Logarithmus · Erklären & üben

Logarithmusgesetze

Logarithmusgesetze übersetzen Produkte, Quotienten und Potenzen in einfachere Ausdrücke. Sie gelten nur unter passenden Bedingungen und mit derselben Basis.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Überblick und Voraussetzungen

Im ganzen Thema gilt $\mathsf{b>0}$ , $\mathsf{b\ne1}$ und für die Argumente $\mathsf{u,v>0}$ . Dann gelten die Produktregel $\mathsf{\log_b(uv)=\log_b(u)+\log_b(v)}$ , die Quotientenregel $\mathsf{\log_b(u/v)=\log_b(u)-\log_b(v)}$ und die Potenzregel $\mathsf{\log_b(u^r)=r\log_b(u)}$ für reelles r. Weil u positiv ist, bleibt auch die reelle Potenz positiv. Diese Übersicht gilt für ln mit Basis e genauso.

Prüfe zuerst Basis und Argumente
Erkenne anschließend Produkt, Quotient oder Potenz.

Die Struktur im Argument bestimmt die Regel.

b > 0, b ≠ 1; u > 0, v > 0 log_b(uv) = log_b(u) + log_b(v) log_b(u/v) = log_b(u) − log_b(v) log_b(uʳ) = r · log_b(u), r reell Für b = e wird log_b durch ln ersetzt.

So geht es am Beispiel

Welche Regel passt zu $\mathsf{\log_2(8\cdot4)}$ ?

$\mathsf{\log_2(8\cdot4)=\log_2(8)+\log_2(4)}$

$\mathsf{3+2=5}$

Erklärung 02

Produkt und Quotient

Die Produktregel folgt aus dem Potenzgesetz $\mathsf{b^p b^q=b^{p+q}}$ . Entsprechend steht beim Quotienten die Differenz der Exponenten. Die Regeln lassen sich in beide Richtungen anwenden, aber die einzelnen Argumente müssen positiv bleiben. Dass ein Produkt aus zwei negativen Zahlen positiv ist, erlaubt nicht die Zerlegung in deren reelle Logarithmen.

Zerlege ein positives Produkt oder einen positiven Quotienten nur in positive Einzelargumente
Beim Zusammenfassen behalte dieselbe Basis.

Ein Logarithmus einer Summe wird nicht in eine Summe von Logarithmen zerlegt.

u = bᵖ und v = bᑫ uv = bᵖ · bᑫ uv = bᵖ⁺ᑫ log_b(uv) = p + q log_b(u) + log_b(v) = p + q

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\ln(5)+\ln(2)}$ .

$\mathsf{\ln(5)+\ln(2)=\ln(5\cdot2)}$

$\mathsf{\ln(5\cdot2)=\ln(10)}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\log_3(81/3)}$ .

$\mathsf{\log_3(81/3)=\log_3(81)-\log_3(3)}$

$\mathsf{4-1=3}$

Erklärung 03

Potenz und Wurzel

Für $\mathsf{u>0}$ kann der Exponent vor den Logarithmus gezogen werden. Eine n-te Wurzel ist die Potenz mit Exponent $\mathsf{1/n}$ für eine positive ganze Zahl n. Deshalb gilt $\mathsf{\log_b(\sqrt[n]{u})=\frac1n\log_b(u)}$ . Dieselben Regeln gelten für ln. Bei beliebigem $\mathsf{x\ne0}$ lautet die passende Sonderform $\mathsf{\ln(x^2)=2\ln|x|}$ ; ohne Betrag setzt die rechte Seite x positiv voraus.

Schreibe eine Wurzel als Potenz
Ziehe erst dann den Exponenten vor den Logarithmus.

Die einfache Potenzregel verlangt eine positive Grundzahl im Argument.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\log_2(\sqrt{64})}$ .

$\mathsf{\log_2(64^{1/2})=\tfrac12\log_2(64)}$

$\mathsf{\tfrac12\cdot6=3}$

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\ln(e^{-4})}$ .

$\mathsf{\ln(e^{-4})=-4\ln(e)}$

$\mathsf{-4\cdot1=-4}$

Erklärung 04

Basiswechsel und ln

Für eine weitere Basis $\mathsf{c>0}$ , $\mathsf{c\ne1}$ gilt $\mathsf{\log_b(u)=\frac{\log_c(u)}{\log_c(b)}}$ . Mit c gleich e werden daraus ln-Werte. Der Nenner ist nicht null, weil b nicht eins ist. Für positive u und v sind also auch $\mathsf{\ln(uv)=\ln u+\ln v}$ , $\mathsf{\ln(u/v)=\ln u-\ln v}$ und $\mathsf{\ln(u^r)=r\ln u}$ gültig.

Verwende im Zähler und Nenner dieselbe neue Basis
Verwechsle den Basiswechsel nicht mit der Quotientenregel.

Beim Basiswechsel steht ein Quotient zweier Logarithmen.

u > 0, v > 0; r reell ln(uv) = ln(u) + ln(v) ln(u/v) = ln(u) − ln(v) ln(uʳ) = r · ln(u) ln(√u) = 1/2 · ln(u) Keine entsprechende Regel für ln(u + v).

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\log_4(8)}$ exakt über Basis zwei.

$\mathsf{\log_4(8)=\frac{\log_2(8)}{\log_2(4)}}$

$\mathsf{\frac32=1{,}5}$

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\ln(\sqrt{e^6})}$ .

$\mathsf{\ln(\sqrt{e^6})=\tfrac12\ln(e^6)}$

$\mathsf{\tfrac12\cdot6=3}$

Erklärung 05

Grenzen und typische Fehler

Für $\mathsf{\log_b(u+v)}$ gibt es keine allgemeine Summenregel. Auch $\mathsf{\frac{\ln u}{\ln v}}$ ist nicht gleich $\mathsf{\ln(u/v)}$ . Das erste ist bei zulässigem v ein Basiswechsel, das zweite eine Differenz von Logarithmen. Die Themen Logarithmus und Potenzgesetze erklären die zugrunde liegenden Exponentenbeziehungen; Gleichungsaufgaben vertieft Logarithmus auflösen.

Vergleiche einen behaupteten Rechenweg mit konkreten positiven Zahlen
Prüfe zusätzlich, ob beide Seiten definiert sind.

Eine zufällige Gleichheit in einem Beispiel beweist keine Regel.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Logarithmusgesetze · 1Berechne $\mathsf{\log_2(8\cdot16)}$ mit einer Logarithmusregel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\log_2(8)+\log_2(16)=3+4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{3+4=7}$
Ergebnis
1. Ergebnis7
02
Aufgabe 2Logarithmusgesetze · 1Berechne $\mathsf{\log_5(625/25)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\log_5(625)-\log_5(25)=4-2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{4-2=2}$
Ergebnis
1. Ergebnis2
03
Aufgabe 3Logarithmusgesetze · 1Berechne $\mathsf{\log_3(9^4)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\log_3(9^4)=4\log_3(9)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{4\cdot2=8}$
Ergebnis
1. Ergebnis8
04
Aufgabe 4Logarithmusgesetze · 2Berechne $\mathsf{\log_2(\sqrt[3]{64})}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\log_2(64^{1/3})=\tfrac13\log_2(64)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\tfrac13\cdot6=2}$
Ergebnis
1. Ergebnis2
05
Aufgabe 5Logarithmusgesetze · 2Fasse $\mathsf{2\ln(x)+\ln(y)-\ln(5)}$ zu einem Logarithmus zusammen. Es gelten x > 0 und y > 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ein Logarithmus
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2\ln x=\ln(x^2)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\ln(x^2)+\ln y=\ln(x^2y)}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\ln(x^2y)-\ln5=\ln\!\left(\frac{x^2y}{5}\right)}$
Ergebnis
1. Ein Logarithmus $\mathsf{\ln\!\left(\frac{x^2y}{5}\right)}$
06
Aufgabe 6Logarithmusgesetze · 2Berechne $\mathsf{\log_8(4)}$ mit einem Basiswechsel zur Basis zwei.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\log_8(4)=\frac{\log_2(4)}{\log_2(8)}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\log_8(4)=\frac23}$
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\frac23}$
07
Aufgabe 7Logarithmusgesetze · 2Berechne getrennt $\mathsf{\ln(e^5/e^2)}$ und $\mathsf{\ln(\sqrt{e^8})}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Wert
Zweiter Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\ln(e^5/e^2)=5-2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{5-2=3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\ln(\sqrt{e^8})=\tfrac12\cdot8}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{\tfrac12\cdot8=4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Wert3
2. Zweiter Wert4
08
Aufgabe 8Logarithmusgesetze · 3Darf man $\mathsf{\ln((-2)(-3))}$ im Reellen als $\mathsf{\ln(-2)+\ln(-3)}$ schreiben? Begründe und gib eine zulässige Schreibweise für die linke Seite an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Zulässige Schreibweise
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(-2)(-3)=6}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. BegründungDie Einzelargumente minus zwei und minus drei sind negativ; ihre reellen Logarithmen sind nicht definiert.
3. Zulässige Schreibweise $\mathsf{\ln6}$
09
Aufgabe 9Logarithmusgesetze · 3Prüfe die behauptete Gleichheit $\mathsf{\ln(e+e)=\ln e+\ln e}$ . Gib beide Seiten vereinfacht an und entscheide. Nutze bei Bedarf ln(2) ≈ 0,693.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linke Seite
Rechte Seite
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\ln(e+e)=\ln(2e)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\ln(2e)=\ln2+1}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\ln e+\ln e=2}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{1+\ln2\approx1{,}693}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linke Seite $\mathsf{1+\ln2}$
2. Rechte Seite2
3. UrteilDie Gleichheit ist falsch.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe Basis und Argument.
Ich unterscheide exakte Werte und Näherungen.
Ich wende keine Produktregel auf eine Summe an.

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