Pyramiden · Erklären & üben

Mantelfläche Pyramide

Die Mantelfläche einer Pyramide besteht nur aus den seitlichen Dreiecken. Die Grundfläche wird dafür nicht mitgezählt. Jede Dreiecksfläche benötigt ihre eigene passende Grundseite und Höhe.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche Flächen bilden den Mantel?

Die Anzahl der Seitendreiecke entspricht der Anzahl der Grundkanten. Eine dreiseitige Pyramide hat drei Manteldreiecke, eine vierseitige vier. Ihre Flächen werden addiert.

Die Grundfläche bei M weglassen; erst für O addieren.

$\mathsf{M=A_1+A_2+\cdots+A_n}$

Pyramidennetz mit gefärbten seitlichen Dreiecken und ungefärbter Grundfläche.

Erklärung 02

Dreiseitige Pyramide

Bei einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide sind die drei Seitenflächen kongruent. Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck. Gleiche Grundkanten allein genügen jedoch ohne passende Spitzenlage nicht für gleiche Seitenhöhen.

Jede Seitenfläche hat Inhalt eine Hälfte mal Grundkante mal Seitenhöhe.

$\mathsf{M=3\cdot\frac12a h_s}$ bei drei gleichen Seitenflächen.

So geht es am Beispiel

Regelmäßige dreiseitige Pyramide: Grundkante 6cm, Seitenflächenhöhe 5cm.

\mathsf{M=3\cdot\frac12\cdot6\cdot5=45\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 03

Quadratische und rechteckige Grundfläche

Bei der regelmäßigen quadratischen Pyramide gibt es eine gemeinsame Seitenflächenhöhe. Bei einer rechteckigen Grundfläche mit Spitze über dem Mittelpunkt entstehen meist zwei verschiedene Seitenhöhen: die Höhe über einer Kante a hängt vom halben Abstand b/2 zur gegenüberliegenden Kante ab.

Bei der rechteckigen Pyramide zuerst die beiden Seitenhöhen bestimmen.

$\mathsf{M=2ah_s}$ im regelmäßigen quadratischen Fall.

Pyramide mit Körperhöhe h und davon unterschiedener Seitenflächenhöhe hs.

So geht es am Beispiel

Regelmäßige quadratische Pyramide: a = 8 cm, hₛ = 5 cm.

\mathsf{M=2\cdot8\cdot5=80\,\mathsf{cm}^2}

So geht es am Beispiel

Rechteckige Grundfläche 6cm×8cm, Spitze senkrecht über der Mitte, Körperhöhe 4cm.

\mathsf{h_6=\sqrt{4^2+(8/2)^2}=4\sqrt2\,\mathsf{cm}}

\mathsf{h_8=\sqrt{4^2+(6/2)^2}=5\,\mathsf{cm}}

\mathsf{M=6\cdot4\sqrt2+8\cdot5=(24\sqrt2+40)\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 04

Allgemeine Pyramide

Wenn die Seitendreiecke verschieden sind, berechnest du sie einzeln. Bei einer gemeinsamen Seitenhöhe kann diese vor die Summe gezogen werden; die Summe der Grundkanten ist der Grundumfang u.

Prüfe vor einer Abkürzung, ob wirklich alle verwendeten Seitenhöhen gleich sind.

$\mathsf{M=\sum_{i=1}^{n}\frac12a_i h_i;\quad M=\frac12u h_s}$ bei gemeinsamer Seitenhöhe.

Erklärung 05

Mantel, Oberfläche und Volumen

Für die Oberfläche addierst du G. Für das Volumen benötigst du zusätzlich die senkrechte Körperhöhe. Die Mantelhöhe darf nicht einfach an deren Stelle eingesetzt werden.

Weiterlernen: Volumen Pyramide und Oberfläche Pyramide.

$\mathsf{O=G+M,\quad V=\frac13Gh}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Mantelfläche Pyramide · AnwendenRegelmäßige dreiseitige Pyramide: Grundkante 4cm, gemeinsame Seitenflächenhöhe 6cm. Berechne M.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mantelfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{M=3\cdot\frac12\cdot4\cdot6=36\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Mantelfläche36 cm²
02
Aufgabe 2Mantelfläche Pyramide · AnwendenRegelmäßige quadratische Pyramide: a = 9 cm, hₛ = 7 cm. Berechne M.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mantelfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{M=2\cdot9\cdot7=126\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Mantelfläche126 cm²
03
Aufgabe 3Mantelfläche Pyramide · AnwendenRechteckige Pyramide: Grundfläche 6cm×8cm, Spitze über der Mitte, Körperhöhe 4cm. Berechne M exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mantelfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h_6=4\sqrt2\,\mathsf{cm},\quad h_8=5\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{M=(24\sqrt2+40)\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Mantelfläche $\mathsf{(24\sqrt2+40)\,\mathsf{cm}^2}$
04
Aufgabe 4Mantelfläche Pyramide · AnwendenDie vier Seitendreiecke einer Pyramide haben Flächeninhalte 12cm²,15cm²,18cm² und 15cm². Berechne M.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mantelfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Mantel ist die Summe der vier seitlichen Dreiecksflächen.
  $\mathsf{M=12+15+18+15=60\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Mantelfläche60 cm²
05
Aufgabe 5Mantelfläche Pyramide · AnwendenMarkiere im Netz nur die Mantelfläche. Die quadratische Grundfläche G bleibt frei.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Markierter Mantel
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Markierter Mantel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zum Mantel gehören die vier seitlichen Dreiecke.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Grundfläche gehört zur Oberfläche, aber nicht zum Mantel.
Ergebnis
1. Markierter MantelAlle vier Dreiecke sind markiert; das Quadrat G bleibt frei.
06
Aufgabe 6Mantelfläche Pyramide · AnwendenFür ein Pyramidenvolumen wird versehentlich die Seitenflächenhöhe statt der Körperhöhe eingesetzt. Warum ist das falsch?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Volumenformel verlangt den senkrechten Abstand der Spitze von der Grundflächenebene.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Seitenflächenhöhe verläuft schräg in einem Seitendreieck.
Ergebnis
1. BegründungDie Seitenflächenhöhe ist im Allgemeinen nicht der senkrechte Abstand zur Grundfläche.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

AT Academy · Version 2026-10-21