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Tangenten und Näherungen · Erklären & üben

Newtonverfahren

Das Newtonverfahren nähert Nullstellen einer reellen Funktion schrittweise an. In jedem Schritt ersetzt eine Tangente den Graphen; ihr Schnittpunkt mit der x-Achse wird zum nächsten Näherungswert.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine Tangente liefert den nächsten Wert

Gesucht ist eine Lösung von f(x)=0\mathsf{f(x)=0}. Wähle einen Startwert x0\mathsf{x_0}. Die Tangente am Graphenpunkt (xn∣f(xn))\mathsf{(x_n\mid f(x_n))} lautet:

tn(x)=f(xn)+f′(xn)(x−xn)\mathsf{t_n(x)=f(x_n)+f^{\prime}(x_n)(x-x_n)}

Ihr Schnittpunkt mit der x-Achse erfüllt tn(xn+1)=0\mathsf{t_n(x_{n+1})=0}. Für f′(xn)≠0\mathsf{f^{\prime}(x_n)\ne0} folgt:

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)\mathsf{x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)}}

Das Verfahren setzt voraus, dass f und die benötigte Ableitung an den berechneten Stellen definiert sind.

Funktionsgraph und Tangente bei Startwert 2 mit nächstem Näherungswert 1,5.

Erklärung 02

Beispiel: eine Quadratwurzel annähern

Um 2\mathsf{\sqrt2} zu bestimmen, lösen wir f(x)=x2−2=0\mathsf{f(x)=x^2-2=0} mit Startwert x0=2\mathsf{x_0=2}. Die Ableitung ist f′(x)=2x\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}.

Iterationstabelle mit Näherungswerten und Residuen; Werte gerundet.

So geht es am Beispiel

Führe drei Newtonschritte aus.

xn+1=xn−xn2−22xn\mathsf{x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}}
x1=2−4−24=1,5\mathsf{x_1=2-\frac{4-2}{4}=1{,}5}
x2=1,5−2,25−23=1,416666…\mathsf{x_2=1{,}5-\frac{2{,}25-2}{3}=1{,}416666\ldots}
x3=1712−(17/12)2−22⋅17/12\mathsf{x_3=\frac{17}{12}-\frac{(17/12)^2-2}{2\cdot17/12}}
x3=577408≈1,414215686\mathsf{x_3=\frac{577}{408}\approx1{,}414215686}

Ergebnis

Die Näherung liegt nahe 2≈1,414213562\mathsf{\sqrt2\approx1{,}414213562}. Rechne intern mit mehr Stellen, als du notierst.

Erklärung 03

Start und Abbruch bewusst wählen

Ein Graph oder eine Wertetabelle hilft, einen Startwert in der Nähe der gesuchten Nullstelle zu wählen. Verschiedene Startwerte können zu verschiedenen Nullstellen führen.

Lege vorab eine Toleranz und eine maximale Schrittzahl fest. Zwei praktische Prüfgrößen sind der Schritt ∣xn+1−xn∣\mathsf{|x_{n+1}-x_n|} und das Residuum ∣f(xn+1)∣\mathsf{|f(x_{n+1})|}.

Beispielsweise kann man erst stoppen, wenn beide Größen kleiner als 10−5\mathsf{10^{-5}} sind. Kleine Werte sind ohne zusätzliche Informationen keine allgemeine Garantie für einen bestimmten Abstand zur wahren Nullstelle.

Erklärung 04

Warum ein Versuch scheitern kann

Ist f′(xn)=0\mathsf{f^{\prime}(x_n)=0} und der Funktionswert noch nicht 0, ist die Newtonformel nicht ausführbar. Eine fast waagerechte Tangente kann außerdem einen sehr großen Schritt erzeugen.

Die Folge kann den Definitionsbereich verlassen, oszillieren oder sich von der gesuchten Nullstelle entfernen. Es gibt keine allgemeine Konvergenzgarantie für beliebige Starts.

So geht es am Beispiel

Untersuche f(x)=x3−2x+2\mathsf{f(x)=x^3-2x+2} mit x0=0\mathsf{x_0=0}.

f′(x)=3x2−2\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2-2}
x1=0−2−2=1\mathsf{x_1=0-\frac2{-2}=1}
x2=1−11=0\mathsf{x_2=1-\frac1{1}=0}

Die nächsten Schritte wiederholen 1 und 0.

Ergebnis

Die Folge läuft im Kreis. Die Newtoniteration nähert hier keine Nullstelle an.

Erklärung 05

Eine Rechnung dokumentieren

Notiere Funktion, Ableitung, Startwert, Toleranz und Iterationstabelle. Ein Ergebnis bleibt eine Näherung, wenn keine exakte Lösung nachgewiesen wurde.

Bei einem Fehlschlag beschreibst du den Grund und überprüfst einen anderen begründeten Start. Hier betrachten wir ausschließlich das eindimensionale, ungedämpfte Verfahren.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Newtonverfahren · EinstiegStelle die Newtonformel für f(x)=x2−5\mathsf{f(x)=x^2-5} auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=2x\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}
      xn+1=xn−xn2−52xn\mathsf{x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-5}{2x_n}}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDie Formel ist für xn≠0\mathsf{x_n\ne0} ausführbar.
  2. Aufgabe 2Newtonverfahren · EinstiegFühre für f(x)=x2−5\mathsf{f(x)=x^2-5} mit x0=2\mathsf{x_0=2} zwei Schritte aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x1=2−4−54=2,25\mathsf{x_1=2-\frac{4-5}{4}=2{,}25}
      x2=94−81/16−59/2\mathsf{x_2=\frac94-\frac{81/16-5}{9/2}}
      x2=16172≈2,236111\mathsf{x_2=\frac{161}{72}\approx2{,}236111}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisx1=2,25\mathsf{x_1=2{,}25}, x2≈2,236111\mathsf{x_2\approx2{,}236111}.
  3. Aufgabe 3Newtonverfahren · StandardBerechne den ersten Newtonschritt für f(x)=x3−2\mathsf{f(x)=x^3-2} mit x0=1\mathsf{x_0=1}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=3x2\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2}
      x1=1−1−23\mathsf{x_1=1-\frac{1-2}{3}}
      x1=4/3\mathsf{x_1=4/3}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisx1≈1,333333\mathsf{x_1\approx1{,}333333}.
  4. Aufgabe 4Newtonverfahren · StandardWarum kann man für f(x)=x2−2\mathsf{f(x)=x^2-2} nicht mit x0=0\mathsf{x_0=0} rechnen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(0)=−2\mathsf{f(0)=-2}
      f′(0)=0\mathsf{f^{\prime}(0)=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Quotient würde durch 0 teilen.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDie Tangente ist waagerecht und schneidet die x-Achse nicht; ein anderer Start ist nötig.
  5. Aufgabe 5Newtonverfahren · StandardBerechne zwei Schritte für f(x)=x2−4\mathsf{f(x)=x^2-4} mit x0=−3\mathsf{x_0=-3}. Welche Nullstelle wird hier angestrebt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x1=−3−9−4−6=−13/6\mathsf{x_1=-3-\frac{9-4}{-6}=-13/6}
      x2=−136−169/36−4−13/3\mathsf{x_2=-\frac{13}{6}-\frac{169/36-4}{-13/3}}
      x2=−313/156≈−2,006410\mathsf{x_2=-313/156\approx-2{,}006410}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDie Werte nähern sich der negativen Nullstelle −2.
  6. Aufgabe 6Newtonverfahren · StandardFür f(x)=x2−2\mathsf{f(x)=x^2-2} seien zwei aufeinanderfolgende Werte 1,414215686 und 1,414213562. Prüfe das doppelte Abbruchkriterium mit Toleranz 10−5\mathsf{10^{-5}}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∣Δx∣=0,000002124<10−5\mathsf{|\Delta x|=0{,}000002124<10^{-5}}
      ∣1,4142135622−2∣≈1,06⋅10−9<10−5\mathsf{|1{,}414213562^2-2|\approx1{,}06\cdot10^{-9}<10^{-5}}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisBeide vereinbarten Kriterien sind erfüllt. Die Rechnung darf nach dieser Regel stoppen.
  7. Aufgabe 7Newtonverfahren · StandardFühre für die lineare Funktion f(x)=3x−6\mathsf{f(x)=3x-6} einen Newtonschritt von x0=5\mathsf{x_0=5} aus. Erkläre das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=3\mathsf{f^{\prime}(x)=3}
      x1=5−15−63=2\mathsf{x_1=5-\frac{15-6}{3}=2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDie exakte Nullstelle 2 wird erreicht, weil die Tangente mit dem linearen Graphen übereinstimmt.
  8. Aufgabe 8Newtonverfahren · VertiefungPrüfe den Start x0=2\mathsf{x_0=2} bei f(x)=ln⁡x\mathsf{f(x)=\operatorname{\textsf{ln}}x} mit D=(0,∞)\mathsf{D=(0,\infty)}. Berechne den ersten Schritt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=1/x\mathsf{f^{\prime}(x)=1/x}
      x1=2−ln⁡21/2\mathsf{x_1=2-\frac{\operatorname{\textsf{ln}}2}{1/2}}
      x1=2−2ln⁡2≈0,613706\mathsf{x_1=2-2\operatorname{\textsf{ln}}2\approx0{,}613706}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDer erste Folgewert ist positiv und damit im Definitionsbereich.
  9. Aufgabe 9Newtonverfahren · VertiefungFür dieselbe Funktion f(x)=ln⁡x\mathsf{f(x)=\operatorname{\textsf{ln}}x} wird x0=4\mathsf{x_0=4} gewählt. Was passiert im ersten Schritt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x1=4−4ln⁡4\mathsf{x_1=4-4\operatorname{\textsf{ln}}4}
      x1≈−1,545177<0\mathsf{x_1\approx-1{,}545177<0}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDer Folgewert liegt außerhalb des Definitionsbereichs; so ist die nächste Iteration nicht möglich.
  10. Aufgabe 10Newtonverfahren · VertiefungBei f(x)=10−8(x−100)\mathsf{f(x)=10^{-8}(x-100)} ist ∣f(0)∣=10−6\mathsf{|f(0)|=10^{-6}}. Warum beweist dieses kleine Residuum allein keine genaue Nullstellennäherung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(x)=0⇒x=100\mathsf{f(x)=0\Rightarrow x=100}
      ∣0−100∣=100\mathsf{|0-100|=100}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDer tatsächliche Fehler ist 100. Die geringe Skalierung macht das Residuum klein, obwohl der Abstand groß ist.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich bestimme Funktionswert und Ableitung an der gewählten Stelle.
  • Ich rechne Näherungsschritte mit ausreichend vielen Stellen.
  • Ich deute Fehler, Abbruchkriterien und Grenzen der Näherung.

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