Vektoren · Erklären & üben

Linearkombination

Eine Linearkombination entsteht, indem du Vektoren mit Zahlen multiplizierst und addierst. Die Zahlen heißen Gewichte oder Koeffizienten. Um unbekannte Gewichte zu finden, löst du ein Gleichungssystem.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vektoren gewichten und addieren

Für Vektoren $\mathsf{\vec a,\vec b}$ und reelle Zahlen r,s ist $\mathsf{r\vec a+s\vec b}$ eine Linearkombination. Ohne weitere Einschränkung dürfen Gewichte auch negativ oder null sein.

Du rechnest komponentenweise. Multipliziere zuerst jeden Vektor vollständig mit seinem Gewicht und addiere anschließend.

Koordinatengenaue Verkettung 2a plus3b von (0,0) über (2,0) nach (2,3).

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2\vec a-\vec b}$ für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{2\vec a=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem ersten Gewicht multiplizieren.

$\mathsf{-1\vec b=\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem zweiten Gewicht multiplizieren.

$\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}}$ — die Komponenten addieren.

Erklärung 02

Unbekannte Gewichte und Spann

Soll ein Zielvektor $\mathsf{\vec w}$ aus vorgegebenen Vektoren entstehen, setze $\mathsf{r\vec a+s\vec b=\vec w}$ an. Jede Koordinate liefert eine Gleichung für dieselben Gewichte.

Der Spann ist die Menge aller so erreichbaren Vektoren. Zwei nicht parallele Vektoren der Ebene erreichen jeden Ebenenvektor. Zwei parallele Vektoren ungleich null erreichen nur ihre gemeinsame Ursprungsgerade.

Gibt es keinen passenden Satz von Gewichten, gehört der Zielvektor nicht zum Spann. Bei abhängigen Ausgangsvektoren können verschiedene Gewichte denselben Zielvektor erzeugen.

So geht es am Beispiel

Bestimme r und s in $\mathsf{r\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{r+s=6}$ — erste Komponente vergleichen.

$\mathsf{r-s=2}$ — zweite Komponente vergleichen.

$\mathsf{2r=8}$ — beide Gleichungen addieren.

$\mathsf{r=4}$ — durch 2 teilen.

$\mathsf{4+s=6}$ — r in die erste Gleichung einsetzen.

$\mathsf{s=2}$ — 4 abziehen.

$\mathsf{4\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}$ — beide Komponenten prüfen.

So geht es am Beispiel

Ist $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ eine Linearkombination von $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$ ?

$\mathsf{r+2s=1}$ — erste Komponente.

$\mathsf{2r+4s=0}$ — zweite Komponente.

$\mathsf{2r+4s=2}$ — erste Gleichung mit 2 multiplizieren.

$\mathsf{0=-2}$ — diese Gleichung von der zweiten abziehen.

Der Widerspruch schließt passende Gewichte aus.

Erklärung 03

Optional: eingeschränkte Gewichte

Konisch: Alle Gewichte sind nichtnegativ. Ihre Summe muss nicht 1 sein. Für $\mathsf{\vec a=(1,0)}$ und $\mathsf{\vec b=(0,1)}$ ergeben die Gewichte 2 und 3 den Vektor (2,3).

Affin: Die Gewichte ergeben zusammen 1. Negative Gewichte sind erlaubt. Bei denselben Ausgangsvektoren ergeben 2 und minus 1 den Vektor (2,−1).

Konvex: Die Gewichte sind nichtnegativ und ergeben zusammen 1. Für zwei Punkte beschreibt dies die Verbindungsstrecke, einschließlich der Endpunkte. Bei zwei verschiedenen Punkten beschreiben affine Kombinationen ihre gesamte Gerade.

Diese Beispiele erklären die Bedingungen in der Ebene. Allgemeine Kegel, affine Räume und konvexe Mengen bleiben einer weiterführenden Behandlung vorbehalten.

So geht es am Beispiel

Prüfe für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$ die Gewichte $\mathsf{r=\frac14}$ , $\mathsf{s=\frac34}$ . Berechne den Vektor und ordne die Kombination ein.

$\mathsf{\frac14\vec a=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\0\end{pmatrix}}$ — ersten Vektor gewichten.

$\mathsf{\frac34\vec b=\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}$ — zweiten Vektor gewichten.

$\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\3\end{pmatrix}}$ — addieren.

$\mathsf{\frac14+\frac34=1}$ — Gewichtssumme prüfen.

Beide Gewichte sind nichtnegativ. Beide Bedingungen sind erfüllt.

Erklärung 04

Verbindungen und Tiefengrenze

Lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass nur die Nullgewichte den Nullvektor erzeugen; dieses Lernziel wird im eigenen Thema geprüft. Der Mittelpunkt ist die Kombination der beiden Ortsvektoren mit den Gewichten ein Halb und ein Halb.

Weitere Vektorverfahren wie Skalar- und Kreuzprodukt haben andere Ziele. Die hier behandelten Gewichte werden durch Komponentenvergleich und kleine LGS bestimmt. Allgemeine Vektorräume sind kein vorausgesetztes Schulthema dieses Materials.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Linearkombination · GrundlagenBerechne $\mathsf{3\vec a+(2)\vec b}$ für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\vec a=\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem ersten Gewicht multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec b=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem zweiten Gewicht multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ — die Komponenten addieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$
02
Aufgabe 2Linearkombination · GrundlagenBerechne $\mathsf{2\vec a+(3)\vec b}$ für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec a=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem ersten Gewicht multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\vec b=\begin{pmatrix}-3\\9\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem zweiten Gewicht multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix}}$ — die Komponenten addieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix}}$
03
Aufgabe 3Linearkombination · GrundlagenBerechne $\mathsf{-1\vec a+(2)\vec b}$ für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1\vec a=\begin{pmatrix}-1\\-2\\-3\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem ersten Gewicht multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec b=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem zweiten Gewicht multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}3\\-2\\-5\end{pmatrix}}$ — die Komponenten addieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}3\\-2\\-5\end{pmatrix}}$
04
Aufgabe 4Linearkombination · AnwendenBerechne $\mathsf{\frac{1}{2}\vec a+(\frac{1}{2})\vec b}$ für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{1}{2}\vec a=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem ersten Gewicht multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{1}{2}\vec b=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem zweiten Gewicht multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$ — die Komponenten addieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\vec w=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$
05
Aufgabe 5Linearkombination · AnwendenBestimme r und s für $\mathsf{r\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gewicht r
Gewicht s
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r+s=8}$ — erste Komponente.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r-s=2}$ — zweite Komponente.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2r=10}$ — Gleichungen addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=5}$ — durch 2 teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5+s=8}$ — r einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=3}$ — r abziehen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5+(3)=8}$ — erste Probe.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5-(3)=2}$ — zweite Probe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gewicht r $\mathsf{r=5}$
2. Gewicht s $\mathsf{s=3}$
06
Aufgabe 6Linearkombination · AnwendenBestimme r und s für $\mathsf{r\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gewicht r
Gewicht s
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r+s=1}$ — erste Komponente.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r-s=5}$ — zweite Komponente.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2r=6}$ — Gleichungen addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=3}$ — durch 2 teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3+s=1}$ — r einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=-2}$ — r abziehen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3+(-2)=1}$ — erste Probe.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3-(-2)=5}$ — zweite Probe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gewicht r $\mathsf{r=3}$
2. Gewicht s $\mathsf{s=-2}$
07
Aufgabe 7Linearkombination · AnwendenPrüfe, ob $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ im Spann von $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$ liegt. Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r+2s=2}$ — erste Komponente.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2r+4s=1}$ — zweite Komponente.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2r+4s=4}$ — erste Gleichung mit 2 multiplizieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=-3}$ — von der zweiten Gleichung abziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein; das Gleichungssystem ist widersprüchlich.
08
Aufgabe 8Linearkombination · VertiefenGib zwei verschiedene Gewichtspaare (r,s) an, die aus $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$ den Vektor $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}$ erzeugen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erstes Gewichtspaar
Zweites Gewichtspaar
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r+2s=3}$ — die erste Komponente muss 3 sein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(r,s)=(3,0)}$ — ergibt 3a.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(r,s)=(1,1)}$ — ergibt a+b.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}$ — erstes Paar prüfen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}$ — zweites Paar prüfen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erstes Gewichtspaar $\mathsf{(r,s)=(3,0)}$
2. Zweites Gewichtspaar $\mathsf{(r,s)=(1,1)}$
09
Aufgabe 9Linearkombination · VertiefenFür zwei Vektoren sind die Gewichte r = 2 und s = −1 gegeben. Prüfe getrennt, ob die Kombination konisch, affin und konvex ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konisch? Mit Grund
Affin? Mit Grund
Konvex? Mit Grund
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2+(-1)=1}$ — Gewichtssumme.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das zweite Gewicht ist negativ. Konisch und konvex verlangen nichtnegative Gewichte.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Konisch? Mit GrundNein: s ist negativ.
2. Affin? Mit GrundJa: 2 + (−1) = 1.
3. Konvex? Mit GrundNein: s ist negativ.
10
Aufgabe 10Linearkombination · VertiefenFür $\mathsf{A(0|2)}$ und $\mathsf{B(8|6)}$ gilt $\mathsf{\vec p=\frac34\vec a+\frac14\vec b}$ . Bestimme P und begründe, ob P auf der Strecke AB liegt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Punkt P
Streckenlage mit Grund
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac34\vec a=\begin{pmatrix}0\\\frac{3}{2}\end{pmatrix}}$ — erstes Gewicht anwenden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac14\vec b=\begin{pmatrix}2\\\frac{3}{2}\end{pmatrix}}$ — zweites Gewicht anwenden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec p=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ — addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac34+\frac14=1}$ — Summe prüfen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Gewichte sind nichtnegativ; daher liegt P auf AB.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Punkt P $\mathsf{P(2|3)}$
2. Streckenlage mit GrundJa: beide Gewichte sind nichtnegativ und ihre Summe ist 1.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Punkte, Vektoren und ihre Gewichte.
Ich rechne komponentenweise und prüfe alle Bedingungen.
Ich begründe meine Einordnung mit einer Rechnung.

AT Academy · Version 2026-10-21