AT Academy
Zum Mathematik-Inhalt

Regression und Zusammenhänge · Erklären & üben

Lineare Regression

Eine einfache lineare Regression passt eine Gerade an quantitative Datenpaare an. Hier führen wir die Handrechnung von den Mittelwerten bis zur Geraden durch und verbinden sie mit Pearson-Korrelation.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche Gerade wird gesucht?

Wir schätzen einen Achsenabschnitt und eine Steigung so, dass die Summe der quadrierten vertikalen Residuen minimal wird. Dafür müssen mindestens zwei unterschiedliche x-Werte vorhanden sein. In diesem einfachen Modell ist die Vorhersage eine Gerade. Allgemeiner bedeutet „linear“ bei Regression linear in den geschätzten Koeffizienten; ein Modell mit vorgegebenen Potenzen von x kann ebenfalls linear in seinen Koeffizienten sein. Solche Erweiterungen werden hier nicht angepasst.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

y^=a+bx,min⁡a,b∑i(yi−a−bxi)2\mathsf{\widehat y=a+bx,\qquad\min_{a,b}\sum_i(y_i-a-bx_i)^2}

Eigene Beobachtungen und OLS-Gerade mit proportionalen Achsen.

Erklärung 02

Mittelwerte, Produkte, Koeffizienten

Zentriere die x- und y-Werte um ihre Mittelwerte. Addiere die quadrierten x-Abweichungen zu Sxx und die Produkte beider Abweichungen zu Sxy. Teile Sxy durch Sxx und bestimme danach den Achsenabschnitt. Alle Größen werden aus denselben gepaarten Beobachtungen berechnet.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

b=SxySxx,a=yˉ−bxˉ\mathsf{b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad a=\bar y-b\bar x}

Zentrierte Daten und Produkte für die Koeffizientenrechnung.

So geht es am Beispiel

Berechne die Gerade zu den Daten (1|2), (2|2), (3|5).

xˉ=2,yˉ=3\mathsf{\bar x=2,\quad\bar y=3}
Sxx=(−1)2+02+12=2\mathsf{S_{xx}=(-1)^2+0^2+1^2=2}
Sxy=(−1)(−1)+0(−1)+1⋅2=3\mathsf{S_{xy}=(-1)(-1)+0(-1)+1\cdot2=3}
b=3/2=1,5,a=3−1,5⋅2=0\mathsf{b=3/2=1{,}5,\quad a=3-1{,}5\cdot2=0}

Ergebnis

Die OLS-Gerade lautet 1,5x.

So geht es am Beispiel

Berechne eine Vorhersage bei x = 2,5 und die drei Residuen des Beispiels.

y^(2,5)=1,5⋅2,5=3,75\mathsf{\widehat y(2{,}5)=1{,}5\cdot2{,}5=3{,}75}

An den beobachteten x-Werten sind die Modellwerte 1,5; 3; 4,5.

e1=0,5,e2=−1,e3=0,5\mathsf{e_1=0{,}5,\quad e_2=-1,\quad e_3=0{,}5}

Ergebnis

Die Vorhersage ist 3,75; die Residuen summieren sich zu 0.

Erklärung 03

Den linearen Zusammenhang beschreiben

Pearson r, auch Bravais-Pearson-Koeffizient, misst Richtung und Stärke des linearen Zusammenhangs quantitativer Daten. Beide Merkmale müssen positive Streuung besitzen. Zur deskriptiven Berechnung ist keine Normalverteilung nötig; Signifikanztests brauchen weitere Voraussetzungen und sind hier nicht enthalten. r ist die Kovarianz geteilt durch das Produkt beider Standardabweichungen, wenn überall dieselbe Nennerkonvention verwendet wird. Es liegt zwischen −1 und 1. Beträge nahe 1 bedeuten einen engen linearen Zusammenhang, keine Kausalität. r = 0 schließt einen nichtlinearen Zusammenhang nicht aus. Ausreißer können den Wert stark verändern. Es gibt keine universelle Grenze, ab der ein Zusammenhang in jedem Fach „stark“ wäre.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

r=SxySxxSyy=cov⁡(x,y)sxsy\mathsf{r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}=\frac{\operatorname{\textsf{cov}}(x,y)}{s_xs_y}}

So geht es am Beispiel

Berechne Pearson r für die Daten aus Beispiel 1.

Syy=(−1)2+(−1)2+22=6\mathsf{S_{yy}=(-1)^2+(-1)^2+2^2=6}
r=32⋅6=32≈0,866\mathsf{r=\frac3{\sqrt{2\cdot6}}=\frac{\sqrt3}2\approx0{,}866}

Bei dieser einfachen OLS-Anpassung mit Achsenabschnitt gilt R² = r² = 0,75. Die positive Richtung folgt aus r; R² trägt kein Vorzeichen.

Ergebnis

Pearson r beträgt ungefähr 0,866.

Erklärung 04

Den Geltungsbereich benennen

Die einfache Regression nutzt eine erklärende Variable; multiple Regression mehrere. Deren gemeinsame Schätzung und Inferenz werden hier nicht durchgeführt. Korrelation beschreibt eine Zuordnung, eine Ursache erfordert zusätzliche Untersuchungen: Dritte Größen oder umgekehrte Wirkungsrichtung können eine beobachtete Verbindung erklären. Bei Rangdaten kann eine Rangkorrelation sinnvoll sein; bei kategorialen Häufigkeitstafeln etwa Cramérs V als Anschluss an den Chi-Quadrat-Test. Diese Maße sind nicht mit Pearson r gleichzusetzen. Vorhersagen außerhalb des beobachteten Bereichs bleiben Extrapolationen. Gute Anpassung an vorhandene Daten garantiert keine guten neuen Vorhersagen.

  1. Ordne die Datenpaare den beiden Achsen und ihren Einheiten zu.

  2. Rechne mit ungerundeten Werten; begründe anschließend die Interpretation.

b=rsysxim einfachen OLS-Modell mit Achsenabschnitt\mathsf{b=r\frac{s_y}{s_x}\quad\textsf{im einfachen OLS-Modell mit Achsenabschnitt}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Lineare Regression · EinstiegBerechne beide Mittelwerte der Datenpaare (1|2), (2|2), (3|5).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      xˉ=(1+2+3)/3=2\mathsf{\bar x=(1+2+3)/3=2}
      yˉ=(2+2+5)/3=3\mathsf{\bar y=(2+2+5)/3=3}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Mittelwert x2\mathsf{2}
    2. Mittelwert y3\mathsf{3}
  2. Aufgabe 2Lineare Regression · EinstiegDie zentrierten x-Werte sind −1, 0, 1 und die zentrierten y-Werte −1, −1, 2. Berechne Sxx und Sxy.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Sxx=1+0+1=2\mathsf{S_{xx}=1+0+1=2}
      Sxy=1+0+2=3\mathsf{S_{xy}=1+0+2=3}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Sxx2\mathsf{2}
    2. Sxy3\mathsf{3}
  3. Aufgabe 3Lineare Regression · StandardBestimme Steigung und Achsenabschnitt aus Sxx = 2, Sxy = 3, x-Mittelwert 2 und y-Mittelwert 3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      b=3/2=1,5\mathsf{b=3/2=1{,}5}
      a=3−1,5⋅2=0\mathsf{a=3-1{,}5\cdot2=0}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Steigung1,5\mathsf{1{,}5}
    2. Achsenabschnitt0\mathsf{0}
  4. Aufgabe 4Lineare Regression · StandardBerechne die Vorhersage der Geraden y^=1,5x\mathsf{\widehat y=1{,}5x} bei x = 2,5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y^=1,5⋅2,5=3,75\mathsf{\widehat y=1{,}5\cdot2{,}5=3{,}75}

    Ergebnis

    1. Vorhersage3,75\mathsf{3{,}75}
  5. Aufgabe 5Lineare Regression · TransferZeichne die OLS-Gerade y^=1,5x\mathsf{\widehat y=1{,}5x} in die vorbereitete Punktdarstellung. Erhalte alle gegebenen Beobachtungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Regressionsgerade

    Vorbereitete Darstellung mit unveränderten Vorgaben.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Nutze beispielsweise die Punkte (0|0) und (4|6). Die Gerade läuft durch den Schwerpunkt (2|3), aber nicht durch alle Beobachtungen.

    Ergebnis

    1. RegressionsgeradeGerade durch (0|0) und (4|6), Beobachtungen erhalten.
  6. Aufgabe 6Lineare Regression · TransferBerechne Pearson r aus Sxy = 3, Sxx = 2 und Syy = 6. Nenne die Richtung des linearen Zusammenhangs.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=3/12≈0,866\mathsf{r=3/\sqrt{12}\approx0{,}866}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Das positive Vorzeichen beschreibt eine steigende lineare Zuordnung.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Pearson r0,866\mathsf{0{,}866}
    2. RichtungPositiver linearer Zusammenhang.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

AT Academy · Version 2026-10-21

Lineare Regression | AT Academy