Logarithmus · Erklären & üben

Logarithmusfunktion

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion mit zulässiger Basis. Die natürliche Logarithmusfunktion ln ist der besondere Fall mit Basis e. Graphen, Bedingungen, Ableitungen und Stammfunktionen werden gemeinsam betrachtet.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Definition und Umkehrfunktion

Für eine feste Basis b größer als null und ungleich 1 ordnet f(x) gleich log zur Basis b von x jedem positiven x einen reellen Wert zu. Die Definitionsmenge ist x größer als null, der Wertebereich sind alle reellen Zahlen. Die Umkehrfunktion ist b hoch x. Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion spiegeln sich an der Geraden y gleich x.

Prüfe die feste Basis.
Lies x als positives Argument.
Wechsle zwischen Logarithmuswert und zugehöriger Potenz.

$\mathsf{y=\log_bx\iff x=b^y}$

ln und exp sind Umkehrfunktionen. Gleiche Längeneinheit auf beiden Achsen.

So geht es am Beispiel

Bestimme drei Punkte von $\mathsf{f(x)=\log_2x}$ .

Weil $\mathsf{2^{-1}=\frac{1}{2}}$ , gilt $\mathsf{f(\frac{1}{2})=-1}$

Weil $\mathsf{2^0=1}$ , gilt $\mathsf{f(1)=0}$

Weil $\mathsf{2^2=4}$ , gilt $\mathsf{f(4)=2}$

So geht es am Beispiel

Bestimme die Umkehrfunktion von $\mathsf{f(x)=\ln x}$ .

Aus $\mathsf{y=\ln x}$ folgt $\mathsf{x=e^y}$

Nach Vertauschen der Rollen lautet die Umkehrfunktion $\mathsf{f^{-1}(x)=e^x}$

Erklärung 02

Monotonie, Achsen und Grenzverhalten

Für b größer als 1 ist der Graph streng steigend, für b zwischen 0 und 1 streng fallend. Jede unveränderte Logarithmusfunktion hat die Nullstelle x gleich 1. Es gibt keinen Schnittpunkt mit der y-Achse, weil x gleich null ausgeschlossen ist. Die Gerade x gleich null ist eine senkrechte Asymptote. Bei b größer als 1 gehen die Werte für x gegen null von rechts gegen minus unendlich und für x gegen unendlich gegen plus unendlich; bei b zwischen 0 und 1 sind diese Richtungen vertauscht.

Unterscheide die beiden Basisbereiche.
Nutze den Punkt (1;0).
Beachte die nur rechtsseitige Annäherung an null.

Eine Asymptote ist hier keine zum Definitionsbereich gehörende Linie.

Die Basis bestimmt die Richtung. Beide Graphen gehen durch (1 | 0).

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{\log_2x}$ und $\mathsf{\log_{1/2}x}$ bei x gleich 4.

Für Basis 2 gilt $\mathsf{2^2=4}$ , daher $\mathsf{\log_2(4)=2}$

Für Basis ein Halb gilt $\mathsf{(\frac{1}{2})^{-2}=4}$ , daher $\mathsf{\log_{1/2}(4)=-2}$

Erklärung 03

Verschiebungen mit neuer Definitionsmenge

Bei g(x) gleich ln von x minus h plus c verschiebt sich der Graph um h nach rechts und c nach oben. Das Argument x minus h muss positiv sein. Die senkrechte Asymptote wandert nach x gleich h. Die Nullstelle wird durch Lösen der neuen Gleichung bestimmt; sie bleibt nicht automatisch bei 1.

Prüfe das Argument auf Positivität.
Verschiebe die senkrechte Asymptote entsprechend.
Berechne eine Nullstelle aus g(x) gleich null.

$\mathsf{g(x)=\ln(x-h)+c}$ mit $\mathsf{x>h}$

Verschiebung: ln(x − 2) + 1. Asymptote x = 2; Definitionsmenge x > 2.

So geht es am Beispiel

Bestimme Definitionsmenge, Asymptote und Nullstelle von $\mathsf{g(x)=\ln(x-2)+1}$ .

Argumentbedingung: $\mathsf{x-2>0}$ , also $\mathsf{x>2}$

Die senkrechte Asymptote ist $\mathsf{x=2}$

Nullstellengleichung: $\mathsf{\ln(x-2)=-1}$

Exponentieren: $\mathsf{x-2=e^{-1}}$

Nullstelle: $\mathsf{x=2+e^{-1}}$

Erklärung 04

ln und ihre Rechenregeln

Für positive u und v gilt: Der Logarithmus eines Produkts ist eine Summe, der Logarithmus eines Quotienten eine Differenz. Für positive u gilt ln von u hoch r gleich r mal ln u. Eine entsprechende Regel für ln von u plus v gibt es nicht. Bei beliebigen reellen x darf ln von x² deshalb nicht pauschal als 2 ln x geschrieben werden; links sind auch negative x ungleich null zulässig.

Prüfe alle ursprünglichen Argumente.
Wähle Produkt-, Quotienten- oder Potenzregel passend zur Struktur.
Behalte die ursprüngliche Definitionsmenge.

$\mathsf{\ln(uv)=\ln u+\ln v}$ , $\mathsf{\ln(u/v)=\ln u-\ln v}$

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\ln(3x)-\ln3}$ und nenne den Definitionsbereich.

Positivität von 3x verlangt $\mathsf{x>0}$

Quotientenregel: $\mathsf{\ln(3x)-\ln3=\ln(3x/3)}$

Kürzen im Argument: $\mathsf{\ln(3x/3)=\ln x}$

Erklärung 05

Ableiten mit Bedingungen

Für x größer als null ist die Ableitung von ln x gleich 1 durch x. Für eine andere feste zulässige Basis kommt der Faktor 1 durch ln b hinzu. Bei einer verketteten Funktion ln u(x) verwendest du die Kettenregel: u Strich durch u, und zwar nur auf Bereichen mit u positiv und differenzierbar. Dieser Abschnitt setzt Ableitungsregeln voraus.

Notiere zuerst den Definitionsbereich.
Bestimme innere Funktion und deren Ableitung.
Wende die Kettenregel an.

$\mathsf{(\log_bx)^{\prime}=\frac{1}{x\ln b}}$ für $\mathsf{x>0}$ , $\mathsf{b>0}$ , $\mathsf{b\ne1}$ $\mathsf{(\ln u(x))^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}}$ für $\mathsf{u(x)>0}$

So geht es am Beispiel

Leite $\mathsf{f(x)=\ln(2x+1)}$ ab.

Definitionsbereich: $\mathsf{2x+1>0}$ , also $\mathsf{x>-\frac{1}{2}}$

Innere Funktion: $\mathsf{u(x)=2x+1}$

Innere Ableitung: $\mathsf{u^{\prime}(x)=2}$

Kettenregel: $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{2}{2x+1}}$

Erklärung 06

Stammfunktion und bestimmtes Integral

Eine Stammfunktion von ln x ist x ln x minus x für x größer als null. Eine Konstante C kann addiert werden. Für log zur Basis b wird die Stammfunktion zusätzlich durch ln b geteilt. Bestimmte Integrale werden hier nur mit positiven Grenzen behandelt; ein Rand bei null bräuchte eine gesonderte uneigentliche Betrachtung. Dieser Abschnitt setzt Produktregel und Hauptsatz voraus.\n\nWeiterlernen: „Logarithmus auflösen“ behandelt Gleichungen; „Logarithmus“ erläutert die Grunddefinition.

Prüfe positive Grenzen und Definitionsbereich.
Setze obere und untere Grenze in dieselbe Stammfunktion ein.
Subtrahiere untere von oberer Auswertung.

$\mathsf{\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C}$ für $\mathsf{x>0}$ $\mathsf{\int\log_bx\,dx=\frac{x\ln x-x}{\ln b}+C}$ für $\mathsf{x>0}$ , $\mathsf{b>0}$ , $\mathsf{b\ne1}$

Fläche unter ln x von 1 bis e. Schattierte Fläche: Integral von 1 bis e = 1.

So geht es am Beispiel

Begründe durch Ableiten, dass $\mathsf{F(x)=x\ln x-x}$ für x größer als null eine Stammfunktion von ln x ist.

Produktregel: $\mathsf{(x\ln x)^{\prime}=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}}$

Für x größer als null gilt $\mathsf{x\cdot\frac{1}{x}=1}$

Die Ableitung von minus x ist minus 1.

Zusammen: $\mathsf{F^{\prime}(x)=\ln x+1-1=\ln x}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\int_1^e\ln x\,dx}$ .

Beide Grenzen sind positiv; verwende $\mathsf{F(x)=x\ln x-x}$

Obere Auswertung: $\mathsf{F(e)=e\cdot1-e=0}$

Untere Auswertung: $\mathsf{F(1)=1\cdot0-1=-1}$

Differenz: $\mathsf{0-(-1)=1}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Logarithmusfunktion · BasisFür $\mathsf{f(x)=\log_3x}$ : Nenne Definitionsmenge, Wertebereich und Nullstelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsmenge
Wertebereich
Nullstelle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Argument verlangt $\mathsf{x>0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Logarithmuswerte können jede reelle Zahl annehmen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Wegen $\mathsf{3^0=1}$ gilt $\mathsf{f(1)=0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsmenge $\mathsf{x>0}$
2. WertebereichAlle reellen Zahlen
3. Nullstellex = 1
02
Aufgabe 2Logarithmusfunktion · BasisBerechne $\mathsf{\log_2(8)}$ und $\mathsf{\log_{1/2}(8)}$ einzeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert zur Basis 2
Wert zur Basis ein Halb
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2^3=8}$ , also $\mathsf{\log_2(8)=3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(\frac{1}{2})^{-3}=8}$ , also $\mathsf{\log_{1/2}(8)=-3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert zur Basis 23
2. Wert zur Basis ein Halb−3
03
Aufgabe 3Logarithmusfunktion · BasisIst ln x steigend oder fallend? Besitzt ihr Graph einen Schnittpunkt mit der y-Achse? Begründe die zweite Antwort.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Monotonie
y-Achsen-Schnittpunkt?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Basis e ist größer als 1, daher ist ln x streng steigend.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Auf der y-Achse wäre x gleich null; dieser Wert ist ausgeschlossen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. MonotonieStreng steigend
2. y-Achsen-Schnittpunkt?Nein.
3. BegründungDie Definitionsmenge enthält nur positive x; x gleich null ist nicht erlaubt.
04
Aufgabe 4Logarithmusfunktion · ÜbungGib die Umkehrfunktion von $\mathsf{f(x)=\log_2x}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umkehrfunktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Aus $\mathsf{y=\log_2x}$ folgt $\mathsf{x=2^y}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rollen vertauschen: $\mathsf{f^{-1}(x)=2^x}$
Ergebnis
1. Umkehrfunktion $\mathsf{f^{-1}(x)=2^x}$
05
Aufgabe 5Logarithmusfunktion · ÜbungBestimme Definitionsbedingung, senkrechte Asymptote und Nullstelle von $\mathsf{g(x)=\ln(x-1)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsbedingung
Asymptote
Nullstelle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Argumentbedingung: $\mathsf{x>1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Asymptote: $\mathsf{x=1}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Nullstelle verlangt $\mathsf{x-1=1}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Daraus folgt $\mathsf{x=2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsbedingung $\mathsf{x>1}$
2. Asymptotex = 1
3. Nullstellex = 2
06
Aufgabe 6Logarithmusfunktion · ÜbungVereinfache $\mathsf{\ln(5x)-\ln5}$ und nenne die ursprüngliche Definitionsbedingung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Definitionsbedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{5x>0}$ verlangt $\mathsf{x>0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Quotientenregel: $\mathsf{\ln(5x/5)=\ln x}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{\ln x}$
2. Definitionsbedingung $\mathsf{x>0}$
07
Aufgabe 7Logarithmusfunktion · TransferLeite $\mathsf{f(x)=\ln(3x-2)}$ ab und nenne ihren Definitionsbereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung
Definitionsbereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Argumentbedingung: $\mathsf{3x-2>0}$ , also $\mathsf{x>\frac{2}{3}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Innere Ableitung: $\mathsf{(3x-2)^{\prime}=3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kettenregel: $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{3}{3x-2}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ableitung $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{3}{3x-2}}$
2. Definitionsbereich $\mathsf{x>\frac{2}{3}}$
08
Aufgabe 8Logarithmusfunktion · TransferGib die Ableitung von $\mathsf{f(x)=\log_5x}$ mit ihrem Gültigkeitsbereich an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ableitung
Gültigkeitsbereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Basis 5 ist positiv und ungleich 1.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{1}{x\ln5}}$ für $\mathsf{x>0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ableitung $\mathsf{f^{\prime}(x)=\frac{1}{x\ln5}}$
2. Gültigkeitsbereich $\mathsf{x>0}$
09
Aufgabe 9Logarithmusfunktion · TransferGib eine Stammfunktion von $\mathsf{\ln x}$ auf x größer als null an und berechne $\mathsf{\int_1^{e^2}\ln x\,dx}$ exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eine Stammfunktion
Bestimmtes Integral
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Eine Stammfunktion ist $\mathsf{F(x)=x\ln x-x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Obere Auswertung: $\mathsf{F(e^2)=e^2\cdot2-e^2=e^2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Untere Auswertung: $\mathsf{F(1)=-1}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Differenz: $\mathsf{e^2-(-1)=e^2+1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eine Stammfunktion $\mathsf{F(x)=x\ln x-x}$
2. Bestimmtes Integral $\mathsf{e^2+1}$
10
Aufgabe 10Logarithmusfunktion · TransferGilt $\mathsf{\ln(x^2)=2\ln x}$ für alle reellen x ungleich null? Nenne den Definitionsbereich jeder Seite und begründe dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Definitionsbereich links
Definitionsbereich rechts
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links muss $\mathsf{x^2>0}$ gelten, also $\mathsf{x\ne0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rechts muss $\mathsf{x>0}$ gelten
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für negative x ist nur die linke Seite definiert. Für positive x gilt die Potenzregel.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Definitionsbereich links $\mathsf{x\ne0}$
3. Definitionsbereich rechts $\mathsf{x>0}$
4. BegründungDie rechte Seite ist für negative x nicht definiert. Die Gleichheit gilt hier nur für positive x.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kenne Basisbedingungen, Definitions- und Wertebereich.
Ich deute Monotonie, Nullstelle und Asymptote.
Ich bestimme die Folgen einer Verschiebung.
Ich leite ln-Verkettungen unter ihren Bedingungen ab.
Ich berechne Stammfunktionen und Integrale auf positiven Bereichen.

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