Tangenten und Näherungen · Erklären & üben

Linearisierung

Eine differenzierbare Funktion lässt sich nahe einer gewählten Stelle durch ihre Tangente annähern. Diese lineare Ersatzfunktion übernimmt dort den Funktionswert und die Steigung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die passende Tangente aufstellen

Wähle die Entwicklungsstelle $\mathsf{x_0}$ . Bestimme den Wert $\mathsf{f(x_0)}$ und die Steigung $\mathsf{f^{\prime}(x_0)}$ . Die Linearisierung lautet:

\mathsf{L(x)=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)}

Sie ist eine affine Funktion: eine Gerade, die nicht durch den Ursprung gehen muss. Es gilt $\mathsf{L(x_0)=f(x_0)}$ und $\mathsf{L^{\prime}(x_0)=f^{\prime}(x_0)}$ .

Parabel und Tangente mit gemeinsamem Punkt und gleicher Steigung bei 2.

So geht es am Beispiel

Linearisiere $\mathsf{f(x)=x^2}$ bei $\mathsf{x_0=2}$ .

\mathsf{f(2)=4}

\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}

\mathsf{f^{\prime}(2)=4}

\mathsf{L(x)=4+4(x-2)}

\mathsf{L(x)=4x-4}

Erklärung 02

Näherungswert und Fehler vergleichen

Ersetze für x nahe $\mathsf{x_0}$ den schwereren Funktionswert durch $\mathsf{L(x)}$ . Die Restfunktion ist $\mathsf{R(x)=f(x)-L(x)}$ . Der absolute Näherungsfehler ist $\mathsf{|R(x)|}$ .

Tabelle mit zunehmendem Abstand zur Entwicklungsstelle und konkreten Fehlern.

So geht es am Beispiel

Vergleiche für $\mathsf{f(x)=x^2}$ und $\mathsf{L(x)=4x-4}$ die Stellen 2,1 und 2,5.

\mathsf{L(2{,}1)=4{,}4}

\mathsf{f(2{,}1)=4{,}41}

\mathsf{|R(2{,}1)|=0{,}01}

\mathsf{L(2{,}5)=6}

\mathsf{f(2{,}5)=6{,}25}

\mathsf{|R(2{,}5)|=0{,}25}

Erklärung 03

Ein günstiger Entwicklungspunkt

Wähle $\mathsf{x_0}$ nahe der gesuchten Stelle so, dass Funktionswert und Ableitung leicht berechenbar sind. Für eine Wurzel nahe 9 eignet sich 9 besser als 0.

So geht es am Beispiel

Schätze $\mathsf{\sqrt{9{,}3}}$ mit einer Linearisierung von $\mathsf{f(x)=\sqrt x}$ bei 9.

\mathsf{f(9)=3}

\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac1{2\sqrt x}}

\mathsf{f^{\prime}(9)=1/6}

\mathsf{L(x)=3+\frac16(x-9)}

\mathsf{L(9{,}3)=3+0{,}05=3{,}05}

\mathsf{\sqrt{9{,}3}\approx3{,}049590}

\mathsf{|R(9{,}3)|\approx0{,}000410}

Erklärung 04

Änderungen und Einheiten

Für eine kleine Änderung $\mathsf{\Delta x}$ gilt näherungsweise $\mathsf{\Delta f\approx f^{\prime}(x_0)\Delta x}$ . Das Produkt aus Rate und Eingabeänderung besitzt die Einheit der Ausgabe.

Beispiel: Beträgt eine lokale Kostenrate 6 Euro pro Stück, werden 0,2 zusätzliche Stück im stetigen Modell mit etwa 1,2 Euro Mehrkosten angenähert.

Erklärung 05

Wann die Näherung sinnvoll ist

Die Formel verlangt Differenzierbarkeit an der Entwicklungsstelle. Sie ist lokal: Ein großer Abstand oder starke Krümmung kann große Fehler erzeugen.

Genauer gilt für differenzierbares f: $\mathsf{R(x_0+h)/h\to0}$ für $\mathsf{h\to0}$ . Daraus folgt ohne weitere Angaben keine feste Fehlerschranke für einen vorgegebenen Abstand.

Bei einer bereits affinen Funktion ist die Linearisierung exakt. Hier behandeln wir reelle Funktionen einer Variablen, keine Tangentialebenen oder Differentialgleichungen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Linearisierung · EinstiegLinearisiere $\mathsf{f(x)=x^2}$ bei $\mathsf{x_0=3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(3)=9}$
  $\mathsf{f^{\prime}(3)=6}$
  $\mathsf{L(x)=9+6(x-3)}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{L(x)=6x-9}$ .
02
Aufgabe 2Linearisierung · EinstiegNutze die vorige Linearisierung für $\mathsf{f(3{,}1)}$ und berechne den absoluten Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{L(3{,}1)=6\cdot3{,}1-9=9{,}6}$
  $\mathsf{f(3{,}1)=9{,}61}$
  $\mathsf{|R(3{,}1)|=0{,}01}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNäherung 9,6; absoluter Fehler 0,01.
03
Aufgabe 3Linearisierung · StandardLinearisiere $\mathsf{f(x)=e^x}$ bei 0 und schätze $\mathsf{e^{0{,}05}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=1}$
  $\mathsf{f^{\prime}(0)=1}$
  $\mathsf{L(x)=1+x}$
  $\mathsf{L(0{,}05)=1{,}05}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{e^{0{,}05}\approx1{,}05}$ ; tatsächlich etwa 1,051271, Fehler etwa 0,001271.
04
Aufgabe 4Linearisierung · StandardLinearisiere $\mathsf{f(x)=1/x}$ bei 2 und schätze $\mathsf{1/2{,}1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(2)=1/2}$
  $\mathsf{f^{\prime}(x)=-1/x^2}$
  $\mathsf{f^{\prime}(2)=-1/4}$
  $\mathsf{L(x)=1/2-\frac14(x-2)}$
  $\mathsf{L(2{,}1)=0{,}475}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNäherung 0,475; tatsächlicher Wert etwa 0,476190.
05
Aufgabe 5Linearisierung · StandardLinearisiere $\mathsf{f(x)=\operatorname{\textsf{ln}}x}$ bei 1 und schätze $\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}(1{,}02)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(1)=0}$
  $\mathsf{f^{\prime}(1)=1}$
  $\mathsf{L(x)=x-1}$
  $\mathsf{L(1{,}02)=0{,}02}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNäherung 0,02; tatsächlich etwa 0,019803.
06
Aufgabe 6Linearisierung · StandardEin Volumenmodell lautet $\mathsf{V(r)=r^3}$ in Kubikzentimetern für r in Zentimetern. Schätze die Volumenzunahme von r = 2 auf r = 2,05.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V^{\prime}(r)=3r^2}$
  $\mathsf{V^{\prime}(2)=12\,\mathsf{cm^2}}$
  $\mathsf{\Delta r=0{,}05\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{\Delta V\approx12\cdot0{,}05=0{,}6\,\mathsf{cm^3}}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisEtwa 0,6 Kubikzentimeter Zunahme; geschätztes Endvolumen 8,6 Kubikzentimeter.
07
Aufgabe 7Linearisierung · StandardWarum ist die Linearisierung von $\mathsf{f(x)=-3x+7}$ bei jeder Stelle exakt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(x_0)=-3}$
  $\mathsf{L(x)=(-3x_0+7)-3(x-x_0)}$
  $\mathsf{L(x)=-3x+7=f(x)}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisDie Restfunktion ist überall 0.
08
Aufgabe 8Linearisierung · VertiefungFür $\mathsf{f(x)=x^2}$ bei $\mathsf{x_0=1}$ gilt $\mathsf{L(x)=2x-1}$ . Bestimme alle x, für die der absolute Fehler höchstens 0,04 ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2}$
  $\mathsf{(x-1)^2\le0{,}04}$
  $\mathsf{|x-1|\le0{,}2}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{0{,}8\le x\le1{,}2}$ .
09
Aufgabe 9Linearisierung · VertiefungKann die Formel mit $\mathsf{f^{\prime}(0)}$ für $\mathsf{f(x)=|x|}$ bei 0 angewandt werden? Begründe kurz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Steigung von links ist −1.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Steigung von rechts ist 1.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Es gibt keine gemeinsame Ableitung an 0.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNein, die benötigte Differenzierbarkeit fehlt.
10
Aufgabe 10Linearisierung · VertiefungEin Schüler verwendet bei $\mathsf{f(x)=x^2}$ , $\mathsf{x_0=2}$ die Näherung $\mathsf{L(x)=4+4x}$ . Korrigiere sie und zeige den Fehler an der Entwicklungsstelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Abstand zur Entwicklungsstelle ist $\mathsf{x-2}$ .
  $\mathsf{L(x)=4+4(x-2)}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der falsche Term liefert bei 2 den Wert 12 statt 4.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisRichtig ist $\mathsf{L(x)=4x-4}$ .

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich bestimme Funktionswert und Ableitung an der gewählten Stelle.
Ich rechne Näherungsschritte mit ausreichend vielen Stellen.
Ich deute Fehler, Abbruchkriterien und Grenzen der Näherung.

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