Vektoren · Erklären & üben

Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren

Vektoren sind linear abhängig, wenn sich der Nullvektor mit Gewichten erzeugen lässt, die nicht alle null sind. Sind ausschließlich Nullgewichte möglich, sind die Vektoren linear unabhängig.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Nullkombination als Kriterium

Für zwei Vektoren prüfst du $\mathsf{r\vec a+s\vec b=\vec0}$ . Für drei kommt $\mathsf{t\vec c}$ hinzu. Die Gewichte dürfen reell sein.

Nullgewichte liefern immer den Nullvektor. Entscheidend ist daher, ob es auch eine nichttriviale Lösung gibt: Mindestens ein Gewicht ist dann ungleich null.

Abhängigkeit bedeutet, dass mindestens ein Vektor durch die anderen ausgedrückt werden kann. Bei Unabhängigkeit ist kein Vektor in dieser Weise entbehrlich.

Erklärung 02

Zwei Vektoren und der Nullvektor

Zwei Vektoren ungleich null sind abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Sie zeigen dann in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung. Prüfe denselben Faktor in jeder Komponente.

Enthält eine Vektorfamilie den Nullvektor, ist sie abhängig: Sein Gewicht kann 1 sein, während alle übrigen Gewichte null sind. Dividiere beim Faktorenvergleich niemals durch eine Nullkomponente.

Exakte Vektoren a(1,2) und b(2,4) auf derselben Ursprungsgeraden mit b=2a.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}-3\\-6\\0\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{-3\vec a=\begin{pmatrix}-3\\-6\\0\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit minus 3 multiplizieren.

$\mathsf{\vec b=-3\vec a}$ — derselbe Faktor passt in allen Komponenten.

$\mathsf{3\vec a+\vec b=\vec0}$ — 3a auf beiden Seiten addieren.

Die Gewichte 3 und 1 sind nicht beide null.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{r+2s=0}$ — erste Komponente der Nullkombination.

$\mathsf{2r+s=0}$ — zweite Komponente.

$\mathsf{2r+4s=0}$ — erste Gleichung mit 2 multiplizieren.

$\mathsf{-3s=0}$ — diese Gleichung von der zweiten abziehen.

$\mathsf{s=0}$ — durch minus 3 teilen.

$\mathsf{r+2\cdot0=0}$ — s in die erste Gleichung einsetzen.

$\mathsf{r=0}$ — zusammenfassen.

Nur die Nullgewichte sind möglich.

Erklärung 03

Drei Vektoren durch ein LGS prüfen

Schreibe die Vektoren als Spalten und vergleiche die Komponenten der Nullkombination. Es entsteht ein homogenes Gleichungssystem für die Gewichte.

Das Gauß-Verfahren beseitigt Gewichte zeilenweise. Ermöglicht das System einen freien Parameter, wähle ihn einmal ungleich null als Abhängigkeitsbeleg. Bei drei Pivots in drei Gewichtsspalten bleibt nur die Nulllösung.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{r+t=0}$ — erste Komponente.

$\mathsf{s+t=0}$ — zweite Komponente.

$\mathsf{r+s+2t=0}$ — dritte Komponente.

$\mathsf{s+t=0}$ — Zeile III minus Zeile I.

$\mathsf{0=0}$ — neue Zeile III minus Zeile II.

$\mathsf{t=1}$ — einen freien Parameterwert ungleich null wählen.

$\mathsf{r+1=0}$ — t in Zeile I einsetzen.

$\mathsf{r=-1}$ — 1 abziehen.

$\mathsf{s+1=0}$ — t in Zeile II einsetzen.

$\mathsf{s=-1}$ — 1 abziehen.

$\mathsf{-\vec a-\vec b+\vec c=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$ — alle Komponenten prüfen.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{r+s+t=0}$ — erste Komponente.

$\mathsf{s+t=0}$ — zweite Komponente.

$\mathsf{t=0}$ — dritte Komponente.

$\mathsf{s+0=0}$ — t in die zweite Gleichung einsetzen.

$\mathsf{s=0}$ — zusammenfassen.

$\mathsf{r+0+0=0}$ — s und t in die erste Gleichung einsetzen.

$\mathsf{r=0}$ — zusammenfassen.

Erklärung 04

Einordnung und weiterführende Theorie

Hier werden konkrete Vektoren der Ebene und des Raums geprüft. Das Nullkombinationskriterium lässt sich auf beliebig viele Vektoren verallgemeinern; die allgemeine Theorie endlichdimensionaler Vektorräume wird hier nicht entwickelt.

Bei einer quadratischen Matrix aus Vektorspalten kann auch die Determinante Unabhängigkeit prüfen. Berechnung und Begründung gehören zum eigenen Determinantenthema.

Matrizen können ihrerseits als Elemente eines Vektorraums betrachtet werden. Ihre lineare Unabhängigkeit ist ein anderes weiterführendes Lernziel und hier nicht behandelt. Nicht mit der Unabhängigkeit ihrer Spalten verwechseln.

Konkrete Linearkombinationen und ihre Gewichte behandelt Thema 2256. Das Gauß-Verfahren ist im vorherigen LGS-Block erklärt. Die vorliegende Einführung beansprucht keine allgemeine Matrix- oder Vektorraumschulung.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren · GrundlagenBestimme den Faktor k in $\mathsf{\vec b=k\vec a}$ und entscheide die Abhängigkeit für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor k
Abhängigkeit mit Grund
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1k=2}$ — eine Komponente ungleich null vergleichen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=2}$ — durch $\mathsf{1}$ teilen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}$ — den Faktor in allen Komponenten prüfen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Der zweite Vektor ist ein Vielfaches des ersten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktor k $\mathsf{k=2}$
2. Abhängigkeit mit GrundAbhängig: b ist ein Vielfaches von a.
02
Aufgabe 2Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren · GrundlagenBestimme den Faktor k in $\mathsf{\vec b=k\vec a}$ und entscheide die Abhängigkeit für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}-4\\2\\0\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor k
Abhängigkeit mit Grund
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2k=-4}$ — eine Komponente ungleich null vergleichen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=-2}$ — durch $\mathsf{2}$ teilen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\0\end{pmatrix}}$ — den Faktor in allen Komponenten prüfen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Der zweite Vektor ist ein Vielfaches des ersten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktor k $\mathsf{k=-2}$
2. Abhängigkeit mit GrundAbhängig: b ist ein Vielfaches von a.
03
Aufgabe 3Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren · GrundlagenBestimme den Faktor k in $\mathsf{\vec b=k\vec a}$ und entscheide die Abhängigkeit für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor k
Abhängigkeit mit Grund
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4k=2}$ — eine Komponente ungleich null vergleichen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=\frac{1}{2}}$ — durch $\mathsf{4}$ teilen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}}$ — den Faktor in allen Komponenten prüfen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Der zweite Vektor ist ein Vielfaches des ersten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktor k $\mathsf{k=\frac{1}{2}}$
2. Abhängigkeit mit GrundAbhängig: b ist ein Vielfaches von a.
04
Aufgabe 4Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren · AnwendenPrüfe die lineare Abhängigkeit von $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ . Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=2}$ — aus der ersten Komponente.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(2)=4\ne 3}$ — der Faktor passt nicht in jeder Komponente.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Vektoren sind ungleich null. Ohne gemeinsamen Faktor sind sie unabhängig.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie beiden Vektoren sind unabhängig.
05
Aufgabe 5Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren · AnwendenPrüfe die lineare Abhängigkeit von $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}$ . Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=2}$ — aus der ersten Komponente.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(1)=2\ne 3}$ — der Faktor passt nicht in jeder Komponente.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Vektoren sind ungleich null. Ohne gemeinsamen Faktor sind sie unabhängig.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie beiden Vektoren sind unabhängig.
06
Aufgabe 6Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren · AnwendenGib eine nichttriviale Nullkombination für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ an. Entscheide die Abhängigkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nichttriviale Nullkombination
Einordnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec a=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$ — ersten Vektor gewichten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\vec b=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}$ — zweiten Vektor gewichten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec a+3\vec b=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ — addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec a+3\vec b-\vec c=\vec0}$ — c abziehen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Nichttriviale Nullkombination $\mathsf{2\vec a+3\vec b-\vec c=\vec0}$
2. EinordnungAbhängig, da die Gewichte 2,3,−1 nicht alle null sind.
07
Aufgabe 7Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren · AnwendenPrüfe die Vektorfamilie $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}$ . Begründe mit einer nichttrivialen Nullkombination.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\vec a+0\vec b+0\vec c=\vec0}$ — a ist der Nullvektor.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Das erste Gewicht ist 1 und damit ungleich null.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie Familie ist abhängig.
08
Aufgabe 8Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren · VertiefenPrüfe $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}$ mit einem homogenen LGS.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r+2s=0}$ — erste Komponente.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s+3t=0}$ — zweite Komponente.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t=0}$ — dritte Komponente.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s+3\cdot0=0}$ — t einsetzen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=0}$ — zusammenfassen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r+2\cdot0=0}$ — s einsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=0}$ — zusammenfassen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  Nur die Nullgewichte sind möglich.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDie drei Vektoren sind unabhängig.
09
Aufgabe 9Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren · VertiefenFür welche reellen a sind $\mathsf{\vec u=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec v=\begin{pmatrix}a\\6\end{pmatrix}}$ abhängig? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2k=6}$ — zweite Komponente vergleichen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{k=3}$ — durch 2 teilen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=k\cdot1}$ — erste Komponente vergleichen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{a=3}$ — k einsetzen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Für jedes andere a passt derselbe Faktor nicht in beiden Komponenten.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGenau für $\mathsf{a=3}$ .
10
Aufgabe 10Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von Vektoren · VertiefenJemand behauptet: Drei verschiedene Vektoren im Raum sind immer unabhängig. Beurteile und gib ein Gegenbeispiel mit drei verschiedenen Vektoren ungleich null an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil mit Grund
Gegenbeispiel mit Nachweis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verschiedenheit verhindert keine nichttriviale Nullkombination.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad\vec b=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\quad\vec c=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ — drei verschiedene Vektoren.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\vec a+\vec b-\vec c=\vec0}$ — Abhängigkeit nachweisen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Urteil mit GrundFalsch: Verschiedene Vektoren können eine nichttriviale Nullkombination erlauben.
2. Gegenbeispiel mit Nachweis $\mathsf{\vec a=(1,0,0),\ \vec b=(0,1,0),\ \vec c=(1,1,0)}$ und $\mathsf{\vec a+\vec b-\vec c=\vec0}$ .

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Punkte, Vektoren und ihre Gewichte.
Ich rechne komponentenweise und prüfe alle Bedingungen.
Ich begründe meine Einordnung mit einer Rechnung.

AT Academy · Version 2026-10-21