Logarithmus · Erklären & üben

Logarithmus

Ein Logarithmus beantwortet eine Exponentenfrage: Mit welchem Exponenten muss eine gegebene Basis potenziert werden, damit das gewünschte Ergebnis entsteht?

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Potenz und Logarithmus

Für $\mathsf{b>0}$ , $\mathsf{b\ne1}$ und $\mathsf{a>0}$ bedeutet $\mathsf{\log_b(a)=x}$ genau dasselbe wie $\mathsf{b^x=a}$ . Dabei ist b die Basis, a das Argument und x der gesuchte Exponent. Der Logarithmus ist daher eine Zahl. Die Basis wird klein unter dem Logarithmuszeichen geschrieben.

Lies zuerst Basis und Argument
Formuliere die passende Potenzgleichung.

Der Logarithmus liefert den Exponenten.

3⁴ = 81 Basis: 3; Argument: 81; Exponent: 4 Logarithmus von 81 zur Basis 3: 4 Gesucht wird der Exponent.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\log_3(81)}$ .

$\mathsf{3^4=81}$

$\mathsf{\log_3(81)=4}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\log_{10}(1000)}$ .

$\mathsf{10^3=1000}$

$\mathsf{\log_{10}(1000)=3}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\log_2(64)}$ .

$\mathsf{2^6=64}$

$\mathsf{\log_2(64)=6}$

Erklärung 02

Zulässige Basis und zulässiges Argument

Die Basis muss positiv und von eins verschieden sein. Das Argument muss positiv sein. Deshalb haben null und negative Argumente keinen reellen Logarithmus. Dagegen gilt $\mathsf{\log_b(1)=0}$ , weil $\mathsf{b^0=1}$ . Ein Logarithmuswert darf negativ sein: Ein negativer Exponent einer positiven Basis ergibt weiterhin eine positive Zahl. Auch Basen zwischen null und eins sind erlaubt.

Prüfe Basis und Argument getrennt
Verwechsle einen negativen Logarithmuswert nicht mit einem negativen Argument.

Positives Argument bedeutet nicht zwingend positiven Logarithmuswert.

2⁻² = 1/4 entspricht Argument 1/4 → Wert −2; 2⁻¹ = 1/2 entspricht Argument 1/2 → Wert −1; 2⁰ = 1 entspricht Argument 1 → Wert 0; 2¹ = 2 entspricht Argument 2 → Wert 1; 2² = 4 entspricht Argument 4 → Wert 2

Basis b: positiv und nicht gleich 1 Argument a: strikt positiv Basis 1/2 und Argument 8: erlaubt Basis 2 und Argument −8: nicht erlaubt Ein negativer Logarithmuswert ist erlaubt.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\log_2(1/8)}$ .

$\mathsf{2^{-3}=\tfrac18}$

$\mathsf{\log_2(\tfrac18)=-3}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\log_{1/2}(8)}$ .

$\mathsf{(\tfrac12)^{-3}=8}$

$\mathsf{\log_{1/2}(8)=-3}$

Erklärung 03

Besondere Basen und Taschenrechner

Der binäre Logarithmus hat Basis zwei, der dekadische Basis zehn. Der natürliche Logarithmus hat die Basis $\mathsf{e\approx2{,}71828}$ und wird ln geschrieben. Auf vielen Rechnern meint log die Basis zehn; prüfe die Beschriftung des Geräts. Ohne angegebene Konvention ist log allein mehrdeutig. Für beliebige zulässige Basen gilt $\mathsf{\log_b(a)=\frac{\ln(a)}{\ln(b)}}$ . Der Nenner ist wegen $\mathsf{b\ne1}$ nicht null.

Nutze bekannte Potenzen für exakte Werte
Für andere Werte verwende den Basiswechsel und kennzeichne Näherungen.

ln bezeichnet immer den Logarithmus zur Basis e.

So geht es am Beispiel

Bestimme $\mathsf{\log_2(6)}$ näherungsweise auf drei Nachkommastellen.

$\mathsf{\log_2(6)=\frac{\ln(6)}{\ln(2)}}$

$\mathsf{\log_2(6)\approx2{,}585}$

Erklärung 04

Rechenregeln als nächster Schritt

Für positive Argumente gilt $\mathsf{\log_b(uv)=\log_b(u)+\log_b(v)}$ . Ein Produkt wird also zu einer Summe von Logarithmen. Für eine Summe im Argument gibt es keine entsprechende Summenregel. Das Thema Logarithmusgesetze behandelt Produkt, Quotient, Potenz, Wurzel und Basiswechsel einschließlich ln gemeinsam. Natürlicher Logarithmus vertieft die Basis e.

Prüfe die Struktur innerhalb der Klammer
Wende eine Produktregel nicht auf eine Summe an.

Logarithmenregeln brauchen ihre Voraussetzungen.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\log_2(4\cdot8)}$ mit der Produktregel.

$\mathsf{\log_2(4\cdot8)=\log_2(4)+\log_2(8)}$

$\mathsf{2+3=5}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Logarithmus · 1Berechne $\mathsf{\log_5(125)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Logarithmuswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{5^3=125}$
Ergebnis
1. Logarithmuswert3
02
Aufgabe 2Logarithmus · 1Berechne $\mathsf{\log_{10}(0{,}01)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Logarithmuswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{10^{-2}=0{,}01}$
Ergebnis
1. Logarithmuswert−2
03
Aufgabe 3Logarithmus · 1Berechne $\mathsf{\log_7(1)}$ . Begründe mit einer Potenz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Logarithmuswert
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{7^0=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Logarithmuswert0
2. Begründung $\mathsf{7^0=1}$
04
Aufgabe 4Logarithmus · 1Schreibe $\mathsf{\log_4(64)=3}$ als Potenzgleichung. Nenne Basis und Argument getrennt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Potenzgleichung
Basis
Argument
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{4^3=64}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Potenzgleichung $\mathsf{4^3=64}$
2. Basis4
3. Argument64
05
Aufgabe 5Logarithmus · 2Ist $\mathsf{\log_1(9)}$ als reeller Logarithmus zulässig? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Basis eins ist ausgeschlossen. Jede reelle Potenz von eins ergibt eins und niemals neun.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. BegründungDie Basis darf nicht eins sein; die erforderliche Exponentenfrage hat hier keine Lösung.
06
Aufgabe 6Logarithmus · 2Sind $\mathsf{\log_3(0)}$ und $\mathsf{\log_3(-9)}$ reell definiert? Gib jeweils Urteil und Grund an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil für null
Grund für null
Urteil für minus neun
Grund für minus neun
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Potenzen der positiven Basis drei sind stets positiv. Weder null noch minus neun kann ihr Wert sein.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Urteil für nullNein
2. Grund für nullDas Argument muss strikt positiv sein.
3. Urteil für minus neunNein
4. Grund für minus neunEin negatives Argument ist im reellen Logarithmus nicht erlaubt.
07
Aufgabe 7Logarithmus · 2Berechne $\mathsf{\log_{1/3}(9)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Logarithmuswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(\tfrac13)^{-2}=9}$
Ergebnis
1. Logarithmuswert−2
08
Aufgabe 8Logarithmus · 2Berechne $\mathsf{\log_3(7)}$ auf drei Nachkommastellen. Gib auch den exakten Ausdruck mit ln an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Exakter Ausdruck
Näherungswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\log_3(7)=\frac{\ln7}{\ln3}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\log_3(7)\approx1{,}771}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Exakter Ausdruck $\mathsf{\frac{\ln7}{\ln3}}$
2. Näherungswert1,771
09
Aufgabe 9Logarithmus · 3Jemand schreibt $\mathsf{\log_2(4+4)=\log_2(4)+\log_2(4)}$ . Berechne beide Seiten und entscheide, ob die Gleichheit stimmt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linke Seite
Rechte Seite
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\log_2(8)=3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\log_2(4)+\log_2(4)=2+2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{2+2=4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linke Seite3
2. Rechte Seite4
3. UrteilDie Gleichheit ist falsch.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe Basis und Argument.
Ich unterscheide exakte Werte und Näherungen.
Ich wende keine Produktregel auf eine Summe an.

AT Academy · Version 2026-10-21