechte Asymptote.

Eine Nullstelle des Nenners ist zunächst nur ein Kandidat. Kürzt sich der entsprechende Faktor vollständig und bleibt ein endlicher Grenzwert, liegt eine Lücke statt einer Polstelle vor. Die ursprüngliche Ausschlussstelle bleibt dabei erhalten.

Zwei getrennte Hyperbeläste mit korrekt skalierten Achsen, die zugleich die Asymptoten sind.

So geht es am Beispiel

Vergleiche f(x)=1/(x−1) und g(x)=(x²−1)/(x−1).

f: links von 1 gegen −∞, rechts gegen +∞.

Für g gilt $\mathsf{g(x)=x+1}$ bei x≠1.

$\mathsf{\lim_{x\to1}g(x)=2}$ — endlicher Grenzwert.

Erklärung 02

Waagerechte Asymptote

Wenn f(x) für x gegen +∞ oder −∞ gegen L geht, ist y=L auf dieser Seite eine waagerechte Asymptote. Beide Richtungen werden getrennt betrachtet.

Bei rationalen Funktionen hilft der höchste Exponent: Teile Zähler und Nenner durch die höchste Nennerpotenz.

So geht es am Beispiel

Bestimme die waagerechte Asymptote von (2x+1)/(x−3).

$\mathsf{\frac{2x+1}{x-3}=2+\frac7{x-3}}$ — umformen.

$\mathsf{\frac7{x-3}\to0}$ für x gegen ±∞.

$\mathsf{f(x)\to2}$ — Grenzwert.

Erklärung 03

Schiefe Asymptote und Abstand

Eine Gerade y=mx+b mit m≠0 ist schiefe Asymptote, wenn f(x)−(mx+b) gegen 0 geht. Entscheidend ist die Differenz, nicht ein ähnlich aussehender Graph.

Bei rationalen Funktionen mit um eins höherem Zählergrad liefert Polynomdivision häufig die Gerade plus einen Rest, der gegen 0 geht.

So geht es am Beispiel

Bestimme die schiefe Asymptote von (x²+1)/x.

$\mathsf{f(x)=x+1/x}$ — Bruch aufteilen.

$\mathsf{f(x)-x=1/x}$ — Gerade abziehen.

$\mathsf{1/x\to0}$ für x gegen ±∞.

Erklärung 04

Schneiden erlaubt; weitere Fälle

Der Graph kann eine waagerechte oder schiefe Asymptote bei endlichen x schneiden. Beispielsweise geht x/(x²+1) gegen 0 und schneidet y=0 bei x=0.

e hoch −x hat y=0 als waagerechte Asymptote nach rechts, aber nicht nach links. Die Richtung gehört zur Aussage.

Zusatz: Auch eine Kurve kann das Verhalten beschreiben. Für x²+1/x gilt f(x)−x²=1/x→0; y=x² ist eine parabolische Annäherungskurve. Der Schwerpunkt hier bleibt auf geraden Asymptoten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Asymptote · GrundlagenBestimme die senkrechte Asymptote von 2/(x+4).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+4=0\Rightarrow x=-4}$ — Kandidat.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Zähler bleibt 2; der Betrag wächst an der Stelle unbegrenzt.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisx=−4.
02
Aufgabe 2Asymptote · GrundlagenUntersuche (x²−9)/(x−3) bei 3: Loch oder Pol?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-9=(x-3)(x+3)}$ — faktorisieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=x+3}$ für x≠3.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to3}f(x)=6}$ — endlich.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisLücke bei (3|6); keine senkrechte Asymptote.
03
Aufgabe 3Asymptote · GrundlagenBestimme alle geraden Asymptoten von (3x−1)/(x+2).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=3-7/(x+2)}$ — zerlegen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Rest geht im Unendlichen gegen 0.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Bei −2 bleibt der ursprüngliche Zähler −7 ungleich null.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisy=3 und x=−2.
04
Aufgabe 4Asymptote · AnwendenBestimme die schiefe Asymptote von (x²+2x+3)/x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=x+2+3/x}$ — aufteilen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)-(x+2)=3/x\to0}$ — Rest.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisy=x+2; zusätzlich senkrecht x=0.
05
Aufgabe 5Asymptote · AnwendenBestimme die waagerechte Asymptote von 1/(x²+1). Gibt es eine senkrechte?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für große Beträge von x wächst der Nenner unbegrenzt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  x²+1 ist immer positiv und nie null.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisy=0; keine senkrechte Asymptote.
06
Aufgabe 6Asymptote · AnwendenZeige, dass x/(x²+1) seine waagerechte Asymptote schneidet.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=\frac{1/x}{1+1/x^2}\to0}$ — für x gegen ±∞.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=0}$ — Schnittpunkt.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisy=0 wird bei (0|0) geschnitten.
07
Aufgabe 7Asymptote · AnwendenFür welche Richtung besitzt e hoch −x die Asymptote y=0?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für x→+∞ geht −x→−∞ und e hoch −x gegen 0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für x→−∞ wächst e hoch −x unbegrenzt.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNur nach rechts, x→+∞.
08
Aufgabe 8Asymptote · VertiefenPrüfe die Aussage: y=x² ist eine Annäherungskurve zu x²+1/x im Unendlichen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)-x^2=1/x}$ — Differenz.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1/x\to0}$ — beide Richtungen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisRichtig; eine kurvenförmige, keine schiefe Geradenasymptote.
09
Aufgabe 9Asymptote · VertiefenZeichne für 1/x die beiden Asymptoten und die getrennten Äste durch (−1|−1) und (1|1). Verbinde die Äste nicht über x=0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Asymptoten x=0 und y=0.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Punkte gehören zu getrennten Ästen in Quadrant III und I.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungZwei getrennte Äste, Asymptoten sind die Achsen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beachte Definitionsbereich und Grenzwertrichtung.
Ich trenne exakte Aussagen und Modellschätzungen.
Ich beschrifte Punkte, Achsen und Einheiten.

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