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Prismen und Zylinder · Erklären & üben

Mantelfläche Zylinder

Die Mantelfläche ist nur die gekrümmte Seitenfläche des geraden Kreiszylinders. Beim Abwickeln wird sie zu einem Rechteck – eine praktische Vorstellung für Etiketten, Folien und Ummantelungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Mantel ohne Grund- und Deckfläche

Die Kreisflächen gehören nicht zum Mantel. Deshalb unterscheidest du Mantelfläche M von der gesamten Oberfläche O. Für ein Etikett um die Seite einer Dose kann M die passende Fläche sein; für einen geschlossenen Behälter reicht sie nicht.

  1. Bestimme, welcher Teil des Körpers bedeckt werden soll.

M und O sind beide Flächen, aber sie zählen verschiedene Teile.

Gerader Kreiszylinder mit Radius und Höhe.

Erklärung 02

Mit Radius oder Durchmesser

Der Kreisumfang ist die Breite des abgewickelten Mantels. Bei gegebenem Radius verwendest du 2πr; bei gegebenem Durchmesser πd. Multipliziere mit h.

  1. Alle Längen in dieselbe Einheit umrechnen.

M=2πrh=πdh\mathsf{M=2\pi rh=\pi dh}

So geht es am Beispiel

r = 3 cm und h = 8 cm. Berechne M.

M=2π⋅3⋅8=48π cm2≈150,80 cm2\mathsf{M=2\pi\cdot3\cdot8=48\pi\,\mathsf{cm}^2\approx150{,}80\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Etwa 150,80cm²

So geht es am Beispiel

d = 10 cm und h = 4 cm. Berechne M.

M=π⋅10⋅4=40π cm2≈125,66 cm2\mathsf{M=\pi\cdot10\cdot4=40\pi\,\mathsf{cm}^2\approx125{,}66\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Etwa 125,66cm²

Erklärung 03

Abwickeln und Überlappung

Ein senkrechter Schnitt im Mantel erlaubt das Abrollen zu einem Rechteck. Dessen Breite ist genau eine Umdrehung, also der Kreisumfang. Für ein überlappendes Etikett addierst du die zusätzliche Breite zum Umfang; sie gehört nicht zur mathematischen Mantelfläche.

  1. Rechtecksfläche = Breite mal Höhe.

  2. Überlappungsbreite erst zur Rechteckbreite addieren, dann mit der Höhe multiplizieren.

M=U⋅h\mathsf{M=U\cdot h}

Zylindernetz mit farbigem Mantelrechteck und ungefärbten Grund- und Deckkreisen.

So geht es am Beispiel

Eine Dose mit Radius 3cm und Höhe 8cm erhält ein Etikett mit 1cm Überlappung in Umfangsrichtung. Berechne die Etikettfläche.

b=6π+1 cm\mathsf{b=6\pi+1\,\mathsf{cm}}
AEtikett=(6π+1)⋅8=(48π+8) cm2≈158,80 cm2\mathsf{A_{\mathsf{Etikett}}=(6\pi+1)\cdot8=(48\pi+8)\,\mathsf{cm}^2\approx158{,}80\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Etwa 158,80cm²

Erklärung 04

Vom Mantel zur Oberfläche

Für einen geschlossenen Zylinder addierst du zwei Kreisflächen. Für einen oben offenen idealisierten Behälter kommt nur eine hinzu. Ist M und r gegeben, kannst du die Höhe durch Teilen durch 2πr bestimmen.

  1. Weiterlernen: Oberfläche Zylinder für die vollständige Materialfläche.

O=M+2πr2,h=M2πr\mathsf{O=M+2\pi r^2,\quad h=\frac M{2\pi r}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Mantelfläche Zylinder · Anwendenr = 4 cm und h = 5 cm. Berechne M exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      M=2π⋅4⋅5=40π cm2\mathsf{M=2\pi\cdot4\cdot5=40\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Mantelfläche40π cm2\mathsf{40\pi\,\mathsf{cm}^2}
  2. Aufgabe 2Mantelfläche Zylinder · Anwendend = 6 cm und h = 9 cm. Berechne M exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      M=π⋅6⋅9=54π cm2\mathsf{M=\pi\cdot6\cdot9=54\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Mantelfläche54π cm2\mathsf{54\pi\,\mathsf{cm}^2}
  3. Aufgabe 3Mantelfläche Zylinder · AnwendenM=60π cm2\mathsf{M=60\pi\,\mathsf{cm}^2} und r=3 cm\mathsf{r=3\,\mathsf{cm}}. Bestimme h.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=60π/(6π)=10 cm\mathsf{h=60\pi/(6\pi)=10\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Höhe10 cm
  4. Aufgabe 4Mantelfläche Zylinder · AnwendenEine Dose hat Durchmesser 8cm und Höhe 12cm. Das Etikett soll sich in Umfangsrichtung 1cm überlappen. Berechne seine Fläche auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      b=(8π+1) cm\mathsf{b=(8\pi+1)\,\mathsf{cm}}
      A=(8π+1)⋅12=(96π+12) cm2≈313,59 cm2\mathsf{A=(8\pi+1)\cdot12=(96\pi+12)\,\mathsf{cm}^2\approx313{,}59\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. EtikettflächeEtwa 313,59cm²
  5. Aufgabe 5Mantelfläche Zylinder · AnwendenEin Zylinder hat r = 3 cm und h = 8 cm. Ergänze das Mantelrechteck zur vorgegebenen unteren Seite. Nutze die gegebene Höhenmarkierung; die Vorlage ist skaliert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Mantelrechteck

    Vorbereitete untere Rechteckseite mit Länge 6πcm und vorgegebener Höhe 8cm im gemeinsamen Maßstab.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Breite ist 2πr=6πcm.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Errichte bei A und B Senkrechte bis zur vorgegebenen Höhe.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Verbinde die oberen Endpunkte parallel zu AB.

    Ergebnis

    1. MantelrechteckRechteck mit Breite 6πcm und Höhe 8cm im Maßstab der Vorlage.
  6. Aufgabe 6Mantelfläche Zylinder · AnwendenJemand nennt die Mantelfläche zugleich die Oberfläche eines geschlossenen Zylinders. Was fehlt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Mantelfläche enthält nur die gekrümmte Seite.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Beim geschlossenen Zylinder sind zusätzlich zwei Kreisflächen vorhanden.

    Ergebnis

    1. Fehlende FlächenGrund- und Deckfläche; zusammen 2πr²

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  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
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