Logarithmus · Erklären & üben

Logarithmus auflösen

Beim Auflösen einer Logarithmusgleichung wird die Umkehrung zur Potenz genutzt. Zuerst wird die Definitionsmenge festgelegt. Erst danach wird umgeformt; am Ende werden Kandidaten in der ursprünglichen Gleichung geprüft.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bedingungen vor der Rechnung

Für einen reellen Logarithmus muss die Basis positiv und ungleich 1 sein. Das Argument muss positiv sein. Diese Bedingungen gelten auch, wenn die Variable in der Basis oder im Argument vorkommt. Die Gleichung Logarithmus zur Basis b von u gleich v bedeutet dann b hoch v gleich u.

Prüfe Basis und Argument.
Notiere alle Bedingungen gemeinsam.
Wechsle erst dann zur Potenzgleichung.

$\mathsf{\log_b(u)=v\iff b^v=u}$ für $\mathsf{b>0}$ , $\mathsf{b\ne1}$ , $\mathsf{u>0}$

Vier Schritte: Bedingungen, Umformung, Kandidaten, Probe.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\log_2(x)=5}$ .

Definitionsmenge: $\mathsf{x>0}$

Potenzform: $\mathsf{x=2^5}$

Auswerten: $\mathsf{x=32}$

Probe: $\mathsf{\log_2(32)=5}$

Erklärung 02

Variable in der Basis

Eine variable Basis verlangt eigene Ausschlüsse. Entsteht beim Potenzieren eine Gleichung mit mehreren Lösungen, dürfen nur diejenigen als Basis eingesetzt werden, die positiv und nicht 1 sind. Bei Basis 1 wäre der Logarithmus keine eindeutige Umkehrung.

Bestimme die Bedingungen der variablen Basis.
Löse die entstehende Potenzgleichung.
Verwerfe unzulässige Basen und prüfe den Rest.

Ein algebraischer Kandidat ist noch keine Lösung der ursprünglichen Gleichung.

Positiver Zahlenstrahl mit offenen Punkten bei 0 und 1; beide Werte sind ausgeschlossen.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\log_x(9)=2}$ .

Bedingungen: $\mathsf{x>0}$ , $\mathsf{x\ne1}$

Potenzform: $\mathsf{x^2=9}$

Algebraische Kandidaten: $\mathsf{x=3}$ oder $\mathsf{x=-3}$

Minus 3 ist keine zulässige reelle Logarithmusbasis.

Probe für 3: $\mathsf{3^2=9}$

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\log_x(1)=2}$ .

Bedingungen: $\mathsf{x>0}$ , $\mathsf{x\ne1}$

Potenzform: $\mathsf{x^2=1}$

Kandidaten: $\mathsf{x=1}$ oder $\mathsf{x=-1}$

1 ist als Basis ausgeschlossen, minus 1 ist nicht positiv.

Erklärung 03

Variable im Argument oder Exponenten

Steht die Variable im Argument, muss der gesamte Ausdruck positiv sein. Ein stets positiver Potenzausdruck wie 2 hoch x erlaubt dagegen jeden reellen Exponenten. Bei einer festen zulässigen Basis können Exponentialfunktion und zugehöriger Logarithmus einander aufheben.

Prüfe das ganze Argument auf Positivität.
Isoliere den Logarithmus.
Exponentiere mit derselben Basis und löse weiter.

$\mathsf{\log_b(b^v)=v}$ für $\mathsf{b>0}$ , $\mathsf{b\ne1}$

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\ln(x-2)=1}$ .

Bedingung: $\mathsf{x-2>0}$ , also $\mathsf{x>2}$

Exponentieren: $\mathsf{x-2=e}$

Auflösen: $\mathsf{x=2+e}$

Probe: $\mathsf{\ln((2+e)-2)=\ln(e)=1}$

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\log_2(2^{3x-1})=5}$ .

Die Basis 2 ist zulässig und das Argument ist für jedes reelle x positiv.

Umkehrung anwenden: $\mathsf{3x-1=5}$

Addieren: $\mathsf{3x=6}$

Dividieren: $\mathsf{x=2}$

Probe des Exponenten: $\mathsf{3\cdot2-1=5}$

Daher ist $\mathsf{\log_2(2^5)=5}$

Erklärung 04

Mehrere Logarithmen und die Probe

Produkt- und Quotientenregeln benötigen die positiven ursprünglichen Argumente. Wenn du mehrere Logarithmen zusammenfasst, bleiben deren Einzelbedingungen erhalten. Besonders bei quadratischen Gleichungen können zusätzliche Kandidaten entstehen. Die Probe erfolgt im ursprünglichen Ausdruck, nicht nur in der zuletzt umgeformten Gleichung.\n\nWeiterlernen: „Logarithmusgesetze“ erklärt die Produkt-, Quotienten- und Potenzregel ausführlicher.

Notiere jede einzelne Argumentbedingung.
Fasse nur Logarithmen derselben Basis zusammen.
Löse die Potenzgleichung.
Prüfe alle Kandidaten gegen die ursprünglichen Bedingungen.

$\mathsf{\ln u+\ln v=\ln(uv)}$ für $\mathsf{u>0}$ , $\mathsf{v>0}$

Die Bedingungen x größer als 1 und x größer als minus 1 ergeben gemeinsam x größer als 1.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln8}$ .

Bedingungen: $\mathsf{x-1>0}$ und $\mathsf{x+1>0}$ ; zusammen $\mathsf{x>1}$

Zusammenfassen: $\mathsf{\ln((x-1)(x+1))=\ln8}$

Argumente gleichsetzen: $\mathsf{(x-1)(x+1)=8}$

Ausmultiplizieren: $\mathsf{x^2-1=8}$

Addieren: $\mathsf{x^2=9}$

Kandidaten: $\mathsf{x=3}$ oder $\mathsf{x=-3}$

Minus 3 liegt nicht in der Definitionsmenge.

Probe bei 3: $\mathsf{\ln2+\ln4=\ln8}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Logarithmus auflösen · BasisLöse $\mathsf{\log_3(x)=4}$ . Gib Definitionsbedingung und Lösung getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsbedingung
Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bedingung: $\mathsf{x>0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Potenzform: $\mathsf{x=3^4=81}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{\log_3(81)=4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsbedingung $\mathsf{x>0}$
2. Lösungx = 81
02
Aufgabe 2Logarithmus auflösen · BasisLöse $\mathsf{\log_2(x-1)=3}$ . Gib Definitionsbedingung und Lösung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsbedingung
Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bedingung: $\mathsf{x>1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Potenzform: $\mathsf{x-1=2^3=8}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addieren: $\mathsf{x=9}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{\log_2(9-1)=\log_2(8)=3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsbedingung $\mathsf{x>1}$
2. Lösungx = 9
03
Aufgabe 3Logarithmus auflösen · BasisLöse $\mathsf{\ln(2x+1)=0}$ . Gib Definitionsbedingung und Lösung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsbedingung
Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bedingung: $\mathsf{2x+1>0}$ , also $\mathsf{x>-\frac{1}{2}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Exponentieren: $\mathsf{2x+1=e^0=1}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Subtrahieren: $\mathsf{2x=0}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Dividieren: $\mathsf{x=0}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{\ln(1)=0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsbedingung $\mathsf{x>-\frac{1}{2}}$
2. Lösungx = 0
04
Aufgabe 4Logarithmus auflösen · ÜbungLöse $\mathsf{\log_x(16)=2}$ . Nenne Basisbedingungen, Lösung und den Grund für den Ausschluss des negativen Kandidaten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Basisbedingungen
Lösung
Ausschlussgrund
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bedingungen: $\mathsf{x>0}$ , $\mathsf{x\ne1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Potenzform: $\mathsf{x^2=16}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kandidaten: $\mathsf{x=4}$ oder $\mathsf{x=-4}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die negative Basis ist unzulässig.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{4^2=16}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Basisbedingungen $\mathsf{x>0}$ , $\mathsf{x\ne1}$
2. Lösungx = 4
3. AusschlussgrundMinus 4 ist keine positive Basis.
05
Aufgabe 5Logarithmus auflösen · ÜbungLöse $\mathsf{\log_{x-1}(8)=3}$ . Gib Basisbedingungen und Lösung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Basisbedingungen
Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Basis positiv: $\mathsf{x-1>0}$ , also $\mathsf{x>1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Basis ungleich 1: $\mathsf{x\ne2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Potenzform: $\mathsf{(x-1)^3=8}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Dritte Wurzel: $\mathsf{x-1=2}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Lösung: $\mathsf{x=3}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{\log_2(8)=3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Basisbedingungen $\mathsf{x>1}$ , $\mathsf{x\ne2}$
2. Lösungx = 3
06
Aufgabe 6Logarithmus auflösen · ÜbungLöse $\mathsf{\log_5(5^{2x+1})=7}$ . Gib Definitionsmenge und Lösung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsmenge
Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Argument ist für alle reellen x positiv.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Umkehrung: $\mathsf{2x+1=7}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Subtrahieren: $\mathsf{2x=6}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Dividieren: $\mathsf{x=3}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{\log_5(5^7)=7}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. DefinitionsmengeAlle reellen Zahlen
2. Lösungx = 3
07
Aufgabe 7Logarithmus auflösen · TransferLöse $\mathsf{\ln(x-2)+\ln(x+2)=\ln5}$ . Gib Definitionsbedingung und Lösungsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsbedingung
Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Beide Argumente positiv ergibt $\mathsf{x>2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zusammenfassen und exponentieren: $\mathsf{(x-2)(x+2)=5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ausmultiplizieren: $\mathsf{x^2-4=5}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addieren: $\mathsf{x^2=9}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Kandidaten: $\mathsf{x=3}$ oder $\mathsf{x=-3}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Nur 3 erfüllt x größer als 2.
7. Schritt 7 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{\ln1+\ln5=\ln5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsbedingung $\mathsf{x>2}$
2. Lösungsmenge $\mathsf{\{3\}}$
08
Aufgabe 8Logarithmus auflösen · TransferLöse $\mathsf{\ln(x^2)=\ln9}$ . Gib Definitionsbedingung und beide Lösungen einzeln an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsbedingung
Positive Lösung
Negative Lösung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Argument positiv: $\mathsf{x^2>0}$ , also $\mathsf{x\ne0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Argumente gleichsetzen: $\mathsf{x^2=9}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kandidaten: $\mathsf{x=3}$ oder $\mathsf{x=-3}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Beide Kandidaten sind zulässig; ihr Quadrat ist jeweils 9.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsbedingung $\mathsf{x\ne0}$
2. Positive Lösungx = 3
3. Negative Lösungx = −3
09
Aufgabe 9Logarithmus auflösen · TransferBesitzt $\mathsf{\log_x(1)=3}$ eine reelle Lösung? Begründe unter Angabe der Basisbedingungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Basisbedingungen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Es gelten $\mathsf{x>0}$ und $\mathsf{x\ne1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Potenzgleichung wäre $\mathsf{x^3=1}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der einzige reelle Kandidat ist $\mathsf{x=1}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Dieser ist als Basis ausgeschlossen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Basisbedingungen $\mathsf{x>0}$ , $\mathsf{x\ne1}$
3. BegründungDer einzige Kandidat 1 ist keine zulässige Logarithmusbasis.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich bestimme die Definitionsmenge vor jeder Umformung.
Ich beachte die Bedingungen einer variablen Basis.
Ich nutze die Umkehrung zwischen Potenz und Logarithmus.
Ich prüfe Kandidaten in der ursprünglichen Gleichung.

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