AT Academy
Zum Mathematik-Inhalt

Pyramiden · Erklären & üben

Oberfläche Pyramide

Für die Oberfläche einer Pyramide addierst du Grundfläche und seitliche Dreiecksflächen. Regelmäßigkeit vereinfacht die Rechnung; bei verschiedenen Seitendreiecken musst du die einzelnen Höhen beachten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Oberfläche zusammensetzen

Die Grundfläche zählt genau einmal. Der Mantel ist die Summe aller Seitenflächen. Jede Seitenfläche ist ein Dreieck; die zugehörige Dreieckshöhe muss senkrecht auf dessen Grundkante stehen.

  1. Grundfläche und Mantel zuerst getrennt berechnen.

O=G+M\mathsf{O=G+M}

Quadratische Pyramide mit getrennt eingezeichneter Körperhöhe und Seitenflächenhöhe.

Erklärung 02

Regelmäßige quadratische Pyramide

Vier kongruente Dreiecke mit Grundseite a und Höhe hₛ ergeben den Mantel. Das Quadrat hat Fläche a². Ist nur die Körperhöhe gegeben, berechnest du hₛ zuerst mit Pythagoras.

  1. Die Formel mit einer gemeinsamen Seitenhöhe gilt nur bei entsprechend gleichen Seitendreiecken.

O=a2+2ahs\mathsf{O=a^2+2ah_s}

Rechtwinkliger Schnitt zur Berechnung der Seitenflächenhöhe mit Pythagoras.

So geht es am Beispiel

Regelmäßige quadratische Pyramide: a = 6 cm, hₛ = 5 cm.

G=36 cm2\mathsf{G=36\,\mathsf{cm}^2}
M=4⋅12⋅6⋅5=60 cm2\mathsf{M=4\cdot\frac12\cdot6\cdot5=60\,\mathsf{cm}^2}
O=96 cm2\mathsf{O=96\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

96 cm²

So geht es am Beispiel

Statt hₛ ist h = 4 cm bekannt; a = 6 cm.

hs=42+32=5 cm\mathsf{h_s=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathsf{cm}}

Die Oberflächenrechnung ist danach dieselbe.

Ergebnis

Seitenflächenhöhe 5cm; Oberfläche 96cm²

Erklärung 03

n-eckige Pyramide

Allgemein addierst du die Dreiecksflächen einzeln. Bei einer regelmäßigen Pyramide sind alle Seitenhöhen gleich; dann ist M die Hälfte aus Grundumfang u und gemeinsamer Seitenhöhe hₛ. G wird mit der passenden Vielecksformel berechnet.

  1. Bei unregelmäßiger Grundfläche keine gleiche Seitenhöhe ohne Angabe annehmen.

M=∑i=1n12aihi;M=12uhs\mathsf{M=\sum_{i=1}^{n}\frac12a_i h_i;\quad M=\frac12u h_s} bei gemeinsamer Seitenhöhe.

So geht es am Beispiel

Regelmäßige sechseckige Pyramide: Grundseite 4cm, G=243 cm2\mathsf{G=24\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}, Seitenflächenhöhe 5cm.

u=6⋅4=24 cm\mathsf{u=6\cdot4=24\,\mathsf{cm}}
M=12⋅24⋅5=60 cm2\mathsf{M=\frac12\cdot24\cdot5=60\,\mathsf{cm}^2}
O=(243+60) cm2\mathsf{O=(24\sqrt3+60)\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

(243+60) cm2\mathsf{(24\sqrt3+60)\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 04

Volumen separat bestimmen

Für das Volumen verwendest du die senkrechte Körperhöhe h. Die Seitenflächenhöhe hₛ beschreibt dagegen eine Strecke auf dem Mantel.

  1. Weiterlernen: Volumen Pyramide.

Die beiden Höhen sind im Allgemeinen verschieden.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Oberfläche Pyramide · AnwendenDie quadratische Grundfläche hat Seitenlänge 7cm. Bestimme G.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G=72=49 cm2\mathsf{G=7^2=49\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Grundfläche49 cm²
  2. Aufgabe 2Oberfläche Pyramide · AnwendenRegelmäßige quadratische Pyramide: a = 7 cm, hₛ = 6 cm. Berechne M.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      M=2⋅7⋅6=84 cm2\mathsf{M=2\cdot7\cdot6=84\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Mantel84 cm²
  3. Aufgabe 3Oberfläche Pyramide · AnwendenRegelmäßige quadratische Pyramide: a = 7 cm, hₛ = 6 cm. Berechne O.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      O=49+84=133 cm2\mathsf{O=49+84=133\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche133 cm²
  4. Aufgabe 4Oberfläche Pyramide · AnwendenRegelmäßige sechseckige Pyramide: G=243 cm2\mathsf{G=24\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}, Grundumfang 24cm, Seitenflächenhöhe 6cm. Berechne O.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      M=12⋅24⋅6=72 cm2\mathsf{M=\frac12\cdot24\cdot6=72\,\mathsf{cm}^2}
      O=(243+72) cm2\mathsf{O=(24\sqrt3+72)\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche(243+72) cm2\mathsf{(24\sqrt3+72)\,\mathsf{cm}^2}
  5. Aufgabe 5Oberfläche Pyramide · AnwendenMarkiere im Netz nur die Mantelfläche. Die quadratische Grundfläche G bleibt frei.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Markierter Mantel

    Vorbereitetes quadratisches Pyramidenetz; alle Flächen vorhanden, noch unmarkiert.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Zum Mantel gehören die vier seitlichen Dreiecke.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Die Grundfläche gehört zur Oberfläche, aber nicht zum Mantel.

    Ergebnis

    1. Markierter MantelAlle vier Dreiecke sind markiert; das Quadrat G bleibt frei.
  6. Aufgabe 6Oberfläche Pyramide · AnwendenRegelmäßige quadratische Pyramide: a = 10 cm, Körperhöhe 12cm. Berechne die Seitenflächenhöhe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      hs=122+52=169=13 cm\mathsf{h_s=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Seitenflächenhöhe13 cm

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

AT Academy · Version 2026-10-21

Oberfläche Pyramide | AT Academy